高考热身考试数学理试题

高三理科数学试题第 1 页 (共 4 页)2012 年高考热身考试数学（理）试题年高考热身考试数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A 或 B）涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号列表”内填写座位号，并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑. 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分第一部分 选择题选择题（共 40 分）一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的个是符合题目要求的已知全集UR，集合，则等于 |1| 1AxxACUA. B. C. D. (,02,)(,02,)0,2等比数列中，又，则公比等于 na112a 14234a aa a qA B C D22 323在复平面内，复数, 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，65i23i 则点 C 对应的复数是A. B. C. D. 48i82i24i4i已知是实数，则“”是“且”的, a b1,2ab3ab2ab A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分且必要条件 D既不充分也不必要条5 5 中，角所对的边，若，则ABCABC、abc、3a 3A5cos5B b A B C D8 552 554 5512 556 6已知函数满足：当 x1 时，=；当 x1 时，=，则( )f x( )f x) 1( xf( )f xx2=)7(log2f高三理科数学试题第 2 页 (共 4 页)A B C D1677874727 7某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450根据表中数据得到，参考下表：25018 158 95 0592723 24 26k(). P(K2k)0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.828则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为 A97.5% B95% C90% D99.9%8 8如图，从起点到终点的最短距离为A16 B17 C 18 D19第二部分第二部分 非选择题非选择题（共 110 分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，其中小题，其中 9 91313 题是必做题题是必做题,14,141515 题是选做题题是选做题. . 每小题每小题 5 5 分，满分，满分分 3030 分分. .9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为 1000185的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生_人.756010已知单位向量，其夹角为，ab3则=_ ba 11已知随机变量，2(2,)N0v1v2v5v6v3v4v起点8终点4224657634高三理科数学试题第 3 页 (共 4 页)O19图 图181716151413图图 图图 图0.060.080.160.320.38， . 3(1)4P (5)P1212下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_； 13甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠 4 小时、8 小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 选做题选做题: :在下面二道小题中选做一题在下面二道小题中选做一题, ,二题都选的只计算第二题都选的只计算第 1414 题的得分题的得分. .14 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题） 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且，则 BCPB12PABC15 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为 4cos4关于直线。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程16.（本题满分本题满分 12 分）分）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终xoyox, 边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A 点的纵坐标为，B 点1010的纵坐标为 （1）求的值；（2） 求的值102tantan和21717 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）某学校 900 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之1318间，抽取其中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13,14)，第二组14,15)，第五组17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于 14 秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级 900 名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽 2 个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望PBAC高三理科数学试题第 4 页 (共 4 页)18.（本小题满分（本小题满分 14 分）分）如图，长方体中， 1111ABCDABC D14CC 3ABBC（1）若分别是、中点，求证 EF/平面EF、1BC11AC；1DCC（2）求二面角的正弦值11ABCD19.（本小题满分（本小题满分 14 分）分）已知圆 C 方程：，22(1)9xy垂直于 x 轴的直线 L 与圆 C 相切于 N 点（N 在圆心 C 的右侧） ，平面上有一动点 P，若 PQL，垂足为 Q，且；21|PQPC（1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知 D 为点 P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点，A、B 分别为点 P 的轨迹曲线与轴的正半轴的交, x y点，求四边形 OADB 的最大面积及 D 点坐标.20.（本小题满分（本小题满分 14 分）分）已知函数. 3213f xxaxbxRa,b（）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线 C : yf x1 2P,CP平行，求的值；230 xya,b（）在（）的条件下，试求函数（为实常数， 2713g xmf xxm）的极大值与极小值之差；1m （）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：. f x1 2 ,02ab21.已知函数，数列满足：，( )cosf xx ( )2g xxnx15(,)66x ，*12()() ()nng xf xnNn高三理科数学试题第 5 页 (共 4 页)(1) 当时，求的值并写出数列的通项公式（不要求证明） ；223,x xnx(2) 求证：当时，；0 x ( )xfxx (3) 求证：。*1231()2222nxxxxnN数学数学(理理)参考答案参考答案一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的, ,请在答题卡相应位置填涂答案）请在答题卡相应位置填涂答案）C A CA CCAB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分其中分其中 14141515 题是选做题，考生只能题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. .9.9. 3700 1010 1111 1212 1313 1414 15153145123172324sin高三理科数学试题第 6 页 (共 4 页)高三理科数学试题第 7 页 (共 4 页)O19图 图181716151413图图 图图 图0.060.080.160.320.38答案：答案：一、选择题：一、选择题： C A CA CCAB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分其中分其中 14141515 题是选做题，考生只能题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. .9.9. 3700 1010 1111 1212 1313 1414 15153145123172324sin三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。（1）由条件得 ， 2 分1sin101sin5 2 为锐角，故 且 ，同理可得 4 分cos03cos107cos5 2因此，。 6 分1tan31tan7（2），7 分1tan31tan711tantan137tan1 11tantan213 7 8 分11tantan()32tan 2tan()11 11tantan()13 2，在上单调递增，02xytan)2, 0(且 ，10 分4tan1tan40同理， 11 分 从而 12 分4043202417、解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为 0.06，人数为：500.06=3 所以该样本中成绩优秀的人数为 3。 3 分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率 0.38，以此估计本年级 900 名学生成绩属于第三组的概率为 0.38，人数为：9000.38=342 所以估计本年级 900 名学生中，成绩属于第三组的人数为 342。 7 分（3）的可能取值为 1，2，3； 8 分31) 1(240123231211CCCCCCp 9 分21)2(241311231112242301230122CCCCCCCCCCCCp高三理科数学试题第 8 页 (共 4 页) 10 分61)3(241311230122CCCCCCp的分布列为 11 分 651611)3(3)2(2) 1(1pppE 12 分18. ()证明：连接，则长方体中，111D BBC、1111ABCDABC D，11BCBCE1111D BACF、分别是和的中点EF11B D1BC分 4 分1/ /EFDC1/ /EFDCC平面()解：(理)连接设交于，连接ACBDO11AOC O、正方形中，又平面ABCDACBD1AA ABCD平面5 分1AABDBD 11AAC C过作于，作于，连接、1A11AHC OH11AGC BGGHBF 平面 6 分1AHBD1AH 1BDC 平面 8 分11BCAH1BC 1AHG1BCHG就是二面角10 分1AGH11ABCD， ，3ABBC14CC 115ABBC113 2ACBD，1分111112441AA ACAHOC11113 415BF ACAGBC 二面角的正弦值是 14 分11140sin41AHAGHAG11ABCD404119.解：（1）设点坐标为1 分P( , )x y则，2 分 3 分4PQx22(1)PCxy因为，所以4 分21|PQPC22(1)142xyxP1231/31/21/6高三理科数学试题第 9 页 (共 4 页)化简得5 分 所以点的轨迹方程6 分22143xyP22143xy（2）依题意得，点坐标为，点坐标为7 分A(2,0)B(0, 3)设点坐标为，8 分D(2cos , 3sin ),(0)2则四边形的面积,9 分OADB+OADOBDOADBSSS四边形11 分1123sin32cos22 3(sincos )6sin()4又因为，所以12 分023+444所以，即所以四边形的最大面积为，132sin()12436sin()64OADB6分当四边形的面积取最大时，即，此时点坐标为14 分OADB=42=4D6( 2,)220. 解：（），1 分 3213f xxaxbx 22fxxaxb直线的斜率为 2，曲线在点处的切线的斜率为, 230 xyCP2 2 分 1122fab 曲线经过点， 3 分 C : yf x1 2P, 1123fab由得：2,37.3ab 4 分（）由（）知：， 32127333f xxxx 232123mg xxx, 由，或.5 分 2413gxmx x 00gxx43x 当，即或时，变化如下表210m 1m,1m x gx g xx0 ,0403,4343, gx+0-0+ g x极大值极小值高三理科数学试题第 10 页 (共 4 页)由表可知： 7 分 403g xg xgg大大大大2232320118181mm 当即时，变化如下表210m, 11m x gx g xx0 ,0403,4343, gx-0+0- g x极小值极大值由表可知：8 分 403g xg xgg大大大大2232321018181mm 综上可知：当或时，；1m,1m g xg x大大大大232181m 当时，9 分11m g xg x大大大大232181m（）因为在区间内存在两个极值点 ，所以( )0fx， f x1 2 ,即220 xaxb在(1,2)内有两个不等的实根2(1)120,(1)(2)440, (2)12,(3)4()0.(4)fabfabaab 11 分由 （1）+（3）得：0ab， 12 分 由（4）得：2abaa，由（3）得：21a ，2211()224aaa，2ab 13 分故 14 分02ab21. (1)解：， 2 分23,22nxxx(2)证明：设，则，( )( )sinF xfxxxx( )cos10F xx 在上为减函数，即，即，4 分( )F x0,)( )(0)0F xF( )fxx高三理科数学试题第 11 页 (共 4 页)设，则，( )( )sinH xfxxxx( )cos10H xx 在上为增函数，即，即，5 分( )H x0,)( )(0)0H xH( )fxx 当时，。 6 分0 x ( )xfxx (3)由(1)知：当时，0 x |( )| |fxx同理可证：当时，即对，恒有：。7 分0 x |( )| |fxxxR |( )| |fxx由得：，*12()() ()nng xf xnNn11cos2nnxxn （） 8 分1111cossin()222nnnnxxxxnnnA*nN，11212nnxxn121222nnxxn2122xx从而， 10 分12(1)!2nxn 11 分12311111122221!1!2!3!2nxxxxn 13 分211111 12222n 11112(1)32222nn 325(,)66成立。 14 分*1231()2222nxxxxnN