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高考数学精品复习资料 2019.5课时作业A组基础对点练1(20xx·沈阳质量监测)抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a)B(a,0).ComC. D.解析：将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，所以选C.答案：C2(20xx·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2 B.C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又p1，所以x1x23，所以点C的横坐标是.答案：C3(20xx·邯郸质检)设F为抛物线y22x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1 B2C3 D4解析：依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3，y3)，又焦点F，x1x2x33×，则|(x1)(x2)(x1x2x3)3.选C.答案：C4已知直线l：ykxk与抛物线C：y24x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2，则实数k等于()A± B±1C± D±2解析：抛物线C：y24x的焦点F(1,0)，直线l：ykxk过抛物线的焦点，如图过M作MM准线x1，垂足为M，由抛物线的定义，得|MM|MF|，易知MMN与直线l的倾斜角相等，由2，得cosMMN，则tanMMN±，直线l的斜率k±，故选C.答案：C5已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A21 B22C.1 D.2解析：由题意得圆x2(y4)21的圆心A(0,4)，半径r1，抛物线的焦点F(1,0)由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|r11.选C.答案：C6(20xx·沈阳质量监测)已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30°(O为坐标原点)时，|PF|_.解析：设l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30°，|BF|2，所以|AB|，设P(x0，y0)，则x0±，代入x24y中，得y0，从而|PF|PA|y01.答案：7(20xx·云南检测)已知抛物线C的方程为y22px(p0)，M的方程为x2y28x120，如果抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_解析：将M的方程化为标准方程：(x4)2y24，圆心坐标为(4,0)，半径r2，又抛物线的准线方程为x，|4|2，解得p12或4.答案：12或48.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D(图略)，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30°，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，根据题意得p，抛物线的方程是y23x.答案：y23x9已知抛物线y24px(p0)的焦点为F，圆W：(xp)2y2p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A、B两点，WAB的面积为8，求抛物线的方程解析：(1)易知抛物线y24px(p0)的焦点为F(p,0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为xmyp，因为W(p,0)，所以点W到直线l的距离为p，解得m±，所以直线l的斜率为±.(2)由(1)知直线l的方程为x±yp，由于两条直线关于x轴对称，不妨取xyp，联立消去x得y24py4p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24p，y1y24p2，所以|AB|·16p，因为WAB的面积为8，所以p×16p8，得p1，所以抛物线的方程为y24x.10(20xx·合肥质检)已知抛物线C1：x22py(p0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.(1)若A(2,1)，求p的值以及圆C2的方程；(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)解析：(1)A(2,1)在抛物线C1上，42p，p2.又圆C2的圆心为，半径为，圆C2的方程为(x1)22.(2)记A(x1，)，B(x2，)则(x2，)，(x2x1，)由·0知，x2(x2x1)0.x20，且x1x2，xx1·x24p2，x1.xx8p228p216p2，当且仅当x，即x4p2时取等号又|OA|2x(x4p2·x)，注意到x16p2，|OA|2(162·p44p2·16p2)80p2.而S·，S20p2，即S的最小值为20p2，当且仅当x4p2时取得B组能力提升练1已知抛物线C：y2mx(m>0)的焦点为F，点A(0，)若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|MD|12，则点M的纵坐标为()A BC D解析：依题意，F点的坐标为(，0)，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，因为|FM|MD|12，所以|KD|KM|1，kFD，kFD，所以，解得m4，所以直线FM的方程为y(x1)，与y24x联立，解得x3(舍去)或x，所以y2，y或y(舍去)，故点M的坐标为(，)，故选D.答案：D2(20xx·石家庄质检)已知圆C1：x2(y2)24，抛物线C2：y22px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|，则抛物线C2的方程为()Ay2x By2xCy2x Dy2x解析：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为ykx(k>0)，圆心C1(0,2)到直线AB的距离d ，解得k2(k2舍去)由，可取A(0,0)，B(，)，把(，)代入抛物线方程，得()22p·，解得p，所以抛物线C2的方程为y2x，故选C.答案：C3已知点P在抛物线y2x上，点Q在圆(x)2(y4)21上，则|PQ|的最小值为()A.1 B.1C21 D.1解析：设点P(y2，y)(yR)，圆(x)2(y4)21的圆心为A(，4)，则|PA|2(y2)2(y4)2y42y28y，令ty42y28y，则t4y34y8，令mt4y34y8，则m12y24>0，所以mt4y34y8在R上是增函数，因为t|y10，所以y1为ty42y28y的极小值点也是最小值点，所以|PA|2t的最小值为，所以|PA|的最小值为，所以|PQ|的最小值为1，故选A.答案：A4(20xx·山西八校联考)已知抛物线y24x的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FB|2|FA|，则AB的长度为_解析：依题意知P(1,0)，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FB|2|FA|，得x212(x11)，即x22x11，P(1,0)，则AB的方程为ykxk，与y24x联立，得k2x2(2k24)xk20，则(2k24)24k4>0，即k2<1，x1x21，由得x1，则A(，)，k.x1x2，|AB| .答案：5(20xx·昆明市检测)设F为抛物线C：y22px(p>0)的焦点，曲线y(k>0)与C交于点A，直线FA恰与曲线y(k>0)相切于点A，FA交C的准线于点B，则等于_解析：由解得由y，得y，所以kFA，化简得k，所以x，.答案：6(20xx·唐山统考)已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析：(1)设l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为·12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24x.(2)(1)中(*)式可化为y24my80，y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m±.所以，直线l的方程为xy20或xy20.7.如图，由部分抛物线：y2mx1(m0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若 “黄金抛物线C”经过点(3,2)和.(1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1)和Q(0，1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解析：(1)“黄金抛物线C”过点(3,2)和，r2221,43m1，m1.“黄金抛物线C”的方程为y2x1(x0)和x2y21(x0)(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：ykx1，联立，消去y，得k2x2(2k1)x0，xB，yB，即B，kBQ，联立，消去y，得(k21)x22kx0，xA，yA，即A，kAQ，QP平分AQB，kAQkBQ0，0，解得k1±，由图形可得k1应舍去，k1，存在直线l：y(1)x1，使得QP平分AQB.
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