高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修22

3.2.2复数代数形式的乘除运算学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(易混点)3.了解共轭复数的概念(难点)自 主 预 习探 新 知1复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3思考2：|z|2z2，正确吗？提示不正确例如，|i|21，而i21.2共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.3复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)i(cdi0)基础自测1思考辨析(1)实数不存在共轭复数()(2) 两个共轭复数的差为纯虚数()(3) 若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()答案(1)(2)(3)2复数(32i)i等于()A23iB23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i，选B.3已知复数z2i，则z的值为() 【导学号：31062220】A5 BC3 DAz(2i)(2i)22i2415，故选A.4(2i)i_.解析(2i)i12i.答案12i合 作 探 究攻 重 难复数乘法的运算(1)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1)C(1，)D(1，)(2)计算：(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)Bzi，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得a1，故选B.(2)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(1i)212ii22i.规律方法1.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2.常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.跟踪训练1(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是() 【导学号：31062221】Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)(2)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析(1)(1i)212ii212i12i，故选C (2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.答案(1)C(2)5复数除法的运算(1)如图323，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于()图323A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)计算：.(1)B由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以12i，对应的点在第二象限(2)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.规律方法1.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.2.常用公式(1)i；(2)i；(3)i.跟踪训练2(1)设复数z满足i，则|z|()A1 BCD2(2)计算：；.(1)A由i得1zi(1z)，即z，zi，|z|1，选A.(2)1i.13i.共轭复数及其应用探究问题1若z，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示：zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数2若z0且z0，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示：z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数3三个实数|z|，|，z具有怎样的关系？提示：设zabi，则abi，所以|z|，|，z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|2z.(1)已知复数z，是z的共轭复数，则z等于() 【导学号：31062222】AB C1D2(2)已知复数z满足|z|，且(12i)z是实数，求.思路探究可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解(1)A法一：z，z.法二：z，|z|，z.(2)法一：设zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i，又因为(12i)z是实数，所以b2a0，即b2a，又|z|，所以a2b25.解得a1，b2，所以z12i或12i，所以12i或12i，即(12i)法二：因为(12i)z是实数，故可设zb(12i)，bR，由|z|可知|b|，所以b1，即(12i)母题探究：1.(变结论)在题设(1)条件不变的情况下，把题设(1)的结论改为求.解由例题(1)的解析可知z，z，i.2(变条件)把题设(2)的条件“(12i)z是实数”换成“(12i)z是纯虚数”，求.解设zabi，则abi，由例题(2)的解可知a2b，由|z| ，得b1，a2；或 b1，a2.所以2i，或2i.规律方法1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数.2.注意共轭复数的简单性质的运用. 当 堂 达 标固 双 基1设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()【导学号：31062223】AiBiC1D1Azi.2若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23iB23iC32i D32iAzi(32i)3i2i223i，23i.3复数(为虚数单位)的实部等于_解析由题可得3i，3i的实部为3.答案34(1i)2_.解析(1i)22ii.答案i5已知复数z1(1i)(1bi)，z2，其中a，bR.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值. 【导学号：31062224】解z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i, z2i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有解得6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375