大学物理 振动 01哈尔滨工程大学 孙秋华

H arbin Engineering University 孙 秋 华 振 动 ： 物 体 在 同 一 路 径 的 一 定 位 置 附 近 作 重 复 往 返 运 动 称 为 机 械 振 动 。周 期 性 振 动 在 T 时 间 内 运 动 状 态 能 完 全 重 复 。有 平 衡 点 ， 且 具 有 重 复 性 。非 周 期 性 振 动 在 T 时 间 内 运 动 状 态 不 能 完 全 重 复 。 1.1 谐 振 子 运 动1.1.1 谐 振 子 运 动 的 描 述 H arbin Engineering University 孙 秋 华 弹 簧 振 子 :质 量 忽 略 不 计 的 弹 簧 与 质 点 构 成 的 系 统 。 即 ： 将 惯 性 集 中 在 质 点 上 ， 将 弹 性 集 中 在 弹 簧 上 。kl0 xmoA A00 Fx 在 无 阻 尼 情 况 下 弹簧 振 子 的 运 动一 、 简 谐 振 动 动 力 学 方 程 与 振 动 方 程 H arbin Engineering University 孙 秋 华 makxF xtx 222dd mk2令 xa 2 )sin(dd tAtxv )cos(dd 222 tAtxa积 分 常 数 ， 根 据 初 始 条 件 确 定)cos( tAx x xF mo H arbin Engineering University 孙 秋 华 tx 图tv 图ta 图 TAA 2A 2A xva tttAAo oo TT )cos( tAx 0取2T )2cos( tA )sin( tAv )cos(2 tA )cos(2 tAa H arbin Engineering University 孙 秋 华 二 、 描 述 简 谐 振 动 的 物 理 量)cos( tAx1. 振 幅 maxxA2. 周 期 、 频 率 kmT 2弹 簧 振 子 周 期2T 周 期 21 T 频 率 T22 圆 频 率 )(cos TtA 周 期 和 频 率 仅 与 振 动 系 统 本身 的 物 理 性 质 有 关注 意 tx 图AA x T2T to H arbin Engineering University 孙 秋 华 2） 相 位 在 内 变 化 ， 质 点 无 相 同 的 运 动 状 态 ； 1） 存 在 一 一 对 应 的 关 系 ;),( vxt 203. 相 位 t相 差 为 整 数 质 点 运 动 状 态 全 同 .（ 周 期 性 ）) (2 nn( 取 或 )3） 初 相 位 描 述 质 点 初 始 时 刻 的 运 动 状 态 . )0( t 20 简 谐 运 动 中 ， x和 v 间 不存 在 一 一 对 应 的 关 系 . tx 图AA x T2T to v vv)sin( tAv )cos( tAx H arbin Engineering University 孙 秋 华 22020 v xA 00tan x v000 vv xxt初 始 条 件 cos0 Ax sin0 Av 对 给 定 振 动 系 统 ， 周 期 由 系 统 本 身 性 质 决 定 ， 振 幅 和初 相 由 初 始 条 件 决 定 . )sin( tAv )cos( tAx三 、 由 初 始 条 件 决 定 振 幅 和 初 相 H arbin Engineering University 孙 秋 华 cos0 A 2 0sin0 Av 2 0sin 取 0,0,0 vxt已 知 求 讨 论 xv o)2 cos( tAx AA x T2T to H arbin Engineering University 孙 秋 华 1. 1.2 谐 振 子 运 动 的 旋 转 矢 量 描 述 以 为原 点 旋 转 矢量 的 端 点在 轴 上 的投 影 点 的 运动 为 简 谐 运动 .xA oxo Acos0 Ax 当 时0t 0 x H arbin Engineering University 孙 秋 华 以 为原 点 旋 转 矢量 的 端 点在 轴 上 的投 影 点 的 运动 为 简 谐 运动 .xA o xo Att t)cos( tAx 时 H arbin Engineering University 孙 秋 华 )cos( tAx 旋 转矢 量 的端 点 在 轴 上 的 投影 点 的 运动 为 简 谐运 动 . xA H arbin Engineering University 孙 秋 华 )2 cos( tAv )cos(2 tAa Amv 2n Aa 2 tmv v xy0 A t )cos( tAx naa H arbin Engineering University 孙 秋 华 （ 旋 转 矢 量 旋 转 一 周 所 需 的 时 间 ） 用 旋 转 矢 量 图 画 简 谐 运 动 的 图tx H arbin Engineering University 孙 秋 华 讨 论 相 位 差 ： 表 示 两 个 相 位 之 差 . 1） 对 同 一 简 谐 运 动 ， 相 位 差 可 以 给 出 两 运 动 状态 间 变 化 所 需 的 时 间 . )()( 12 tt)cos( 1 tAx )cos( 2 tAx 12 tttAAx2A to a b xAA 0 at 3 TTt 612 3 v 2A bt H arbin Engineering University 孙 秋 华 2） 对 于 两 个 同 频 率 的 简 谐 运 动 ， 相 位 差 表 示 它 们 间 步 调 上 的 差 异 .（ 解 决 振 动 合 成 问 题 ）)cos( 111 tAx )cos( 222 tAx)()( 12 tt 12 0 x t o 同 步 x to 为 其 它 超 前落 后txo 反 相 H arbin Engineering University 孙 秋 华 例 1 如 图 所 示 ， 一 轻 弹 簧 的 右 端 连 着 一 物 体 ， 弹 簧 的 劲 度系 数 ， 物 体 的 质 量 m=20g.(1)把 物 体 从 平 衡 位 置 向 右 拉 到 x=0.05m处 停 下 后 再 释 放 ， 求 简 谐 运 动 方 程 ;(2)求 物 体 从 初 位 置 运 动 到 第 一 次 经 过 A/2处 时 的 速 度 ;(3)如 果 物 体 在 x=0.05m处 时 速 度 不 等 于 零 ， 而 是 具 有 向 右 的 初 速 度 ， 求 其 运 动 方 程 . 1mN72.0 k 10 sm30.0 v m/xo 0.05 H arbin Engineering University 孙 秋 华 o x 解 （ 1） 11 s0.6kg02.0 mN72.0 mk m05.0022020 xxA v 0tan 00 x v 0 或 A由 旋 转 矢 量 图 可 知 0 )cos( tAx )s0.6cos()m05.0( 1 t H arbin Engineering University 孙 秋 华 解 )cos( tAx )cos( tA 21)cos( Axt 3 5 3 或t 3t tA sinv 1sm26.0 由 旋 转 矢 量 图 可 知 o xA2A A（ 负 号 表 示 速 度 沿 ox轴 负 方 向 ） （ 2） 求 物 体 从 初 位 置 运 动 到 第 一 次 经 过 A/2处 时 的 速 度 ； H arbin Engineering University 孙 秋 华 解 m0707.022020 vxA 1tan 00 x v 4 3 4 或 o xA 4由 旋 转 矢 量 图 可 知 )cos( tAx 4)s0.6cos()m0707.0( 1 t4 (3)如 果 物 体 在 x=0.05m处 时 速 度 不 等 于 零 ， 而 是 具 有 向 右 的 初 速 度 ， 求 其 运 动 方 程 . 10 sm30.0 v H arbin Engineering University 孙 秋 华 1.1.3 无 阻 尼 自 由 振 动 实 例mgook 以 挂 上 m 后 新 平 衡 位 置 为 坐 标原 点 O,向 下 为 正 方 向一 、 竖 直 弹 簧 振 子在 x处 22)( dtxdmmaxookmg 化 简 得022 xmkdtxd 满 足 简 谐 振 动 的 动 力 学 方 程在 ox系 中 ， 微 分 方 程 为 ： gxmkdtxd 22 H arbin Engineering University 孙 秋 华 二 、 单 摆则 在 角 位 移 很 小 的 时 候 ， 单摆 的 振 动 是 简 谐 振 动 。 角 频率 ,振 动 的 周 期 分 别 为 ： glTlg 2200 022 lgdtd当 时 sin sin2 22 mgldtdml gmf l m+- H arbin Engineering University 孙 秋 华 22sin dtdJJmgh J为 m 绕 O点 转 动 的 转 动 惯 量 。三 、 复 摆 （ 物 理 摆 ）可 见 ， 复 摆 的 运 动 也 满 足 谐 振 动方 程 。 且 其 圆 频 率 与 周 期 为 CO mghOCmghJT 2Jmgh 0 02 2 Jmghdtd当 时 sin H arbin Engineering University 孙 秋 华 简 谐 振 动 的 判 断 式平 动 转 动 BMkxF 合 2222 dtdJJMdtxdmmaF 合 00 222222 dtdxdt xd JBmk 22 )cos()cos( 00 ttAx H arbin Engineering University 孙 秋 华 1.1.4 简 谐 振 动 的 能 量 )(sin2121 2222k tAmmE v )(cos2121 222p tkAkxE线 性 回 复 力 是 保 守 力 ， 作 简 谐 运 动 的 系 统 机 械 能 守 恒 以 弹 簧 振 子 为 例 )sin( )cos( tA tAxvkxF 22pk 21 AkAEEE mk/2 （ 振 幅 的 动 力 学 意 义 ） H arbin Engineering University 孙 秋 华 简 谐 运 动 能 量 图 221 kAE 0 tAx cos tA sinv 4T 2T 43T能 量 o T t tkAE 22p cos21 tAmE 222k sin21tx tvv,x to T H arbin Engineering University 孙 秋 华 简 谐 运 动 势 能 曲 线 简 谐 运 动 能 量 守 恒 ， 振 幅 不 变 kE pEx 221 kAE E BC AA pE x O H arbin Engineering University 孙 秋 华 能 量 守 恒 简 谐 运 动 方 程推 导 常 量 22 2121 kxmE v 0)2121(dd 22 kxmt v 0dddd txkxtm vv 0dd 22 xmktx H arbin Engineering University 孙 秋 华 例 1 一 质 点 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 其 圆 频 率 为 =10rad/s， 试 分 别写 出 以 下 两 种 初 始 状 态 下 的 振 动 方 程 。(1) t =0时 ， x0=7.5cm, v0=75.0cm/s;(2) t =0时 ， x0=7.5cm, v0=-75.0cm/s。 H arbin Engineering University 孙 秋 华 解 ： 两 种 情 况 在 旋 转 矢 量 图 中 处 于 对 称 的 位 置 ， 其 振 幅 相 同 ， 均 为 : )m(106.0)101075()105.7( 222222020 vxA其 振 动 方 程 为 )m)(10cos(106.0)( ttx两 种 情 况 下 的 初 始 位 相 分 别 满 足 11075 105.710tan 2 200 vx（ 1） H arbin Engineering University 孙 秋 华 O A x 21且 由 x00, v00, 得 1在 第 四 象限 ， 且 1 = -/4 )m)(410cos(106.0)(1 ttx同 理 ， 对 (2)中 的 初 始 条 件 有且 由 x00, v00, 得 2在 第 一 象 限 ， 且 2=/4)m)(410cos(106.0)( 2 ttx H arbin Engineering University 孙 秋 华 例 2 有 一 沿 x 轴 方 向 运 动 的 弹 簧 振 子 ， 振 子 相 邻 两 次 通 过 - A/2处 所 经 历 的 时 间 为 1/150秒 。 令 第 一 次 通 过 该 点 作 初 始时 刻 ， 第 二 次 通 过 该 点 时 ， 运 动 方 向 与 x 轴 正 方 向 一 致 ，振 子 通 过 平 衡 位 置 时 的 vmax =10 m/s。 求 ： 该 振 子 的 振 动方 程 。 H arbin Engineering University 孙 秋 华 解 ： 如 图 所 示 ， 由 旋 转 矢 量 法 可 知 ： 320 10015032 t 10.0 max A Av )32100cos(10.0 tx振 动 方 程 为 ： xO 0-A/2 H arbin Engineering University 孙 秋 华 例 3 倔 强 系 数 分 别 为 k1、 k2的 两 根 弹 簧 和 质 量 为 m 的 物 体相 连 （ 如 图 ） ， 求 该 系 统 的 振 动 周 期 。 k1 m k2 x1 x2 H arbin Engineering University 孙 秋 华 解 ： 设 在 平 衡 状 态 下 ， 两 弹 簧 的 伸 长 量 分 别 为 x1和 x2， 则 k1x1=k2x2 。 以 平 衡 位 置 为 原 点 ， 向 右 为 x轴 正 方 向 ， 得 k1 m k2 x1 x x2 x O 222211 )()( dtxdmmaxxkxxk H arbin Engineering University 孙 秋 华 化 简 得 ： 02122 xmkkdtxd则 该 系 统 的 固 有 角 频 率 为 ：mkk 210 振 动 周 期 为 ： 210 22 kk mT H arbin Engineering University 孙 秋 华 若 有 不 当 之 处 ， 请 指 正 ， 谢 谢 ！