高考数学指导：点击线性规划问题中的参数

高考数学指导：点击线性规划问题中的参数一、目标函数中的参数1. 目标函数中的系数为参数例1已知平面区域D由以为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数zxmy取得最小值，则A2 B1 C1 D4解：依题意，令z0，可得直线xmy0的斜率为，结合可行域可知当直线xmy0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数zxmy取得最小值，而直线AC的斜率为1，所以m1，选C点评：首先应根据图形特征确定最优解怎样才是无穷个，其次考虑最小值可能在何处取道。2.目标函数中的系数为参数例2 已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_.解析：变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，目标函数（其中）中的z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+)。点评：根据图形特征要确定怎样才能保证仅在点出去的最大值。3 目标函数中的、的系数均含参数例3 已知约束条件且目标函数取得最小值的最优解只有，则的取值范围是（ ）分析：根据条件可作出可行域，根据图形确定最小值在何处取到，且最优解唯一。解析：目标函数的斜率，由题意知使目标函数取得最小值的最优解只有一个，为，故有，代入解得：，即为的范围。点评：最优解只有一个，意味着目标函数所对应的斜率介于两条线的斜率之间。练习1：已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。答案：a二、约束条件中的参数 例6在约束条件下，当时， 目标函数的最大值的变化范围是A. B. C. D. 解析：由交点为，其可行域如图（1）当时可行域是四边形OABC，此时，（2）当时可行域是OA此时，故选D. 点评：本题只要抓住考虑参数对可行域的影响，从而进行分类讨论练习2：若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）或答案：C一个猜想的证明猜想：用线性规划知识易得当在直线的两侧时，有，类比猜想：直线和直线是两条平行直线，点是夹在这两条平行直线之间的任一点，则有。现证明如下：不妨设，点到直线和直线的距离分别是和；由于点不在直线和上，故（）。而两条平行直线和之间的距离是个常数，由题意知：，代入得：，化简得：，若，则（由（）知矛盾）或（由（）知矛盾），故。参考文献：1 甘志国 争鸣134 数学通讯，2007（7）一个常见图形的反例功能在立体几何教材的例题或习题中，我们发现一些图形经常出现；若能对它进行挖掘，充分利用，则起到妙不可言的效果。下面就举一个图形并说明它的作用。一、 常见图形如图1：四边形为正方形，。图1二、功能作用我们利用此图可以巧妙的解决立体几何中师生经常出现错误的四个问题四个顽症。顽症1 如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形为矩形分析：这是一个学生很容易出错的地方，看图1，则很容易判断：在四边形PBCD中，均为直角，而并非直角，则上述结论是错误的，从而如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形不一定为矩形顽症2 如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角互补或相等。分析：由“一个角的两边和另外一个角的两边分别对应平行，则这两个角互补或相等”这个定理进行类比，则很多同学认为正确。真的这样吗？请看图形1：和，满足，即两边分别垂直，但是为直角，而不是直角，而且随着点的运动而变化。因此这两个角并不满足相等或互补。故如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角不一定互补或相等。顽症3 如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小相等或互补分析：由“如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小相等或互补”这个结论类比，很多师生往往认为正确。其实不然。请看图2：二面角和二面角，满足，；二面角的大小为直角，作 ，垂足为H，连接HD，则不难说明，则为的平面角，由于，为直角三角形；故为钝角。从而这两个二面角并不互补或相等。所以，如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小不一定相等或互补图2顽症4 如果，则分析：利用图3直观判断师生很容易得出上述结论成立。其实不然。请看图4图3在CD（把点D看成E）上取一点M，使得，在取点N（可看成点F），可尽量靠近点A，这样接近，大约接近，这样，即有，则顽症4是错误的，从而如果，则与的大小不定。图4联系地址：山东新泰第一中学新校南区高三数学组 271200 徐加华有关直线与圆解题时的常见失误例析直线与圆是解析几何中的基本内容，高考对此部分的考查大都以基本题目为主，但在解题时同学们由于各种原因可能导致解题出现错误。下面就列举几种常见的情形，供同学们参考。一、求直线方程时 1 忽视直线的倾斜角的范围例1 求过点且倾斜角的正弦为的直线方程。错解：由，故所求直线方程为。分析：倾斜角的范围为，故，从而所求直线方程为。2 混淆截距和长度的区别例2 求通过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线方程。错解：由题意设，由已知得得，故所求直线方程为。分析：本题处理时没有区分好截距和长度的概念。截距是有正负的，而距离不能为负。正解：得或，所求直线方程为3 忽视斜率不存在的情况例3 求过点，向圆所作的切线方程。 错解：设切线方程为：，带入圆的方程得，整理得：，从而方程为。分析：过圆外一点作圆的切线应该有两条，显然漏解了，事实上忽略了斜率不存在的情况，应补上：4 对两直线的位置关系考虑不全面例4 求过点且与点距离相等的直线方程。错解：过点作与直线平行的直线符合题意。易得直线方程分析：事实上过点与线段的中点的直线也符合题意，应加上此条直线5 忽视点的位置例5 求过点作圆的切线方程错解：利用结论：过圆上一点的切线方程为：。则有：，即：.分析：忽视了结论中的一个条件：点必须在圆上。而此题点并不在圆上，而在圆外；切线应有两条。正确答案：和。二求参数时1 忽视隐含条件导致例6 已知圆和定点，若过点作圆的切线有两条，则的取值范围（ ）A 或 B C D 错解：由题意知点必须在圆的外部，则或，从而选A。分析：忽视了一个隐含条件：必须保证方程表示一个圆，而上述在解题时忽视了，因此不对；正解：由题意知点必须在圆的外部，则或，由方程表示一个圆，得，解得，从而得出，选D。2 忽视变量范围例7 已知圆，试求的取值范围。错解：由题意得：。分析：忽视了题目中的范围。由得。易得3 忽视斜率的大小例8 直线与圆在第一象限内有两个交点，则的取值范围（） AC错解：画出图形，直线与圆相切的时候，直线过点时，结合图形选。分析：错误在于没有处理好直线在从右上方向左下方平移时，是先过点还是先过点。而对此起决定作用的是直线的斜率。分析得直线先过，代入得：。从而选。在处理与线性规划有关的问题时也要注意这点。