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第一章 随机变量习题一1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和 = (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数 = (3)对某工厂出厂的产品进行检验,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。用“0”表示次品,用“1”表示正品。 =(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标 = (5)将一尺长的木棍折成三段,观察各段的长度 = 其中分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ,每次从其中取一只(取后不放回) ,直到将3只次品都取出 , 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ,改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =解: ( 1 ) U = e3 , e4 , e10 。其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) U = e3 , e4 , 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件的关系(1)与 互不相容 (2)与 对立事件(3)与 互不相容 (4)与 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容:;对立事件 : 且3、设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件(1)A发生,B与C不发生 - (2)A与B都发生,而C不发生 - (3)A,B,C中至少有一个发生 - (4)A,B,C都发生 -(5)A,B,C都不发生 - (6)A,B,C中不多于一个发生 -(7)A,B,C中不多于两个发生-(8)A,B,C中至少有两个发生-4、盒内装有10个球,分别编有1- 10的号码,现从中任取一球,设事件A表示“取到的球的号码为偶数”,事件B表示“取到的球的号码为奇数”,事件C表示“取到的球的号码小于5”,试说明下列运算分别表示什么事件.(1) 必然事件 (2) 不可能事件(3) 取到的球的号码不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10(5) 2或4 (6) 5或7或9(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立,哪些不成立.(1)成立(2) 不成立(3)不成立(4) 成立(5)若,则成立(6)若,且,则 成立(7)若,则成立(8)若,则 成立7、设一个工人生产了四个零件,表示事件“他生产的第i个零件是正品”,用,的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品; (1) (2)至少有一个产品是次品;(2) (3)只有一个产品是次品;(3) (4)至少有三个产品不是次品4)8. 设 E、F、G是三个随机事件,试利用事件的运算性质化简下列各式 : (1)(2) (3) 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 9、设是两事件且,问(1)在什么条件下取到最大 值,最大值是多少?(2)在什么条件下取到最小值,最小值是多少?解: (1)(2)10. 设 事 件 A, B, C 分 别 表 示 开 关 a, b, c 闭 合 , D 表 示 灯 亮 , 则可用事件A,B,C 表示:(1) D = ;(2) = 。 11、设A,B,C是三事件,且, 求A,B,C至少有一个发生的概率.解: 12. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ,且 A 与 B 互 斥,则 = . (2).一个盒中有8只红球,3只白球,9只蓝球 ,如果随机地无放回地摸3只球 ,则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球,2只黑球,另一只袋中有3只白球和5只黑球,如果 从每只袋中各摸一只球 ,则摸到的一只是白球,一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件, 已知P(A1) = a , P(A2) = b,P(A3) = g ,则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一个盒中有8只红球,3只白球,9只蓝球,如果随机地无放回地摸3只球, 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _。13、在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任取200个,求(1)恰有90个次品的概率;(2)至少有2个次品的概率. 解: 14、两射手同时射击同一目标,甲击中的概率为0.9,乙击中的概率为0.8,两射手同时击中的概率为0.72,二人各击中一枪,只要有一人击中即认为“中”的, 求“中”的概率.解:“甲中”“乙中”15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信),问每个信箱恰有一封信的概 率是多少? 解: 16、房间里有4个人,问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少?解:设所求事件“至少有两个人的生日在同一个月的”“任何两个人的生日都不在同一个月”17、将3个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概 率各是多少?解:3个球放入4个杯子中去共有种放法,设表示杯子中球的最大个数为n的事件,表示每只杯子最多只能放一个球,共有种方法,故;表示有一只杯子中放2个球,先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只,共有种方法,剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只,有3种放法,故包含的基本事件数为,于是 ;表示有一只杯子中放3个球,共有4种方法,故.18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其 中 D 是 x = 0 ,y = 0 , x + y = 2所 围 成 的 ) , 设 事 件 A 为: 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 , 求 P(A) 。 19、(1)已知,求(2)已知,求 解: (1)(2)20、一批产品共100个,其中有次品5个,每次从中任取一个,取后不放回, 设( i =1,2,3,)表示第i次抽到的是次品,求: , , , ,21、市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂产品,B表示合格品。 试写出有关事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6) 20%22、袋中有10个球,9个是白球,1个是红球,10个人依次从袋中各取一球,每人取一球后,不再放回袋中,问第一人,第二人,最后一人取得红球的概率各是多少?解: 解:设第i个人取得红球的事件,则为第i个人取得白球的事件,显然 , 同理23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8,活25年以上的概率为0.4,问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少? 解:设为由出生活到20岁的事件,为由出生活到25岁的事件则所求事件的概率为24、十个考签中四个难的,三人参加抽签,(不放回)甲先、乙次、丙最后,记事件 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,求.解:25. 设 0 P(C) 1 ,试 证 :对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A,B,恒 有 P ( A B )C = PAC + PBC证: 26、设事件A与B互斥,且,证明.证明:由于,故27、一批零件为100个,次品率为10%,每次从中任取一个,不再放回,求第三次才 能取得正品的概率是多少?解:设为第i次取到正品,由于次品率为10%,故100个零件约有90个正品,次品10个,设为第三次抽到正品,即第一次第二次都取得次品,第三次才取得正品,则由一般乘法公式得28、设每100个男人中有5个色盲者,而每10000个女人中有25个色盲者,今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人, 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。解: A :“ 抽到的一人为男人”;B : “ 抽到的一人为色盲者” 则 29、设有甲、乙两袋,甲袋装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球,今从甲袋中任取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球,问取到白球的概率是多少? 解:设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件,表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件,表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件,所求事件由全概率公式:易知:于是30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产品占全厂产品的比例 分别为25%,35%,40%;并且它们的废品率分别是5%,4%,2% (1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少? (2)如果已知取出的一件产品是废品,问它最大可能是哪个车间生产的?解:设“所取出的一件产品是废品”,“产品系甲车间生产”,“产品系乙车间生产”, “产品系丙车间生产”已知(1)由全概率公式:(2)由贝叶斯公式:所以,所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为,且设 各继电器接点闭合与否相互独立,求至是通路的概率.13245LR解: 设为第i只继电器闭合的事件,为有电流从L流向R的事件,已知显然故 32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的,7 盒是乙厂生产的,4盒是丙厂生产的,其余是丁厂生产的,该四厂的产品合格品率依次为0.8,0.7,0.6, 0.5 , 现任意从某一盒中任取一个元件,经测试发现是不合格品, 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ?解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲,乙 ,丙 ,丁厂生产 ” B : “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 , , , , , , 由 全 概 率 公 式 : = 由 贝 叶 斯 公 式 :故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6。若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解:设表示“恰有i人击中飞机”,为飞机被击落, 同理 易知,由全概率公式 34、袋中装有只白球,一只红球,每次从袋中随机地摸出一球,并换入一只白 球,这样继续摸下去,问第次摸球时摸到白球的概率是多少?解:设事件表示第次摸到白球,则事件表示第次摸到红球。因为袋中只有1只红球,而每次摸出一球总换入一只白球,故为了第k次摸到红球,前k-1次一定不能摸到红球,因此等价于下列事件: 在前k-1次摸球时都摸到白球而第k次摸出红球,所以 因此第2章一维随机变量 习题2一. 填空题:1.设 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 是 , 则 用 F (x) 表 示 概 = _。 解:2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则 P 0x1 = _。 解: P 0x0, 则 C 的 值 应 是 _ e-l_。解: 5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 则 = 0.8 。解: 令 得 6.若 定 义 分 布 函 数 , 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 , 函 数 F (x) 右 连 续 , 且 F ( ) = 0 , F ( + ) = 17. 随机变量,记, 则随着的增大,之值 保 持 不 变 。8. 设 x N ( 1, 1 ),记x 的概率密度为 j( x ) ,分布函数为 F ( x ),则 0.5。9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数,试用随机变量表示事件.“收到呼唤3次” ,“收到呼唤次数不多于6次”(2)抽查一批产品,任取一件检查其长度,试用随机变量表示事件.“长度等于10cm” = ;“长度在10cm到10.1cm之间” = (3)检查产品5件,设A为至少有一件次品,B为次品不少于两件,试用随机变量表示事件.解: 10 、一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以x表示取出的3只球中的最X345 大号码,则X的分布律为: 二. 计算题:1、将一颗骰子抛掷两次,以表示两次所得点数之和,以表示两次中得到的小的点数,试分别写出的分布律.234567891011122、设在15只同类型的零件中有2只次品,在其中取3次,每次任取一只,作不放回抽样,以X表示取出次品的只数.求X的分布律;.X0123、(1)设随机变量X的分布律为:为常数,试确定常数.解: 因 , 故 (2)设随机变量X的分布律为:,试确定常数. 4、飞机上载有3枚对空导弹,若每枚导弹命中率为0.6,发射一枚导弹如果击中敌机则停止,如果未击中则再发射第二枚,再未击中再发射第三枚,求发射导弹数的分布律.X1230.60.240.165、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6;停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4,求汽车首次停止前进(即遇到红灯,或到达目的地)时,已通过的信号灯的分布律.解:汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量,用x表示x可取值为0,1,2,3,4,又设A的表示事件:汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯,由题意表示已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯),故表示已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯,而第二盏是红灯),故.同理于是x的分布律为即x012340.40.240.1440.08640.12966、自动生产线调整以后出现废品的机率为,生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求两次调整之间生产的合格品数的分布律.x012k7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻:(1)恰有两个设备被使用的概率是多少? (2)至少有3个设备被使用的概率是多少?(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?(4)至少有1个设备被使用的概率是多少?8、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1)进行了5次独立试验,求指示灯发出信号的概率.(2)进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:(1)5次独立试验,指示灯发出信号=(2)7次独立试验,指示灯发出信号 9、设某批电子管正品率为,次品率为,现对这批电子管进行测试,只要测得一个正品,管子就不再继续测试,试求测试次数的分布律.解:解:设测试次数为x,则随机变量x的可能取值为:,当时,相当于前 次测得的都是次品管子,而第k次测得的是正品管子的事件,10、每次射击命中率为0.2,必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的命中率,(1)不小于0.9? (2)不小于0.99?解:已知n次独立射击中至少击中一次的概率为;(1)要使,必须,即射击次数必须不小于次.(2)要使,必须,即射击次数必须不小于次11、电话站为300个用户服务,在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,试用泊松定理近似计算,在一小时内有4个用户使用电话的概率.解:由二项分布得现用泊松定理近似计算,,故12、某一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? (利用泊松定理计算)解:设x为发生事故的次数,则用泊松定理计算,13设X服从泊松分布,且已知,求解:,由,得,14、. 求离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 为 , ( k = 1, 2, ), 的 充 分 必 要 条 件。解:由且 且 b 015 设x服从参数l = 1的指数分布 ,求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0无实根的概率 。 解: 知 故 16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 且 知 x 在 区 间 ( 2,3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1,2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ,试 确 定 常 数 A ,B 。解:由 条 件 即 知 有 又 由 即 解 得 A = ,B = 17、设有函数 试说明能否是某随机变量的分布函数.解:不 能 因 为 当 时 , j ( x ) = sin x 0 故 在 上 , j ( x ) = sin x 不 是 非 负 。18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为: 试问他的计算结果是否正确? 答:不正确19、在区间上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标,这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求x的分布函数.解:P 0 0 )解: 正 方 体 体 积 h = x 3 函 数 y = x 3 在 ( 0 , a ) 上 的 反 函 数 h 的 概 率 密 度 为 31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解:函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y , 当 x 在 ( 0 , + )上 变 化 时 , y 在 ( , + ) 上 变 化 , 于 是 h 的 概 率 密 度 为 32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 x 服 从 N(m , s2), 并 规 定 | x m | m时 产 品 合 格 , 问 m取 多 大 时 , 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 : (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05, (0.06) = 0.475 .解:P | x m | m = 0.95,此式等价于 Pmm x m + m = 0.9因 为 x 服 从 N(m , s2 ), 故 Pmm x m + m = 查 表 得 m = 1.96s 故 m 取 1.96s 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为 .2、的分布函数为,则 0 .3、的分布函数为,则4、的分布函数为,则5、设随机变量的概率密度为,则 .6、随机变量的分布如下,写出其边缘分布.01231003007、设是的联合分布密度,是的边缘分布密度,则 1 .8、二维正态随机变量,和相互独立的充要条件是参数 0 .9、如果随机变量的联合概率分布为12312则应满足的条件是 ;若与相互独立,则 , . 10、设相互独立,则的联合概率密度 ,的概率密度 .12、 设 ( x 、 h ) 的 联 合 分 布 函 数 为 则 A =_1_。二、证明和计算题1、袋中有三个球,分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为,第二次取的球上标的数字,求的联合分布律. X Y12102解: 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中,设为投入1号信箱的信数,为投入2 号信箱的信数,求的联合分布律.解:的可能取值为0,1,2,3的可能取值为0,1,2,3 012301020030003、设 函 数 F(x , y) = ;问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 ? 并 说 明 理 由 。解: F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 x 2, 0 h 1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0)= 111 + 0 = 1 4 , (x) =1。解:设 x 为 掷 100次中出现正面的次数 ,它服从二项分布B ( 100, )这 里 由 隶 莫 佛 - 拉 普 拉 斯 定 理 , 得 查 N ( 0, 1 ) 分 布 函 数 表 , 得 P 60 0,如果 则称 是q 的一致估计量 。 (
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