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第十一讲 立体几何之空间距离一、空间距离包括:点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线)、线与面(线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。二、空间距离的求法重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离(1) 线线距离:找公垂线段(2) 点面距离 直接法(过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度) 等体积法(三棱锥) 向量法:设平面的法向量为,P为平面外一点,Q是平面内任一点,则点P到平面的距离为d 等于在法向量上的投影绝对值。三、例题讲解1、下列命题中:所在的平面,则P、B间的距离等于P到BC的距离;若 则a与b的距离等于a 与的距离;直线a、b是异面直线,则a、b之间的距离等于b与的距离直线a、b是异面直线,则a、b之间的距离等于间的距离其中正确的命题个数有( C )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2、如图所示,正方形的棱长为1,C、D为两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是_。解析:取AB、CD中点P、Q,易证中,PQ边长的高MH为所求, 3、在底面是正方形的四棱锥A-BCDE中,且AE=CD=a, G、H是BE、ED的中点,则GH到面ABD的距离是_。解析:连结EC,交BD于O,且交GH于,则有平面。过E作于K,则所求距离等于4、如图,在棱长为a的正方体中,E、F分别为棱AB和BC的中点,G为上底面的中心,则点D到平面的距离_。解:方法1:建立如图直角坐标系, 则设平面的法向量为取, 则可取又 到平面的距离方法2:等体积法设D到平面的距离为h 是等腰三角形,取EF中点H,连结 可得即D到平面的距离为。5、如图所示,将等腰直角三角形ABC沿斜边AB上的高CD为棱折成一个的二面角,使B到的位置,已知AB=2,求(1)顶点C到平面的距离(2)顶点A到平面的距离(3)CD和的之间的距离分析:有关立体几何中的翻折问题,主要判断翻折前后各种量的变化与否。解析:(1)由已知得, 即在翻折前后它们的位置关系不变,则C点到平面的距离就是CD的长,为等腰三角形,AB=2, (2)如图所示,过A作于E,连结CE 故AE的长为A点到平面的距离为平面ACD与平面所成二面角的平面角即 (3)如图二,平面中,过D作,交AB于F点 为异面直线CD和的距离由得 6、(06海淀模拟)如图所示,在直三棱柱中 D、E分别为棱中点(1) 求点B到平面的距离(2) 求二面角的大小(3) 在线段AC上是否存在一点F,使?若存在,确定其位置并证明结论,若不存在,说明理由。解析:(1)为直三棱柱 长度即为B点到平面的距离点B到平面的距离为2。(2)是直三棱柱 D、E分别为棱中点建立如图直角坐标系 设平面的法向量为平面的法向量为 即二面角的大小为。(3)在线段AC上存在一点F,设使得 欲使由(2)知当且仅当存在唯一一点满足条件 即点F为AC的中点7、(06年福建)如图所示,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。(1) 求证:(2) 求异面直线AB与CD所成角的大小(3) 求点E到平面ACD的距离解析:方法1(1)连结OC 在中,由已知可得而AC=2 (2)取AC中点M,连结OM,ME,OE,由于E为BC的中点知 ME/AB,OE/DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中,是直角三角形AOC斜边AC上的中线 异面直线AB与CD所成角的大小为。(3)设点E到平面ACD的距离为h在中,而点E到平面ACD的距离为。方法2:(1)同方法1(2)以O为原点,如图四所示建立空间直角坐标系,则异面直线AB与CD所成角的大小为。(3)设平面ACD的法向量则令 得是平面ACD是一个法向量又点E到平面ACD的距离为。
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