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第3节单摆思维缴活 在现代家庭中，经常见到落地钟表、摆钟等各种形式的机械钟表，它们有着共同的部件钟摆.如图1-3-1所示.不同类型的钟摆虽然摆动的快慢不同，但都在做等幅振动，那么应该怎样描述它们的运动呢？钟摆计时的原理又是什么？图1-3-1提示：钟摆计时是利用单摆做简谐运动时的等时性原理.自主整理一、单摆的运动1.单摆的理想化模型：一根不可伸长且_的细线悬挂一_的装置，叫单摆.2.单摆的运动特点：摆球以悬挂点为圆心，在竖直平面内沿着以为_中点的一段圆弧做往复运动，它沿圆弧做_圆周运动.3.单摆的回复力：如图1-3-2所示，摆球受_和_两个力作用，将重力沿切向和径向分解，则绳子的_和重力的_的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的_提供了摆球振动所需的回复力F=_，在摆角很小时，sin,F的方向可认为与x平行，但方向与位移方向相反，所以回复力可表示为_，令k=_,则_.图1-3-2 由此可见，单摆在摆角较小的情况下的振动是_.二、单摆的周期1.单摆的周期公式：_，它是荷兰物理学家_首先发现的.2.周期公式的使用条件是摆角很小，一般取_.3.决定周期的因素：摆长l是指_的距离，g是指_.单摆做简谐运动的周期只与l、g有关，与_、_无关，在一定地点_，一定，一定_的周期一定，利用单摆的等时性可制成计时器.三、利用单摆测定重力加速度1.测量原理：由单摆周期公式可得g=_,测出_和_，计算出当地的重力加速度g.2.测量中应注意以下几点：（1）小球摆动时，摆角应_，且应在同一竖直面上摆动.（2）测定摆长l应从悬挂点到小球球心处，用_悬线长，用_测小球直径.（3）计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时计数.（4）用T=计算单摆的周期，但应适当增大单摆摆动的次数.（5）多测几组l、T的数据，分别计算重力加速度，然后取平均值.也可以分别以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数g=的图象，理论上它是一条直线，这条直线的_就等于当地的重力加速度.高手笔记1.单摆在运动的过程中能量的转化 如图1-3-3所示，AO,回复力做正功（重力做正功），重力势能减小，动能增加，到O时，动能最大，势能最小；OA，回复力做负功，动能减小，势能增加，到达A时，动能为零，势能最大.同理分析AO,OA过程中能量的转化过程.在此过程中，因为只有重力做功，所以总机械能不变.图1-3-32.单摆的回复力 单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力；摆球所受合外力沿摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力.在摆球振动的平衡位置处摆球的回复力为零，合外力指向圆心，即合外力全部充当向心力，在摆球偏离平衡位置最远处，向心力为零，合外力全部充当回复力.所以单摆的回复力并不是单摆所受的合外力，而只是合外力沿切线方向的分力.名师解惑1.如何确定等效摆长和等效重力加速度？剖析：（1）等效摆长l：摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长.例如，在图1-3-4中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d.l2、l3与天花板的夹角30.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为l1+，周期T1=2;若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为l1+l2sin+，周期T2=2.图1-3-4（2）等效加速度g:g不一定等于9.8 m/s2. g由单摆所在的空间位置决定.由g=G知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同. g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g=g+a，若升降机加速下降，则g=g-a.单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g=0,摆球不摆动了，周期无穷大. 一般情况下，g值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时，摆球所受的张力与摆球质量的比值.2.在用单摆测重力加速度的实验中，摆球为什么必须在竖直面内摆动？剖析：如图1-3-5所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是做匀速圆周运动.图1-3-5 设运动过程中细线与竖直方向夹角为，线长为l，则小球做圆周运动的半径r=lsin,向心力F向=mgtan由F向=mr得圆锥摆的周期T=2 显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动.讲练互动【例题1】下列关于单摆的说法，正确的是（ ）A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A（A为振幅），从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-AB.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，故A错.摆球的回复力是由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，故B错，C对.摆球经过平衡位置时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，加速度也就不为零，故D错.答案：C黑色陷阱 本题易错选为BCD，由于做简谐运动时，弹簧振子所受到的合外力是回复力，所以也把单摆所受的合外力当作回复力.解决本题时，分清单摆做简谐运动的回复力与所受的合外力是解决本题的关键.变式训练1关于单摆，下列说法中正确的是（ ）A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B.摆球受到的回复力是它的合外力C.摆球经过平衡位置时，所受的合外力为零D.摆角很小时，摆球受的合外力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比解析：单摆的回复力不是它的合外力，而是重力沿圆弧方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）；另外摆球所受的合外力与位移大小不成正比.答案：A2关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（ ）A.摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B.摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C.摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D.摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：单摆在运动过程中，摆球受重力和绳的拉力，故A错.重力垂直于绳的分力提供回复力.当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿绳指向悬点，故C、D错，B对.答案：B【例题2】若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（ ）A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变C.频率改变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变解析：由单摆的周期公式T=2,因l不变，故T不变，f=不变；当l一定时，单摆的振幅A取决于偏角，根据机械能守恒定律，摆球从最大位移处到平衡位置mgl(1-cos)=mv2得v2=2gl(1-cos)，与m无关； 由摆球通过最低点的速度减小知单摆的偏角减小，所以振幅减小.所以正确选项为B.答案：B绿色通道按照定义，振幅A应为图1-3-6中摆球在离平衡位置O最远点P时弦的长度.因5,故弦与弧几乎重合，所以、以及的长度都可以看成是振幅（O与P等高且在悬点正下方）.越大，振幅A越大.图1-3-6变式训练3一单摆的周期T0=2 s，则在下述情况下它的周期T是多少？（1）摆长变为原来的1/4，T=_s.（2）摆球质量减半，T=_s.（3）振幅减半，T=_s.解析：由单摆的周期公式T=2,T,所以l=l0,T=1 s;单摆的周期T与质量、振幅无关，所以T=T0=2 s.答案：（1）1 （2）2 （3）2【例题3】有一单摆，其摆长l=1.02 m，摆球的质量m=0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t=60.8 s，试求：（1）当地的重力加速度是多大？（2）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？解析：由单摆的周期公式可求得g，秒摆是周期为2 s的单摆，根据T,可求出秒摆的摆长.（1）当单摆做简谐运动时，其周期公式T=2，由此可得g=42l/T2,只要求出T值代入即可.因为T=s=2.027 s所以g=42l/T2=(43.1421.02)/2.0272 m/s2=9.79 m/s2.（2）秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：,故有：l0=m=0.993 m.其摆长要缩短l=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m.答案：(1)9.79 m/s(2)其摆长要缩短0.027 m.绿色通道 单摆的周期公式T=2是在当单摆做简谐运动的条件下才适用的.改变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同.单摆的周期与单摆的振幅无关，与摆球的质量也无关，另外根据周期公式的变形式g=还可以测重力加速度.变式训练4一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比M1M2=41,半径之比R1R2=21,则（ ）A.T1T2=11 B.T1T2=41 C.T1T2=21 D.T1T2=12解析：单摆的周期公式为T=2,同一单摆即有T.又据万有引力定律mg=G,有g=，因此T,故T1T2= =12.答案：D5某同学要利用单摆测定重力加速度,但因无游标卡尺而没有办法测定摆球直径,他将摆球用不可伸长的细线悬挂起来后,改变摆线的长度测了两次周期,从而算出了重力加速度,则计算重力加速度的公式是（ ）A. B. C. D.解析：设摆球重心到球与摆线连接点距离为d,两次测得摆线长分别为l1和l2，对应周期为T1和T2.则有g=,g=.两式联立可得g=.答案：B体验探究【问题1】利用单摆测定重力加速度实验中产生误差的原因是什么？应如何纠正？ 导思：由实验原理g=结合实际操作去分析. 探究：（1）摆长l的误差：测摆长时应是摆线的悬点到球心的距离，除了测量中刻度尺测量所带来的误差外，悬点的松紧，线的弹性大小也会造成误差.这时可选用形变量小的细绳，且在悬点处把绳子系紧，避免松动，挂上摆球，使绳在张紧过程中测量.（2）周期T的误差：记清摆球过平衡位置的次数n，时间t,则周期应为T=,为减小误差，n应在30次50次之间.（3）摆角的选取.在理论上，当单摆的摆角小于5时摆球做简谐运动，而在实际中，摆角小于5的单摆，其运动细节很难观察，且实际中阻力的存在，使摆幅越来越小，给测量带来困难.这时可在摆角为15以内的情况下研究单摆的运动，此时由于角度而引起的相对误差为0.5%左右，这在中学物理实验中是允许的.（4）在摆球做振动时，释放摆球时不要用力，且注意摆球与悬点在同一竖直面内，否则摆球在摆动中会做圆锥摆运动.【问题2】利用所学知识探究摆钟快慢的原因. 导思：摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢不同是由摆钟的周期变化引起的. 探究：（1）由摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T.（2）在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快.走时慢的摆钟，给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间就慢.因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期TS，即t显=NTS,所以在同一时间t内，钟面指示时间之比等于摆动次数之比.（3）无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间t显=NTS，其中TS为走时准确的摆钟的周期，N为全振动的次数.对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而应以准确时间除以其周期，即N非=t/T非.教材链接【讨论与交流】(课本13页) 可用沙摆画出单摆的振动图象.如图1-3-7所示，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成曲线，显示出摆的位移随时间变化的关系，板上直线OO1代表时间轴.图1-3-7【实验与探究】测重力加速度课本15页 测单摆的摆长时，可用米尺测出悬点到小球最下端的长度l0，用游标卡尺测出小球的直径，则单摆的摆长为l=l0.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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