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第十一讲 立体几何之空间距离一、空间距离包括：点与点、点与线、点与面、线与线（异面直线）、线与面（线面平行）、面与面（面面平行）的距离。要理解各个距离的概念。二、空间距离的求法重点掌握：线线距离、点面距离、尤其点面距离（1） 线线距离：找公垂线段（2） 点面距离 直接法（过点向面作作垂线段，即求公垂线段长度） 等体积法（三棱锥） 向量法：设平面的法向量为，P为平面外一点，Q是平面内任一点，则点P到平面的距离为d 等于在法向量上的投影绝对值。三、例题讲解1、下列命题中：所在的平面，则P、B间的距离等于P到BC的距离；若 则a与b的距离等于a 与的距离；直线a、b是异面直线，则a、b之间的距离等于b与的距离直线a、b是异面直线，则a、b之间的距离等于间的距离其中正确的命题个数有（ C ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2、如图所示，正方形的棱长为1，C、D为两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是_。解析：取AB、CD中点P、Q，易证中，PQ边长的高MH为所求， 3、在底面是正方形的四棱锥A-BCDE中，且AE=CD=a, G、H是BE、ED的中点，则GH到面ABD的距离是_。解析：连结EC，交BD于O，且交GH于，则有平面。过E作于K，则所求距离等于4、如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别为棱AB和BC的中点，G为上底面的中心，则点D到平面的距离_。解：方法1：建立如图直角坐标系， 则设平面的法向量为取, 则可取又 到平面的距离方法2：等体积法设D到平面的距离为h 是等腰三角形，取EF中点H，连结 可得即D到平面的距离为。5、如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边AB上的高CD为棱折成一个的二面角，使B到的位置，已知AB=2，求（1）顶点C到平面的距离（2）顶点A到平面的距离（3）CD和的之间的距离分析：有关立体几何中的翻折问题，主要判断翻折前后各种量的变化与否。解析：（1）由已知得, 即在翻折前后它们的位置关系不变，则C点到平面的距离就是CD的长，为等腰三角形，AB=2, （2）如图所示，过A作于E，连结CE 故AE的长为A点到平面的距离为平面ACD与平面所成二面角的平面角即 （3）如图二，平面中，过D作，交AB于F点 为异面直线CD和的距离由得 6、（06海淀模拟）如图所示，在直三棱柱中 D、E分别为棱中点（1） 求点B到平面的距离（2） 求二面角的大小（3） 在线段AC上是否存在一点F，使？若存在，确定其位置并证明结论，若不存在，说明理由。解析：（1）为直三棱柱 长度即为B点到平面的距离点B到平面的距离为2。（2）是直三棱柱 D、E分别为棱中点建立如图直角坐标系 设平面的法向量为平面的法向量为 即二面角的大小为。（3）在线段AC上存在一点F，设使得 欲使由（2）知当且仅当存在唯一一点满足条件 即点F为AC的中点7、（06年福建）如图所示，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。（1） 求证：（2） 求异面直线AB与CD所成角的大小（3） 求点E到平面ACD的距离解析：方法1（1）连结OC 在中，由已知可得而AC=2 （2）取AC中点M，连结OM，ME，OE，由于E为BC的中点知 ME/AB，OE/DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角三角形AOC斜边AC上的中线 异面直线AB与CD所成角的大小为。（3）设点E到平面ACD的距离为h在中，而点E到平面ACD的距离为。方法2：（1）同方法1（2）以O为原点，如图四所示建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为。（3）设平面ACD的法向量则令 得是平面ACD是一个法向量又点E到平面ACD的距离为。
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