江苏苏州园区高三年级联考试卷数学试题424

2015届江苏苏州园区高三年级联考试卷(2015.4.24)数 学 试 题参考公式：锥体的体积公式：，其中为锥体的底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）开始输入m, n否是结束输出m求m除以n的余数rmnnrr = 0?第6题图1设集合，集合，则 。2若复数（其中为虚数单位），则 。3为了解1000名学生的学习情况，现采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本，则抽样中分段的间隔为 。4有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有3个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3. 甲从其中一个箱子中随机摸出一个球，乙从另一个箱子中随机摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），则甲没有获胜的概率为 。5“”是“抛物线的准线恰好与双曲线的一条准线重合”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）。6图中的程序框图描述的是“欧几里得辗转相除法”的算法。若输入，则输出 。DABCG(D)E(D)F(D)7若变量满足，则的最小值为 。8四面体沿棱剪开，将面，面和面展开落在平面上，恰好构成一个边长为1的正方形（如图所示），则原四面体的体积为 。9设函数在处取得最值，若数列是首项与公差均为的等差数列，则的值为 。yxxyOO2-2-221-1-11第10题图(甲)第10题图(乙)1-110奇函数与偶函数的图象分别如图甲与图乙所示，设方程与的实根个数分别为，则的值为 。11设正实数满足，则的最小值为 。12已知圆的半径为，是圆上的两点，且，是圆的任意一条直径，若点满足，则的最小值为 。13在平面直角坐标系中，已知点，一条直线过点，且与单位圆恒相切. 若有且只有两个点满足：；点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 。14设等差数列的各项均为整数，其公差，若无穷数列构成等比数列，则数列的前2015项中是该等比数列中项的个数为 。二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；xy3O1（2）若，求函数在区间上的单调减区间.16(本小题满分14分)ABCA1B1C1PQR在直三棱柱中，点分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，上顶点为，直线与椭圆交于两点，且的面积为.（1）求椭圆的标准方程；xyOBCDlPQMNm（2）设点是椭圆上一点，过点引直线，其倾斜角与直线的倾斜角互补. 若直线与椭圆相交，另一交点为，且直线与轴分别交于点，求证：为定值。18如图所示，某镇有一块空地，其中，. 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在的一周安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；OABMN（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？19设，且，数列的前项和为，已知数列是首项为0，公差为1的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设是给定的正整数，数列满足.当时，求数列的前项和；设数列满足，试求数列中最大项的值.20已知函数（）.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围；（3）当时，设，其中，试证明：函数在区间上有唯一的零点.（参考公式：若，则）2015届高三年级联考试卷数学参考答案1 2 325 4 5充要 61 7 89 1014 11 122 13 14715解：（1）由图知，解得， 2分又，所以，故， 4分所以，将点代入，得，再由，得，所以. 6分（2）因为， 10分由，解得，又，故所求的单调减区间为. 14分16证明：（1）在直三棱柱中，且，而点分别是棱的中点，所以且，所以四边形是平行四边形， 2分即且，又且，所以且，即四边形是平行四边形，所以， 4分又平面，所以平面. 6分（2）因，所以四边形是正方形，所以，又点分别是棱的中点，即，所以. 8分因，点是棱的中点，所以，由直三棱柱，知底面，即，所以平面，即， 10分所以平面， 12分又平面，所以平面平面. 14分17解：（1）由，得， 2分联立，得，所以，4分又上顶点到直线的距离为，所以的面积为，解得，即椭圆的方程为. 8分（2）设，则，因为直线与直线的倾斜角互补，所以，所以直线的方程为，令，得；令，得. 10分所以. 14分方法2：设，则，因为直线与直线的倾斜角互补，所以，所以直线的方程为，令，得；令，得. 10分联立，消去，得，解得， 12分所以. 14分18解：（1）在中，因为，所以，在中，由余弦定理，得， 2分所以，即，所以，所以为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为9. 4分（2）设，因为，所以，即， 6分在中，由，得， 8分从而，即，由，得，所以，即. 10分（3）设，由（2）知，又在中，由，得， 12分所以， 14分所以当且仅当，即时， 的面积取最小值为. 16分19解：（1）由题意得，所以， 2分当时，又，不适合上式，所以. 4分（2）因为，所以；又，所以， 则当时，；当时，即， 6分 1当时，； 8分2当时， .综上所述， 10分因为，所以，1当时，因为，所以（）若，则，此时；（）若，则当时，；当时，此时； 12分2当时，因为，所以；3当时，因为，所以（）若，则当时，；当时，此时；（）若，则，此时. 14分从而：A当时，因为，所以的最大项为；B当时，因为，且，所以的最大项为；C当时，因为，而，所以此时的最大项为；D当时，因为，而，所以此时的最大项为. 16分（说明：本题的结论也可以叙述为：（A）当或时，的最大项为；（B）当或时，的最大项为.）20解：（1）当时，则，由，得或（舍）， 2分列表如下：40递减取极小值递增因为，所以函数在上的最大值为. 4分（2）先考虑问题的反面，即若在区间上单调，则对恒成立或对恒成立. 6分因为，则对恒成立或对恒成立. 8分即对恒成立或对恒成立，所以或，从而所求的的取值范围是. 10分（3）当时，则，所以，则，因为，所以，故在区间上单调递增，从而原命题等价于：要证明12分即证，只要证，只要证 ，1先证： ，令，则，所以，只需证： ，令，（），则，所以在（0，1）上单调递增，于是，所以式与式成立. 14分2再证： ，令，则，所以，只需证： ，令，（），则，所以在（0，1）上单调递增，于是，所以式成立，从而式也成立.综上所述，不等式成立，故原命题成立. 16分