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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 解三角形学案 理知识梳理:1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在RtABC中,C=900 ,BC=a,AC=b,Ab=c。(1)、三边之间的关系:a2+b2=c2;(勾股定理)(2)、锐角之间的关系:A+B=900(3)、边角之间的关系:(锐角三角函数的定义):sinA=cosB=ac sinB=cosA=bc ,tanA=1tanB=ab 2、斜三角形各元素之间的关系:如图2,在ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。(1)、三角形内角之间的关系:A+B+C= ;sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC sinA+B2=cosC2; cosA+B2=sinC2;(2)、三边之间的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;(3)、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等;即 asinA= bsinB= csinC=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形: (4)、余弦定理: 余弦定理变形: 3、三角形的面积公式:(1)、SABC= 12aha= 12bhb= 12chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c三边上的高)1 / 10(2)、SABC=12absinC=12bcsinA=12casinB(3)、SABC=2R2sinAsinBsinC=abc4R (2R为外接圆的直径)(4)、SABC=ss-as-b(s-c) ;s=12(a+b+c)(高考了解)(5)、SABC=rs(r为内切圆半径,s=12(a+b+c)4、解三角形:由三角形的六个元素(即三个内角和三条边)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其它未知元素的问题叫做解三角形,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等,解三角形问题一般可以分为下面两个情形:若给出是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形为斜三角形,则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用。(1)、仰角和俯角:(2)、方位角: (3)、坡度角: (4)、距离、角度的测量测量距离问题;测量高度问题;测量角度问题。二、题型探究探究一:利用正余弦定理解三角形例1: (2014安徽)(本小题满分12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.()求a的值;()求的值.探究二:求三角形的面积例3:已知a、b、c分别表示A、B、C的对边,A,B,C成等差数列,cosA=45 ,b=3(1)、求sinC的值(2)、求ABC的面积。例4:已知ABC三个内角A、B、C成等差数列,其外接圆的半径为1,且有sinA-sinC+ 22 cos(A-C)=22(1)、求A,B,C大小;例5:已知ABC三个内角A,B,C成等差数列,三边a、b、c成等比数列,证明:ABC为正三角形。探究三:判断三角形的形状例5:在ABC中,已知asinA=bsinB,试判断三角形的形状;例6:在ABC中,已知acosA=bcosB,试判断三角形的形状;例7:在ABC中,已知acosB=bcosA,试判断三角形的形状;探究四:正余定理的实际应用(2014上海)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米,设在同一水平面上,从和看的仰角分别为.(1) 设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2) 施工完成后.与铅垂方向有偏差,现在实测得求的长(结果精确到0.01米)?三、方法提升:(1)、解斜三角形的常规思维方法:已知两角和一边,可先用正弦定理解;已知两边和夹角,先用余弦定理,之后再用正弦定理;已知两边及一边所对的角,应用正弦定理,再由正弦定理或余弦定理求解,这种情况要结合图形讨论解的情况;已知三边,用余弦定理。(2)、三角形的内切圆半径R=2SABCa+b+c ,特别地,R直=a+b-c斜2(3)、三角形中中射影定理(4)、两内角与正弦关系:在ABC中,ABsinAcosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC1四、反思感悟 五、课时作业正弦、余弦定理的应用一、选择题(每小题6分,共60分)1在ABC中,“”是“”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2ABC中,A,B的对边分别为a,b,且A=60,那么满足条件的ABC( )A有一个解 B有两个解 C无解 D不能确定3在三角形中, 如果, 那么这个三角形是 ( )A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D 直角三角形或钝角三角形4已知中,那么角等于 ( )ABCD5的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则A B C D6在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1,则c= ( )A 1 B 2 C 1 D 7在中,AB=3,AC=2,BC=,则 ( )A B C D8在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2ac,则角B的值为 ( )A. B. C.或 D.或9设A是ABC中的最小角,且,则实数a的取值范围是( )Aa3 Ba1 C1a3 Da010在ABC中,若三个内角A,B,C成等差数列且ABC,则的取值范围是( )ABC D题号12345678910答案二、填空题(本大题共4小题,每题6分,共24分)11在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知 则A 12在ABC中,若B=300,AB=2,AC=2,则ABC的面积S是 13ABC的内角的对边分别为,若,则 16在中,角的对边分别为(1)求;(2)若,且,求.17在中,内角对边的边长分别是,已知,()若的面积等于,求;()若,求的面积15解:(I)由题意得,两式相减,得(II)由的面积,得,16解:(1),又 解得,是锐角(2), ,又17解:()由余弦定理得,又,得 希望对大家有所帮助,多谢您的浏览!
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