31平行四边形(第1课时)

第1课时1.平行四边形第三章 证明（三）1.1.会用综合法证明平行四边形的性质定理会用综合法证明平行四边形的性质定理2.2.体会证明过程中所运用的观察、归纳、类比、体会证明过程中所运用的观察、归纳、类比、转化等数学思想方法转化等数学思想方法证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤: :(1)(1)理解题意理解题意: :分清命题的条件分清命题的条件( (已知已知),),结论结论( (求证求证).).(2)(2)根据题意根据题意, ,画出图形画出图形. .(3)(3)结合图形结合图形, ,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”. .(4)(4)分析题意分析题意, ,探索证明思路探索证明思路( (由由“因因”导导“果果”, ,执执“果果”索索“因因”).).(5)(5)依据思路依据思路, ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程出证明过程. .(6)(6)检查表达过程是否正确、完善检查表达过程是否正确、完善. .下图是什么图形？有什么性质？下图是什么图形？有什么性质？ 答：答：平行四边形平行四边形. .（1 1）AD/BC AD/BC ，AB/CD.AB/CD.（2 2） AB=CDAB=CD，AD=CB. AD=CB. （3 3）A=CA=C，B=D. B=D. （4 4）对角线互相平分）对角线互相平分. .ABCD2.2.你还记得我们探索过的平行四边形的性质及判别你还记得我们探索过的平行四边形的性质及判别条件吗条件吗? ?你能利用公理和已有的定理证明它们吗你能利用公理和已有的定理证明它们吗? ?小组合作，共同证明小组合作，共同证明1.1.平行四边形的定义：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. . 定理定理: :平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等. .BDCA已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .求证求证:AB=CD,BC=DA.:AB=CD,BC=DA.分析分析: :要证明要证明AB=CD,BC=DAAB=CD,BC=DA，可转化为全等三角形的对应，可转化为全等三角形的对应边相等来证明边相等来证明, ,于是可作辅助线来达到目的于是可作辅助线来达到目的. .证明证明: :连接连接AC.AC.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,ABCD,BCDA.ABCD,BCDA.1=2, 3=4.1=2, 3=4.AC=CA,AC=CA,ABCABCCDA(ASA).CDA(ASA).AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.1234从上面的证明过程从上面的证明过程, ,你还你还能得到什么结论能得到什么结论? ?定理定理: :平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等. .BDCA1234已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 求证求证:BAD=BCD, B=D.:BAD=BCD, B=D.1=2, 3=4.1=2, 3=4.证明证明: :ABCABCCDA(CDA(已证已证).).B=D.B=D.BAD=BCD.BAD=BCD. 定理定理: :平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分. .已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于相交于点点O.O.求证求证:CO=AO,BO=DO.:CO=AO,BO=DO.分析分析: :要证明要证明AO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,可转化为全等三角形的对可转化为全等三角形的对应边相等来证明应边相等来证明. .证明证明: : 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,BCDA.BCDA. 1=2, 3=4. 1=2, 3=4. BC=DA, BC=DA,BOCBOCDOA(ASA).DOA(ASA).CO=AO,BO=DO.CO=AO,BO=DO.BDCAO1234 定理定理: :夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等. .已知已知: :如图如图, ,直线直线MNPQ,MNPQ,线段线段ABCD,ABCD,且且AB,CDAB,CD与与MN,PQ MN,PQ 分别相交于点分别相交于点A,D,B,C.A,D,B,C.求证求证:AB=CD.:AB=CD.分析分析: :可利用平行四边形的对边相等来证明可利用平行四边形的对边相等来证明. .证明证明: : MNPQ,ABCD. MNPQ,ABCD.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .AB=CD.AB=CD.BDCAMNPQ平行四边形的性质平行四边形的性质定理定理: :平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行.(.(由定义得由定义得) )定理定理: :平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等. .定理定理: :平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等. .定理定理: :平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分. .定理定理: :夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等. .【例例1 1】证明证明: :等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等. .已知已知: :如图如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,AB=DC,ADBC,AB=DC. .求证求证:A=D, B=C.:A=D, B=C.分析分析: :可将两个角转化为同一三角形的可将两个角转化为同一三角形的内角内角, ,利用等腰三角形等边对等角来证利用等腰三角形等边对等角来证明明, ,于是可过于是可过D D作作ABAB的平行线的平行线. .BDCAE1【例题例题】证明证明: :过点过点D D作作DEAB,DEAB,交交BCBC于点于点E.E.1=B.1=B.四边形四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形. .AB=DE.AB=DE.AB=DC.AB=DC.DE=DC.DE=DC.1=C.1=C.ADBC,DEAB.ADBC,DEAB.B=C.B=C.A+B=180A+B=180，ADC+C=180ADC+C=180. .A=ADC.A=ADC.你能写出你能写出“等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等”的的逆命题吗？逆命题吗？同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. .你能独立证明吗？试试吧！你能独立证明吗？试试吧！逆定理逆定理: :同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. .已知已知: :如图如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC, B=C.,ADBC, B=C.求证求证:AB=DC.:AB=DC.分析分析: :可将两个角转化为同一三角形的内可将两个角转化为同一三角形的内角角, ,利用等腰三角形等角对等边来证明利用等腰三角形等角对等边来证明, ,于于是可过是可过D D作作ABAB的平行线的平行线. .证明证明: :过点过点D D作作DEAB,DEAB,交交BCBC于点于点E.E.1=B.1=B.1=C.1=C. DE=DC. DE=DC.ADBC,DEAB.ADBC,DEAB.四边形四边形ABEDABED是平行四边形是平行四边形AB=DE.AB=DE.B=C.B=C.AB=DC.AB=DC.BDCAE11.1.证明证明: :等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等. .已知已知: :如图如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,AB=DC.,ADBC,AB=DC.求证求证:AC=DB.:AC=DB.证明证明: :ABC=DCB.ABC=DCB. AB=DC AB=DC，BC=CB.BC=CB.ABCABCDCB(SAS).DCB(SAS).AC=DB.AC=DB.ADBC,AB=CD.ADBC,AB=CD.BDCA【跟踪训练跟踪训练】2.2.证明证明: :两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形. .已知已知: :如图如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,AC=DB.,ADBC,AC=DB.求证求证:AB=DC.:AB=DC.证明证明: :过过D D点作点作DEAC,DEAC,交交BCBC的延长线于点的延长线于点E.E.DE=AC,1=E.DE=AC,1=E.AC=DB.AC=DB.DB=DE.DB=DE.2=E.2=E.1=2.1=2.ADBC, DEAC.ADBC, DEAC.四边形四边形ACEDACED是平行四是平行四边形，边形，BDCAE21ABCABCDCB(SAS).DCB(SAS).AB=DC.AB=DC.BC=CB.BC=CB.1 1（荆州（荆州中考）如图，在平行四边形中考）如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，A=130A=130，在，在ADAD上取上取DE=DCDE=DC，则则ECBECB的度数是的度数是 . .AEBCD【解析解析】在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中， A=130A=130，D=50D=50 ， DCB=130DCB=130，又因为，又因为DE=DCDE=DC， DCE=DEC=65DCE=DEC=65，所以，所以ECB=130ECB=130-65-65=65=65. .答案：答案： 65652 2（嘉兴（嘉兴中考）如图，在中考）如图，在ABCDABCD中，已知点中，已知点E E在在ABAB上，点上，点F F在在CDCD上，且上，且AE=CF.AE=CF.（1 1）求证：）求证：DE=BF.DE=BF.（2 2）连接）连接BDBD，并写出图中所有的全等三角形（不，并写出图中所有的全等三角形（不要求证明）要求证明）ABDCEF证明：证明：（1 1）在）在ABCDABCD中，中，ABAB/CDCD，ABAB= =CDCDAEAE= =CFCF，BEBE= =DFDF，且，且BEBE/DFDF四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形DE=BFDE=BF（2 2）连接）连接BDBD，如图，如图，图中有三对全等三角形：图中有三对全等三角形：ADE ADE CBFCBF，BDEBDEDBFDBF，ABDABDCDBCDB ABDCEF3.3.已知已知: :如图如图, ,ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O,O,过点过点O O的的直线与直线与AD,BCAD,BC分别交于点分别交于点E,F.E,F.求证求证:OE=OF.:OE=OF.证明证明: : 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,OB=OD,ADBC,OB=OD,ADBC, 1=2. 1=2. 3=4.3=4.BOFBOFDOE(ASA).DOE(ASA).OE=OF.OE=OF.BDCAOEF12344.4.已知已知: :如图如图, ,点点A A，B B，C C分别在分别在DEFDEF的各边上，的各边上，且且ACDEACDE，ABEFABEF，BCDF.BCDF.求证求证:A:A，B B，C C分别是分别是DEFDEF各边的中点各边的中点. .证明证明: : ACDE ACDE，BCDFBCDF， 四边形四边形ADBCADBC是平行四边形是平行四边形. . BC=ADBC=AD， 同理可证同理可证BC=AF. BC=AF. A A是边是边DFDF的中点的中点. . 同理可证同理可证B B，C C是边是边DEDE，EFEF的中点的中点. .ECFADB定理定理: :平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等. .BDCA四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.定理定理: :平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .A=C, B=D.A=C, B=D.定理定理: :平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .CO=AO,BO=DO.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理定理: :夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等. .MNPQ,ABCD.MNPQ,ABCD.AB=CD.AB=CD.BDCAMNPQ定理定理: :等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等. .定理定理: :等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等. .在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,AB=DC.AB=DC.AC=DB.AC=DB.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,AB=DC.AB=DC.A=D, B=C.A=D, B=C.BDCABDCA定理定理: :同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. .在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,A=DA=D或或B=C.B=C.AB=DC.AB=DC.定理定理: :两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形. .在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,AC=DB.AC=DB.AB=DC.AB=DC.BDCABDCA失败是坚韧的最后考验俾斯麦