浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题2 突破点5 数列求和及其综合应用 Word版含答案

高考数学精品复习资料 2019.5突破点5数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页)核心知识提炼提炼1 an和Sn的关系若an为数列an的通项，Sn为其前n项和，则有an在使用这个关系式时，一定要注意区分n1，n2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anc(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)叠加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)叠乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(4)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解(6)取对数法：形如an1pa(p0，an0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法.提炼4数列的综合问题数列综合问题的考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题(3)考查与数列有关的不等式的证明问题，此类问题大多还要借助构造函数去证明，或者是直接利用放缩法证明或直接利用数学归纳法高考真题回访回访1数列求和1(20xx浙江高考)已知数列an和bn满足a1a2a3an()bn(nN*)若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn；(2)设cn(nN*)记数列cn的前n项和为Sn.求Sn；求正整数k，使得对任意nN*，均有SkSn.解(1)由题意知a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()b3b28.又由a12，得公比q2(q2舍去)，2分所以数列an的通项为an2n(nN*)，所以，a1a2a3an2()n(n1)故数列bn的通项为bnn(n1)(nN*).5分(2)由(1)知cn(nN*)，所以Sn(nN*).7分因为c10，c20，c30，c40，当n5时，cn，9分而0，得1，11分所以，当n5时，cn0.综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k4.14分回访2数列的综合问题2(20xx浙江高考)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)证明：当nN*时，(1)0xn10.当n1时，x110.假设nk时，xk0，那么nk1时，若xk10，则00.3分因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1.因此0xn10(x0)，函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*).10分(3)证明：因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得20，13分所以22n12n2，故xn.综上，xn(nN*).15分3(20xx浙江高考)设数列an满足1，nN*.(1)证明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|n，nN*，证明：|an|2，nN*.证明(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，2分所以n，故|an|n，均有|an|2，取正整数m0log且m0n0，11分则2n0m02n0log|an0|2，与式矛盾综上，对于任意nN*，均有|an|2.15分 (对应学生用书第21页)热点题型1数列中的an与Sn的关系数列中的an与Sn的关系题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.【例1】数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式 【导学号：68334070】解由已知，当n2时，1，所以1，2分即1，所以.4分又S1a11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，6分所以1(n1)，即Sn.8分所以当n2时，anSnSn1.12分因此an15分方法指津给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通项公式时，务必验证n1时的情形 变式训练1(1)已知数列an前n项和为Sn，若Sn2an2n ，则Sn_. 【导学号：68334071】(2)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn23an(nN*)，则an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得当n1时，S1a12；当n2时，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则n，Snn2n(n2)，当n1时，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因为2Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.当n1时，22S13a1，所以a12，所以数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以an23n1(nN*)热点题型2裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于(其中an为等差数列)等形式的数列求和.【例2】已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比数列，(1)求数列an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由已知及等差数列的性质得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比数列，即aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d4.4分故数列an的通项公式为an4n2，nN*.6分(2)证明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn1.11分又TnT1，所以Tn.15分方法指津裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常见的裂项方式有：提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前后系数的变化.变式训练2(名师押题)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.6分(2)Sn2n1.8分又bn，12分所以Tnb1b2bn1.15分热点题型3错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故该命题点出现的频率不高，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练.【例3】已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).2分由题意知：当n1时，b1b21，故b22.3分当n2时，bnbn1bn.4分整理得，所以bnn(nN*).6分(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，10分所以Tn2Tn222232nn2n1.12分故Tn(n1)2n12(nN*).15分方法指津运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列an，bn中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘以公比，再把前n项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心提醒：为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证变式训练3已知在公比大于1的等比数列an中，a2，a4是函数f(x)(x2)(x8)的两个零点(1)求数列an 的通项公式；(2)求数列2nan的前n项和Sn.解(1)因为a2，a4是函数f(x)(x2)(x8)的两个零点，且等比数列an的公比q大于1，所以a22，a48，2分所以q2，所以数列an的通项公式为an2n1(nN*).6分(2)由(1)知2nann2n ，所以Sn12222n2n，7分2Sn122223(n1)2nn2n1，11分由，得Sn222232nn2n1n2n1，13分所以Sn2(n1)2n1(nN*).15分热点题型4数列的综合问题题型分析：数列与函数、不等式的综合问题多为解答题.难度偏大，属中高档题，常有以下两个命题角度：(1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；(2)考查与数列有关的不等式的证明问题.【例4】(20xx绍兴市方向性仿真考试)已知数列an满足，a11，an.(1)求证：an1；(2)求证：|an1an|；(3)求证：|a2nan|. 【导学号：68334072】证明(1)由已知得an1，又a11，所以a2，a3，a4，猜想an1.2分下面用数学归纳法证明当n1时，命题显然成立；假设nk时，有an1成立，则当nk1时，ak11，ak1，即当nk1时也成立，所以对任意nN*，都有an1.5分(2)当n1时，|a2a1|，当n2时，11，7分|an1an|anan1|n1|a2a1|n1.综上所述，|an1an|.10分(3)当n1时，|a2a1|；11分当n2时，|a2nan|a2na2n1|a2n1a2n2|an1an|n12n13.15分方法指津解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题，要灵活的选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法及数学归纳法等；如果是解不等式问题，要使用解不等式的各种解法，如列表法、因式分解法、穿根法等，总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.变式训练4(20xx台州市高三年级调考)已知数列an满足：an0，an12(nN*)(1)求证：an2an12(nN*)；(2)求证：an1(nN*)证明(1)由an0，an12，得an122.2分因为2an22(由题知an1an2)，所以an2an12.4分(2)法一：假设存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得当nN时，anaN11.6分根据an1110，而an1，所以1，于是1，1.10分累加可得n1.(*)由假设可得aNn10，12分而当n1时，显然有n10，因此有n1，这显然与(*)矛盾所以an1(nN*).15分法二：假设存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得当nN时，0anaN11.6分根据an1110，而an1，所以，所以1.于是1an(1an1)，1an1(1an2)，1aN2(1aN1).10分累乘可得1an(1aN1)nN1，(*)由(1)可得1an1，12分而当n N1时，则有(1aN1)nN11，这显然与(*)矛盾所以an1(nN*).15分