数学与应用数学毕业设计（论文）基于二维小波的弹性板损伤识别

毕业设计（论文）题 目基于二维小波的弹性板 损伤识别 专 业 数学与应用数学 班 级 2007级01班 学 生 指导教师 2011年目 录摘 要IAbstractII第一章 绪 论11.1引言11.2国内外发展现状21.2.1主要技术及研究成果21.2.2发展趋势31.3 本文主要研究内容5第二章 小波分析理论62.1 引言62.2 连续小波变换62.2.1 定义62.2.2 连续小波变换的时间-尺度特性82.2.3 连续小波变换的时间-频率特性92.3 离散小波变换102.4 常用小波函数介绍112.4.1 Haar小波122.4.2 小波132.5 多分辨分析152.5.1 多分辨分析的空间剖分152.5.2 二尺度差分方程172.5.3 Mallat算法18第三章 基于二维小波的弹性板损伤识别193.1 引言193.2 薄板结构横向振动基本方程推导193.3 二维小波分析识别板中奇异点位置的方法263.4 基于小波识别弹性板损伤293.4.1 小波基的选取原则293.4.2 基于小波分析弹性板的损伤识别303.5 结果分析32第四章 结论和展望334.1 结论334.2 展望33致 谢35参考文献36附件39II2011届数学与应用数学专业毕业论文摘 要弹性板（一般当结构的长、宽大于厚的十倍时可认为是弹性板，如箱梁、空心桩等）是工程建筑中一类常见的结构，在桥梁中也是非常常见的，弹性板在施工和使用过程中极有可能会出现各种损伤（如雨水腐蚀、钢筋砼疲劳），当损伤达到一定程度后就会导致结构失稳，从而影响到结构的安全性，严重时可能引发灾难性的事故，不仅会危及到人民的生命安全，而且给社会财富带来巨大的损失。如何有效识别弹性板内的损伤已成为一项重要的研究课题。小波分析是近十几年来国际上的一个前沿领域 ，它被认为是傅立叶分析的突破性发展，是一种两维分析方法。小波分析方法具有空间局部化性质，即信号在某点处的小波变换在小尺度下完全由该点附近的局部信息所确定，它在信号奇异性检测方面有着独特的优势。因此，采用二维小波分析对弹性板的损伤问题进行检测，不仅具有重要的理论意义，而且具有一定的工程应用价值。近些年在工程方面小波分析的结构检测研究已经受到重视，并得到了大量的成果。本文在小波和小波在弹性板损伤识别上运用成功的基础上，提出将小波应用到弹性板上，以含有损伤的弹性板作为研究对象，以小波32为母小波，通过对含有损伤的弹性板的模态振型做二维小波变换，识别出弹性板内损伤的位置，得到二维和三维的可视结果，在工程结构研究中有一定的现实意义。关键词：弹性板；二维小波分析；小波；模态振型AbstractElastic plate (usually when the structure of long, ten times as large in the thick elastic plate can be considered, such as box girder, hollow piles, etc.) is a common class of engineering and construction of the structure of the bridge is also very common, elastic plate in the construction and use is likely to occur in a variety of injuries (such as rain water corrosion, reinforced concrete fatigue), when the damage reaches a certain level can lead to structural instability, which affects the safety of the structure, may lead to serious disaster of accidents, not only endangering the lives of the people, but also to the huge loss of wealth in society. How to effectively identify the damage within an elastic plate has become an important research topic.Over the last decade of wavelet analysis is an international frontier, it is considered a breakthrough in the development of Fourier analysis is a two-dimensional analysis. Wavelet analysis method has the nature of spatial localization, that is the signal in a wavelet transform at the point entirely by small scale local information near the point determined by its singularity detection signal has a unique advantage. Therefore, using two-dimensional wavelet analysis on the problem of elastic plate to detect the damage, not only of great theoretical significance, but also has some engineering applications.Wavelet analysis in recent years in structural engineering research has been emphasis on testing and get a lot of results. In this paper, wavelet and wavelet Damage Identification on the flexible use of success, based on the proposed wavelet applied to the flexible board, flexible board to contain damage as the research object, wavelet as mother wavelet, by containing the damage elastic plate mode shapes do wavelet transform, to identify the location of damage within the elastic plate, two dimensional and three-dimensional visual results, the study of engineering structures has some practical significance.Key Words: elastic plates;two-dimensional wavelet analysis; wavelet; mode shapesIII第一章 绪 论1.1引言20世纪是有史以来科学技术进步最为迅速的时代，人们在科学技术方面所取得的成就远远超过了以前数百年中的成就。桥梁工程作为一项综合性技术，是在诸多学科的基础上发展起来的。由于设计理论的进步和各种新材料、新工艺的出现。尤其是电子计算机的出现和应用，使桥梁的结构形式和跨度有了飞跃的发展。伴随着复合结构、新材料、新工艺的发展，桥梁开始向大跨度、柔性结构发展。其中跨度的记录仍在不断刷新：悬索桥从19世纪末的486m到日本明石海峡大桥的1991；斜拉桥主跨至20世纪末发展到近900m；钢筋混凝土拱桥由最初的100m发展到万县长江大桥的420m；预应力混凝土桥梁突破300m；值得我们关注的钢管混凝土桥也已发展到560m。可见，科学技术的发展，带动桥梁工程向大型化、长期化、重要化发展。通常，这类重大工程结构的使用期都长达几十年，甚至上百年，然而，由于这些大型工程建筑通常都时刻暴露在恶劣的自然环境中、而且由于设计、施工、管理中的缺陷，目前以后不少桥梁发生老化、破损、裂缝。我国交通部调查结果显示，2004年我国约有10000多座安全性与耐久性不足的桥梁。桥梁作为交通命脉，一旦出现事故，将给国民经济、社会稳定和人民生命财产带来巨大影响。其中典型的例子有：2001年11月7日，四川宜宾南门大桥由于承重钢缆生锈，使吊杆突然断裂，导师桥体两端先后发生断塌，造成重大损2007年8月13日，湖南凤凰堤溪大桥垮塌。2001年3月4日葡萄牙北部的Hintze-Ribeiro大桥坍塌。引起该桥坍塌的原因至今仍为确定下来，然而葡萄牙法官判处该桥的设计单位在在安全设计方面存有缺陷。另可能是由于该桥年久失修而无法经受连续几日的暴雨而坍塌。死亡人数：59人。2006年12月2日印度比哈尔邦帕戈尔布尔火车站附近一座旧桥坍塌，地面一列火车被压。坍塌原因：这座已经有着150年历史的大桥年久失修，并在被拆毁过程中坍塌。死亡人数：33人。43桥梁建筑与其他建筑不同之处在于，一旦出现大的破损、老化问题，要进行修补是相当困难的。因此采用科学的检测和评估手段来保障结构的可靠性、安全性和耐久性显得极为重要。随着科学技术的发展，综合现代传感技术、网络通讯技术、信号分析与处理技术、数据管理方法、计算机、预测技术及结构分析理论等多个领域知识的桥梁监测系统，可极大地延拓桥梁检测内容，并可连续的、实时的、在线的对结构状态进行监测和评估，确保运营的安全和提高桥梁的管理水平。虽然建立一个科学的桥梁结构监测系统需花费一定资金，但比起桥梁高昂的日常维护费、桥梁垮塌毁损失以及重建资金来讲，这样的投入是非常值得的。1.2国内外发展现状结构中的损伤可定义为“结构在服务期内其承载能力的下降”。承载能力的下降通常是由于结构构件内部或构件之间连接出现损伤而引起的。对于处于自然环境中的实际工程结构，由于受使用荷载的作用和各种突发性因素的影响，从服役开始就面临着一个损伤积累的问题，严格地讲，结构的健康状态不断地发生着变化，损伤积累到一定程度将导致结构的突发性失效。为了保证结构的安全，人们很早就意识到应在结构服役期充分了解结构的损伤状态及承载能力的变化，使损伤积累尚未达到威胁结构安全的程度之前就能够被检测出来。而准确地识别出结构损伤及正确地评估结构工作状态，不仅关系到工程结构物的安全使用，而且对于决定是否对其进行维修加固与何时维修具有重要的意义。因此，土木工程结构探伤工作的发展主要围绕着结构损伤检测(Damage detection)、结构损伤识别 (Damage identification)、结构健康监测(Structural health monitoring)来进行研究。11.2.1主要技术及研究成果目前在土木工程中常用的无损检测技术有回弹法、超声回弹综合法、钻芯法、超声法等，在广泛应用的前提下不断发展，其应用范围也不断被拓宽。(1)回弹法:为适应商品混凝土、高强混凝土技术的发展，研制出了冲击能量较高的高强混凝土回弹仪，使回弹法能检测高于C60的混凝土。如陕西省编制的回弹法检测检测高强度混凝土连续冲击，极大地提高了检测效率，并已成功地用于大型预制混凝土地方标准，可检测60.OMPa-90.OMPa的高强混凝土。(2)超声回弹综合法:中国工程建设标准化协会于2005年颁布的超声回弹综合法检测混凝土强度技术规程(CECS02: 2005)，不仅将检测的强度范围扩大到10.OMPa-70.OMpa，而且还引入了超声角测、平测等方法，提高了超声回弹综合法检测的适应范围。(3)钻芯法:2004年颁布实施的钻芯检测离心高强混凝土抗压强度试验方法GB/T19496-2004，对钻芯法应用于预应力高强混凝土管桩等采用离心工艺成型的混凝土强度检测领域作了规范。(4)超声法:作为重要的无损检测方法，超声波检测技术得到了广泛的应用和发展。文献2, 3, 4给出了超声波检测技术用于检验确定混凝土的强度以及内部裂缝的范围、混凝土内部缺陷的具体方法。文献5给出了超声检测中裂纹型缺陷进行智能识别的方法;文献6给出了超声波法检测混凝土结构抗冻性能的研究、复合材料及结构陶瓷的研究。它表明超声波检测技术检测混凝土的性能、内部状态是一个可靠的、有价值的方法。超声波检测技术对加强混凝土质量的监控和检测，保证和提高混凝土质量具有及其重要的意义。为适应钢管混凝土等钢一混凝土组合构件的推广应用，2000年颁布实施的 超声法检测混凝土缺陷技术规程(CECS21: 2000)中收入了超声法检测钢管混凝土缺陷等内容，极大地提高了检测效率，并已成功地用于大型预制混凝土地方标准，可检测60.OMPa-90.OMPa的高强混凝土。1.2.2发展趋势近年来，小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐引起了各个领域研究人员的关注和重视，已经成为一个新的数学分支。传统的傅里叶变换属于一种纯频域的分析方法，反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息，即无时域分辨能力。而小波变换在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，基于小波变换的小波分析方法利用一个可以伸缩和平移的可变视窗能够聚焦到信号的任意细节进行时频域处理，既可看到信号的全貌.又可分析信号的细节，并且可以保留数据的瞬时特性7。因此小波分析在信号与图像处理、模式语音识别、地震助测、机器视觉、医学成像、流体力学、分形、机械故障诊断、土木结构损伤检测等领域具有非常广阔的应用前景。除了利用小波分析对信号进行的分解、重构外，小波分析在土木工程中的主要应用技术有8：（1）信号奇异性检测。信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信号的重要特征之一。对信号进行多尺度分析，在信号出现突变处，经小波变换后的系数具有模极大值，据此来检测信号的奇异点。（2）信号消噪处理。对信号进行小波分解，即以门限阀值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构从而达到消噪的目的。（3）在含噪信号中识别有用信号的发展趋势。信号中低频部分代表着信号的发展趋势，其对应着最大尺度小波变换的低频系数。随着尺度的增加和时间分辨率的降低，信号的发展趋势越来越明显，甚至可以将隐藏在噪声中的信号显示出来，达到去伪存真的目的。（4）信号压缩。利用小波分解后一个数据量很小的低频系数和几个高频层的系数重构原信号，可以精确地逼近原信号，实现原形再现同时达到信号压缩的目的。小波分析在土木工程方面的应用研究主要集中在三个方面：抗震研究、系统识别和损伤诊断。在抗震方面的研究主要是利用小波变换识别结构地震响应的非线性、利用小波分析计算局部谱密度来描述地震动的时频非平稳性以及将结构地震响应分解到不同频带上进行分析。杜兴信9利用Morlet小波变换对地震活动进行了动态周期分析，揭示了地震周期活动的时变性。吴爱弟和牟永光10利用二维小波包压缩技术，根据信号与噪声在压缩比上的差异，把小波系数分解为相关和不相关部分，并经迭代不断提取相关部分。肖梅玲11对二层框架模型进行了振动台试验研究、也进行了在小波基下的地震地面运动能量分析和结构地震能量反应、以及结构地震反应在小波基下的动力可靠性分析。小波分析在系统识别方面有线性识别与非线性识别两方面。Ruzzene等12用小波变换对线性系统的频率和阻尼进行识别，而Wang L.A.和Chen J.C.13对非线性系统在正弦荷载作用下的响应进行了研究。在结构损伤识别方面，尤其是对梁构件的损伤识别，基于小波分析的方法倍受亲睐。K.M.Liew等14用离散小波变换对简支梁裂缝位置进行了识别，指出小波分析较之单一的特征值分析理论更易用于特征函数的研究。Quan Wang等15比较了带裂缝简支梁(Euler-Bernoulli梁)与无损伤梁在静集中荷载作用下的挠度曲线，并通过多尺度的小波变换来识别裂缝。Z.Hou等16提出的基于小波理论的方法用于结构健康监控(SHM)和损伤识别，结构损伤或刚度的改变能由反应数据进行小波分解后的细部信息的峰值所识别，峰值的位置即为损伤发生的时刻。Ser-Tong Quek17通过有限元建模，运用Haar小波和Gabor小波分析了在跨中施加一集中力的一端固定一端活动支座的简支梁，说明了小波分析用于裂缝识别时对裂缝长度、宽度、方向、深度和边界条件的效果。J.-C.Hong18应用Mexican hat小波的连续小波变换估算出Lipschitz指数，并指出其大小与损伤程度有关。E.Douka和S.Loutridis19-21给出了开裂悬臂梁的振型函数和多尺度分析的三维图，另对板做了小波分析以识别损伤。Chih-Chieh Chang和Lien-Wen Chen22,23将裂缝视为转动弹簧，给出了有多条裂缝的梁的振型函数，并识别了悬臂梁的裂缝。任宜春等24用Guass函数的二阶导数和三阶导数作为小波函数，分别对有裂缝梁和有损伤段梁的振型曲线进行连续小波变换，可以从小波系数的模极大值得出裂缝截面和刚度变化截面的位置。H.F.Lam25提出了一种由空间小波变换和Bayesian方法(贝叶斯法)发展而来的识别一开裂梁损伤的方法。X.Q.Zhu和S.S.Law26基于小波分析的移动荷载下梁桥的裂缝识别，裂缝视为遵从线弹性断裂机理的转动弹簧。B.Li27通过对全梁离散成若干个小波有限单元，对其裂缝位置和尺寸进行了识别。L.H.Yam28使用小波和神经网络(ANN)相结合识别复杂结构的损伤。从目前已有的研究成果来看，利用小波分析进行结构损伤诊断主要在前两个层次，即识别损伤的存在和位置。作为一种新兴的时频分析手段，小波在处理结构测试数据时具有极大的优势，可以预见其在结构健康监测系统和结构损伤识别分析中有着广阔的发展空间和应用价值。1.3 本文主要研究内容通过对损伤弹性板的模态参数进行小波变换来识别弹性板中的损伤，是一门综合性的研究课题。本文在弹性板理论的基础上，对弹性板的振型进行二维小波变换，介绍了对梁的损伤进行识别的方法。主要内容有：（1）介绍小波分析的基本理论，包括连续小波变换、离散小波变换、几种常用的小波的特点、多分辨分析等。（2）成功将小波应用于弹性板的检测，发展了小波在无损检测方面的使用方向。为二维小波变换在弹性板损伤检测上的发展做出了一定的贡献。第二章 小波分析理论2.1 引言小波分析方法的提出，最早可以追溯到1910年Haar提出的haar函数，haar函数自身很简单，但它的伸缩系却能构成平方可积函数空间L2 (R)的规范正交基。1984年法国地球物理学家Morlet在分析处理地球物理勘探资料时引入小波变换这一概念，其后又与法国理论物理学家Grassmann共同提出用平移和伸缩不变性建立小波变换的理论体系。1987年法国数学家构造出具有一定衰减性的光滑小波基后，小波理论方面的研究成为热点。1989年美国费城大学的S.Mallat将多分辨分析的概念引入到小波分析中，成功地统一了之前各种小波构造的方法。S.Mallat提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向实用性。小波分析（WaveletAnalysis）是傅里叶分析发展史上里程牌式的发展，近年来在法、美、英等国家成为众多学科共同关注的热点。它被看作是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶，其基础理论知识涉及到泛函分析、傅里叶分析、信号与系统、数字信号处理等诸方面，同时具有理论深刻和工程应用十分广泛的双重意义。由于传统的傅立叶分析（FourierAnalysis）只是一种纯频率的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或分辨能力）。后来发展起来的短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform）以固定大小的窗函数对时域特性有了一定的分析能力。但是小波变换通过小波函数的伸缩和平移，克服了短时傅立叶变换窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点。因而它是一种非常适合对非稳态信号进行处理的数学工具，被誉为数学显微镜。2.2 连续小波变换2.2.1 定义对于任意函数或者信号，满足，且满足小波容许条件，则的连续小波变换定义为： （2.1）式（2.1）中的为尺度因子，它的作用是将基本小波做伸缩，反映信号的频率信息；为平移因子，它检测小波函数在轴上的平移位置，反映信号的时间信息。其中、且，为基本小波或称为母小波，表示的复共轭。只有当函数满足,且即时，才称为母小波由它经过尺度伸缩与实践平移生成小波函数族，即小波母函数： （2.2）母小波还需要满足如下容许条件： （2.3）从小波的定义可知，小波函数不仅要求具有一定的震荡性，即它包含着某种频率特征，而且还要求具有一定的局部性，即它在一个区间上恒等于0或很快地收敛于0。综上，式（2.1）是把函数分解为若干个小波系数，用这些小波系数对函数进行重构，即其中 （2.4）为了使信号重构的实现在数值上市稳定的，除完全重构条件外，还要求小波的傅里叶变换满足下面的稳定性条件： (2.5)通过伸缩因子和平移因子的变化，小波窗沿时间轴移动，在不同的尺度上对整个间域的函数变换进行分析。可见，它较之于加窗Fourier变换的显著优势在于它的窗大小和形状是变化的，能敏感地反映出信号的突变，这也就决定了小波变换在突变信处理中的特殊功能及地位。在此，进一步说明如下：（1） 在小波变换过程中，所采用的小波必须满足“容许条件”，反变换才存在。（2） 在实际中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条件，对还要施加所谓的“正则性条件”，使在频域上表现出较好的局域性，要求随a的减小而迅速减小，所以这就要求的前n阶原点矩为零，且n值越高越好，即 （2.6），且值越大越好此要求在频域内表示就是，在处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即： （2.7），越大越好，式（2.6）和式（2.7）就是正则性条件。连续小波变换具有如下重要性质：（1） 线性：连续小波变换为线性变化，一个函数的连续小波变换等于该函数分量的变换和，即： （2.8）（2） 平移不变性： （2.9）（3） 伸缩共变性： （2.10）（4） 能量的比例性：小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比，即： （2.11）（5）冗余性：连续小波变换存在内在信息的冗余度，即在a-b半平面上各点小波变换的值是相关的。2.2.2 连续小波变换的时间-尺度特性从定义可以看出小波变换是尺度参数a的函数和时间参数b，是一种时间尺度分析。用镜头观测目标的例子可以形象的说明利用连续小波变换的时间尺度特性分析信号的原理。令代表镜头的作用，则在尺度上的伸缩和时域上的平移与镜头相对于目标的远离、平行移动和推进是非常类似的。当尺度参数增大时，的时域宽度增大，相当于镜头远离目标，在远距离下观测目标(信号)概貌；当固定时，的变化相当于使镜头相对于目标(信号)作平行移动，但和目标的距离保持不变；当尺度参数减小时，的时域宽度变窄，相当于将镜头向目标推进，在近距离下观测目标(信号)的细节。小波变换的时间尺度特性，使它既可以对信号作整体的概貌描述，又可以对信号的局部特性进行细致的描述。2.2.3 连续小波变换的时间-频率特性在容许条件的基础上，小波函数在时域上是震荡的，其傅立叶变换在频域上是一个带通函数，而且和分别在时域和频域上具有良好的局部性。设和分别表示的中心位置和半径，和分别表示的中心频率和半径。可以证明，,的中心及半径分别为和,的中心和半径分别为和。这说明，当尺度增大时，在时频上，的宽度增大，小波变换的时频分辨率降低，而在频域上，的中心降低，宽度减小，小波变换的频域分辨率提高。也就是说，当尺度较大时，小波变换以较高的频域分辨率和较低的时域分辨率来分析信号的低频分量。当尺度减小时，在时域上，的宽度减小，小波变换的时域分辨率提高，而在频域上，的中心升高，宽度增大，小波变换的频域分辨率降低。也就是说，当尺度较小时，小波变换以较高的时域分辨率和较低的频域分辨率来分析信号的高频分量。由此可以看出，小波变换可以自动调整时频分辨率，如图2.1所示。当固定而发生变化时，的中心在时域上平移，但其宽度不变，的中心及半径均保持不变，因此，的变化可以使我们在时频分辨率不变的情况下沿着时间轴观测信号的不同部分。图2.1 小波函数的时间频率窗结构图窗 宽带宽当分析高频信号时，希望时频分辨率较高；当分析低频信号时，希望频域分辨率较高。但一般的时频分析方法时频分辨率都是固定的，根据测不准原理，它们的时域分辨率和频域分辨率又不可能同时达到最好，二者的乘积有一个上限。小波变换多分辨率的特性正好在符合测不准原理的前提下满足信号分析的这一要求，这也是小波变换优于其它时频分析方法的原因。2.3 离散小波变换在实际应用中，特别是在用计算机上分析处理时，需要将连续小波加以离散化，下面讨论一下连续小波, 和连续小波变换的离散化问题。需要指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续的平移参数进行的，而不是针对时间变量的。这一点与通常的时间离散化不同，应该引起注意。在连续小波中，考虑函数： （2.12）这里，是容许的，为了方便起见，在离散化中总限制只取正值，这样容许条件就变为： （2.13）通常，把连续小波变换中尺度和平移参数的离散化公式分别取为，这里，扩展步长是固定值，且。对应的离散化小波函数,即可写成： （2.14）而离散化小波变换系数则可以表示为： （2.15）其重构公式为： （2.16）通常取，每个网格点对应的尺度为，而平移为。由此得到小波： （2.17）对应的离散小波变换为： （2.18）2.4 常用小波函数介绍小波（wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。设函数，并且，即，则称为一个基本小波或母小波。对母小波做伸缩和平移得： （2.19）称为小波函数，简称小波。其中，为尺度因子，为平移因子。变量反映函数的尺度（或宽度），它的作用是将基本小波做伸缩，越大，越宽，小波的持续时间随变大而增宽；幅度与成反比减小，但小波的形状保持不变。中的作用是使具有不同值的小波的能量保持相等，即。而变量检测小波函数在轴上的平移位置。母小波还需满足以下容许条件： （2.20）由此可知，小波函数不仅要求具有一定的震荡性，即它包含着某种频率特征，而且还要求具有一定的局部性，即它在一个区间上恒等于0或很快地收敛于0。以下简要介绍几种常用小波。2.4.1 Haar小波数学家A.Haar与1910年提出的Haar系为整数。Haar系是由母函数： （2.21）生成的。在同一尺度上，基函数相互正交，而且很容易证明，不同尺度之间的基函数也是正交的，且构成了上的完备标准正交基。但是Haar系的函数是不连续的，且它们在频域随的衰减加速度为，因此频域局部性差。这在许多实际应用中受到限制，但是由于它的结构简单，所以常用于理论研究。Haar小波函数图形如图2.2所示。10-100.51图2.2 Haar小波形状图2.4.2 小波33,34在的不连续点附近使用光滑函数，用这种方法正交条件： （2.22）得到满足，从而获得尺度函数，式（2.22）中的表示光滑度（即第阶角光滑函数是次连续可微的）。为了满足正交性要求式，这些角光滑函数应具有下面性质：角光滑函数的例子是：设是期望的角光滑函数，则在时间域的尺度函数则成为 （2.23）对于线性光滑函数，容易计算上面的积分是： （2.24）对于的高阶值，式（2.23）的积分必须用数值方法进行估计。二尺度系数能够通过的周期延拓得到。类似于Shannon尺度函数的情形，同样可以得到： （2.25）所以，对于，在式（2.24）中用代换能够得到，利用二尺度关系能够得到小波。由于尺度函数在频域中具有紧支撑，所以小波与尺度函数以更直接的方式联系在一起，也就是说 （2.26）图2.3和图2.4分别为小波和尺度函数 图2.3 小波 图2.4 尺度函数2.5 多分辨分析1986年S.Mallat和Y.Meyer提出多分辨率的概念，它将此前所有正交小波基的构造统一起来，使小波理论得到突破性发展。多分辨分析是从函数空间的高度研究函数的多分辨表示将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。而且，多分辨分析能够提供一种构造小波的统一框架，并且能够提供函数分解与重构的快速算法。S.Mallat在多分辨率分析理论的基础上，引入了一种计算离散珊格上小波变换的快速算法，即Mallat算法。2.5.1 多分辨分析的空间剖分把平方可积函数看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通平滑函数对作平滑的结果，并且逐级逼近时平滑函数也作逐级伸缩。这也就是用不同分辨率来逐级逼近。这正是“多分辨率”得名由来。空间中的多分辨率分析是将空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间：是从到的整数，值越小空间越大。空间序列若满足下列条件：（1） 单调性：。（2） 逼近性：,这里用表示集合的闭包。（3） 伸缩性：；伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。（4） 平移不变性：对，有。（5） Riesz基存在性：存在低通的平滑函数，使得它的整数移位集合构成的一个Riesz基，即是线性无关的，且存在常数A与B，满足,且满足： （2.27）则称为尺度函数，并称生成的一个多分辨分析。若构成的一个标准正交基，则称为正交尺度函数，相应地称生成的一个正交多分辨分析。在多分辨分析中，随着逼近空间的不同，尺度函数也不同（常用具有紧支撑的函数），从而对应不同的多分辨分析，且必然存在系数序列，使得： （2.28）这就是二尺度方程。其中，它是一个低通滤波器系数。但是一般地，不是的标准正交基。由由正交多分辨分析中的单调性可知，于是存在在中的正交补空间，使得 （2.29）上述空间正交分解可对逼近空间递归进行下去，。令，可得到的正交和分解： （2.30）上式表明，是由无穷个正交补空间的直和构成的，而它的正交基就是反直和的子空间的正交基合并起来得到的，故空间的标准正交基为： （2.31）而二进正交小波的函数形式为： （2.32）所以，可称为小波函数，相应的是尺度为的小波空间。另小波函数也可表示为： （2.33）其中（*表示对复数取共轭），它是一个高通滤波器系数。由上可知，空间与空间正交，而各个之间也正交。故可把频率空间如下剖分，先将原始占据的总频带定义为空间，经第一级分解后被分成两个子空间：低频的（频带）和高频的（频带）。经第二级分解后又被分解为低频的（频带）和高频的（频带）其中高频带反映信号的细节，低频带反映信号的概貌，如图2.5所示。 图2.5 多分辨分析的空间剖分2.5.2 二尺度差分方程二尺度差分方程阐明任意相邻空间剖分与小波空间间基函数和间的内在联系。 （2.34） （2.35）就是二尺度差分方程，是线性组合的权重，可用下式来求，且它们的大小与的具体值无关，无论对哪两个相邻级其值都相同。 （2.36） （2.37）且满足：2.5.3 Mallat算法假定已经计算出一函数或信号在分辨率下的离散逼近，则在分辨率下的离散逼近和离散细节信号可通过式（2.38）（2.39）求得 （2.38） （2.39）其二树结构如图2.6所示：图2.6 小波分解结构图其中，表示与分析滤波器作卷积，然后进行二抽取。表示与分析滤波器气作卷积，然后进行二抽取。如果己知信号在分辨率下的离散逼近和离散细节信号，则可以通过下式求出信号在分辨率下的离散逼近。 （2.40）其二分树结构图如图2.7所示：图2.7 小波重构结构图其中，表示进行二次插值然后与综合滤波器作卷积。第三章 基于二维小波的弹性板损伤识别3.1 引言当结构在使用时出现损伤时，结构的刚度也会相应产生变化，结构动力特性(如振型曲线，特征频率，传递函数等)也相应地发生了变化。基于固有频率变化、矩阵方法、模态测试法和傅里叶变换等一系列损伤识别方法就是在这个基础上发展起来的。由于受结构特性、环境因素、测量技术和测量噪声等的影响，目前所使用的损伤检测方法都有一定的适用性和不足之处。近年来，迅速发展并不断完善起来的小波分析方法是一种有效分析、处理信号的方法。从原则上分析，过去可以使用傅里叶变换的地方，现在都可以使用小波变换来代替，它克服了傅里叶变换不能对信号进行时间定位分析的缺点。小波变换的优点是：可以通过小波变换将信号在时间轴上分解为一系列局部基函数，并可以对信号的局部特性进行识别，因此小波分析具有“数学显微镜”之称。结构损伤体现在结构物理参数的改变，与之相对应的结构位移曲线和转角模态在结构的刚度变化时会产生局部突变。因此，利用小波变换来分析结构信号的奇异性，确定结构奇异信号的位置是非常方便而有效的。数值模拟结构损伤检测的方法与步骤：第一步：首先根据有限元基本原理，对体系平面进行分块，利用MATLAB有限元程序计算体系的刚度矩阵和质量矩阵，从而求出结构的模态参数（振型）。第二步：选取一个合适的小波函数，对结构的响应信号进行小波变换，根据结构损伤处小波系数的奇异性来判断结构有无损伤、损伤发生的位置。本章首先介绍了薄板结构的振动理论以及损伤对薄板结构动力特性的影响，然后介绍了小波奇异性理论，分析了基于小波分析结构的损伤识别原理，提出了小波分析与有限元方法相结合的损伤识别方法，为下一章有限元仿真计算和小波分析算例提供理论依据 。3.2 薄板结构横向振动基本方程推导高度远小于底面尺寸呈较薄的扁平形的弹性体，称为薄板。平行于薄板的上下面且平分其厚度的平面称为中性面。据克希霍夫建立的弹性薄板小挠度弯曲理论34，可得： （3.1） （3.2）其中：为板上任意一点沿方向的位移，又称为横向位移或绕度。任取板中性面的一矩阵微元，如图3.1所示，弯曲变形后的曲面为，为弹性面沿方向的倾斜角。在薄板中取一个与平面的截图如图3.2所示，设点是中性面内点法线上的一点，点和点的距离为。根据克希霍夫基本假定，板的绕度比板得厚度小的多，则板弯曲时中性面不产生变形，即有。图3.1弹性曲面的变形图3.2薄板中性面变形根据应变与位移的几何关系，可得： （3.3） （3.4） （3.5）其中、分别为和方向的应变，为在面内的剪应变；、分别表示弹性曲面在、方向的曲率，表示弹性曲面在和方向的扭率。若记向量、为： （3.6） （3.7）则式（3.3）、（3.4）、（3.5）可以用下世来表示： （3.8）根据克希霍夫基本假设，板弯曲时板内的应力以弯曲应力为主，而为次要应力，有： （3.9） （3.10） （3.11）其中为材料的弹性模量、为泊松比，记 （3.12）则式（3.12）可以表示成下列矩阵形式：有内力分量与应力分量之间的关系：其中是单位宽度上的弯矩和扭矩。将式（3.13）代入（3.14）可得：为薄板抗弯刚度，矩阵为弹性矩阵。将（3.15）展开可得：由力矩平衡和力平衡条件，可得：其中、分别为垂直于轴和轴的截面上单位宽度的横向剪了，为分布在单位面积上的激振力，为单位体积薄板的质量，则为单位面积薄板上的惯性力。将式（3.17）代入（3.18（a）、（3.18（b）可得：其中为调和算子，定义为：将式（3.19）、（3.20）代入到（3.18（c），即可得到薄板横向振动微分方程：由（3.22）可知，矩形板得横向自由振动的微分方程为：此方程可用分离变量法求解，设解为：将（3.24）代入（3.23）可得：式中：将式（3.27）代入（3.25）中，可得：含有损伤的长方形薄板，对其进行有限元分析，沿板长轴方向分成份沿板宽轴方向分成份，如图3.3所示。板的尺寸大小为损伤区域板的刚度下降。损伤区域距原点口的距离分别为和损伤区域的大小为。wxLLxoLyYtSLSw刚度下降单元图3.3 损伤板的模型按照有限元的概念，单元内任意点的位移函数。可有节点位移，和形状函数的乘积来表示，如下式所示： (3.28)其中的定义如下： (3.29)其中为侧向位移，最是的斜率，是的斜率，下标是单元的各节点。应力应变的关系式如下： (3.30)应变与位移之间的关系式为： (3.31)应力与弯曲力矩之间的关系式如下所示： (3.32)把方程（3.31）带入（3.32）可得弯曲力矩和应变关系式： (3.33)其中：损伤区域将原本的厚度改为，改为，代表损伤区域的厚度，即： （3.34） （3.35） （3.36） （3.37）利用虚功原理可以推导出长方形板动能方程式： （3.38）集合所有的板单元，可以得到含损伤的矩形板的运动方程为： （3.39）其中：要求板的自然频率，令，此时方程式（3.39）的解可以写成： （3.40）其中为板的固有频率，把方程（3.40）带入方程(3.39)，可以得到特征方程式： （3.41）为了解出的一个非零解，其系数行列式系数必定为0，即： （3.42）将行列式(3.42)展开求得板的振动的固有频率，把解得的固有频率带入方程式（3.44），即可得到板振动的模态阵型。3.3 二维小波分析识别板中奇异点位置的方法小波变换是检测信号奇异性的有效手段，利用小波变换可以确定信号奇异点位置和奇异性指数的大小。数学上称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处具有奇异性，该点称为信号的奇异点，并可用Lipschit指数描述信号奇异点的奇异性特征。函数在某一点的李氏指数越大，该点光滑度越高；反之，在该点奇异性就越大。信号的奇异性或非正则结构通常含了信号的本质信息。由于小波变换同时具有时域和频域的局部性，加上小波变换具有“变焦”的特性，因此它对信号的奇异点位置的定位行之有效。如在、心电图信号中，人们关注的是瞬时现象和信号的波峰信息等；对结构损伤诊断中，故障经常表现为输出信号发生突变。在数学上，函数的局部正则性常用Lipschitz指数来度量。其定义为：( 1 ) 如果存在常数和次多项式使得： （3.46）则称函数，在点为Lipschitz；( 2 ) 如果存在与无关的常数使得式(3.50)对所有的成立，其中可以是无限空间，则称函数在区间上是一致Lipschitz的；( 3 ) 满足厂在点是Lischitz的所有的上界。刻画了函数在该点的正则性，称为函数在点的Lipschitz指数；同样地，可定义函数在一个区间上的Lipschitz指数 。对任意点，多项式是唯一确定的。如果在点的某邻域内是次连续可微的，则是在点的泰勒展开级数的前项构成的多项式，即： （3.47）其中，表示在点的阶导数，。若，则。可见，函数在某一点的Lipschitz指数显示了该点处函数的突变程度，越大，函数在该点的光滑度就越高；越小，则函数在该点的光滑度越低。即：如果函数在点连续可微，则在该点的Lipschitz指数为1；如果函数在点可微，而导数有界但不连续，在该点的Lipschitz指数仍为1；如果函数在点不连续但有界，在该点的Lipschitz指数为0。有上一节3.2我们可得弹性板的模态振型，即小波的信号函数（假定信号函数为）选择小波函数为某光滑函数的一阶偏导数 （3.48）其中满足且是的高阶无穷小，同时记： （3.49）其中这时，小波变换为： （3.50）由此可见，对信号进行小波变换后求导，等价于用小波函数的一阶导数对信号进行小波变换。和经过平滑后的导数变成正比。对于某一尺度，沿着轴的极大值对应了的拐点，也就是的突变点。由此可以由小波变换的模极大值点找到信号中的突变点。如果函数本身连续，但是其，阶导数有突变点，则选用的小波函数为平滑函数的阶导数，同样可以由小波系数的模极大值点确定函数的突变点。信号中往往存在一些突变信号，它们在大多情况下对应结构的损伤，因而对信号突变点的检测在损伤诊断中有十分重要的意义。一般信号奇异性分为两情况：（1）信号在某一时刻其幅值发生突变，引起信号的非连续，称为第一种类型的间断点；（2）信号外观上很光滑，幅值没有发生突变，但是信号的一阶微分有突变发生且不连续，这类突变称为第二类型的间断点。对于板在不同位置发生损伤的情况，其损伤表现为板在某一定范围内刚度的降低，如图34所示。其中，为板的厚度，为材料的泊松比。我们把损伤后的抗弯刚度设为，其中。沿轴方向，在刚度变化截面处有，其中，分别为刚度变化截面两侧的坐标，但结构仍应满足变形协调条件和内力平衡条件（3.513.53）33：横向位移： （3.51）弯矩： （3.52）剪力： （3.53）同样，沿轴方向，在刚度变化截面处有，结构仍应满足变形协调条件和内力平衡条件横向位移： （3.54）弯矩： （3.55）剪力： （3.56）XYZX1X2Y1Y2损伤区域图3.4 含损伤的四边简支矩形极因为，根据式(3.52)和(3.55)可知：，由二阶偏导数不等的奇异性，就可以用损伤板的基本振型来识别板的损伤位置。本文选用小波作为母小波，对损伤板振型的所有节点先进行一次行变换，然后再对行变换后的小波系数进行一次列变换，在刚度变化截面处的小波系数会出现模极大值，从而可以确定损伤区域的位置。3.4 基于小波识别弹性板损伤3.4.1 小波基的选取原则对小波基的选取需满足一下几个原则：(1)紧支性：小波函数只在有限区间内非零，紧支小波基是首选。由小波基时频特性可知当紧支集的长度增加，小波函数带通滤波器的带宽减少，频域分辨能力提高，因此可通过改变支撑集的大小来调整通频带宽的带宽。在选择小波基时，紧支撑区间越大，反映频域局部性态的能力越强；而当紧支撑区间越小，反映时域局部性态的能力越强。(2)消失矩：小波函数的消失矩是突变信号检测中的一个重要概念。如果对于，有式成立，则称具有阶消失矩。当函数的阶导数在处存在但不连续，这时应选用具有阶消失矩的小波函数来进行损伤