开拓思路提升思维品质

BDXADBE=BC AB=AC ./ ABC=/ C . / C=Z CABCA BEC,AC BCBC CE/ BEC=Z C ./ ABC=Z BECAC BCBC 2CD开拓思路提升思维品质-对一道几何题多解的探讨武汉二中广雅中学王海涛在初中几何教学中，为了拓宽思路，培养分析问题和解决问题的能力，常常要采用“一题多解”来进行思维训练.对于“一题多解”的问题，首先要仔细审题，认真分析，打开思路.而关键在于根据已知条.在初三几何复习中这种做法件添加辅助线，从不同的角度去寻找解题的途径，从而获得异曲同工的效果 尤为重要，我们广大数学老师可以利用有限的几道几何题，进行广范围的复习，对各种相关几何知识进行 归纳、总结，从而得到更好的复习效果.例如：如图， ABC 中，AB=AC, BDAC 于 D.求证：BC2=2AC - CD一道题由不同的思路，可以得出多种解法.等积式的证明，基本思路是化为比例式，解此题的关键之 ,是如何处理系数的问题.思路一：将BC2=2AC CD化为比例式2AC BC或AC -BC ,设法取一条线段，使它等于2AC或BC CD BC 2CD2CD,构造相似三角形进行证明.证法一：延长 CA至E,使AE=AC,连结BE,贝U CE=2AC AB=AE=AC ./EBC=90 =/BDC . / C=Z C.-.ECBA BCD.EC BC . 2AC BC BC CDBC CD即 BC2=2AC CD证法二：在DA上截取 DE = CD,连结BE,贝U CE=2CD即 BC2=2AC - CD思路二：将 BC2=2AC - CD 化为-BC2=AC - CD, 2AC 1 -BC 21BCBC或七 -一，仿上，可得证法三、CD BC CD证法四.证法三：取BC中点E,连结DE,则CE=1bc2在 RtABCD 中,DE=! BC=CE2EDC=/ C AB=ACABC=/ CABC=/ EDCABCA EDC,AC BCEC CDAC-BC 2BCCDBC2=AC CD 2即 BC2=2AC - CD证法四：取BC中点连结AE,则 CE=-2BC AB=AC./AEC=90 =/BCDACEA BCD.ACBCCECDACBC1BC 2CDBC2=AC CD即 BC2=2AC - CD思路三：BC2=2AC -CD还可化为1（，BC）22 = 1 AC CD2BC）1-CD,这时只需取2E同理/ EDC=/C ./ FEC=Z EDCBC的一半，再取 AC的一半或CD的一半即可得证法五、证法六.证法五：取BC的中点E, AC的中点F,连结DE、EF及AE AB=ACAE BCFE=FCFEC=Z C又/ C=/CFECA EDCFC ECEC CD.CE2=FC - CD即(1BC) 2 = 1 AC CD 22BC2=2AC CD证法六：取BC的中点E, CD的中点F,连结AE、EF贝UAEBC, EF / BD又 ; BD ACEF，AC故 EC2=CF - CA即(1BC) 2 = 1 CD AC 22思路四BC2=2AC CD由BD AC, BC2=2AC CD想到射影定理，只需要 BC成为以BD为斜边上的高的直角三角形的一直角边即可，这不难做到.证法七：过点B作BE，AC交CA的延长线于 巳 垂足为B BDXCEBC2=CD - CE AB=AC. ABC=Z C . Z ABC+Z EBA=90 , / C+/E=90 ./ EBA= Z EAE=AB=AC 即 CE=2AC即 BC2=2AC - CD思路五：由直角三角形及左边平方式，联想到应用勾股定理证法八：在 RtABDC 中，BC2=BD2+CD2在 RtAABD 中，BD2=AB2 AD2BC2=AB2AD2+CD2=AC2AD2+CD2 =(AD + CD) 2 AD2+CD2=2AD - CD+2CD2 =2CD (AD+CD) =2AC - CD