资源描述
经济数学基础微分函数一、单项选择题1函数的定义域是（D ） AB CD 且2若函数的定义域是0，1，则函数的定义域是(C)A B C D3下列各函数对中，（D）中的两个函数相等 A， B，+ 1 C， D，4设，则=（ A） A B C D 5下列函数中为奇函数的是（C）A B C D 6下列函数中，（C）不是基本初等函数 A B C D7下列结论中，（C）是正确的 A基本初等函数都是单调函数 B偶函数的图形关于坐标原点对称 C奇函数的图形关于坐标原点对称 D周期函数都是有界函数 8. 当时，下列变量中（B ）是无穷大量A. B. C. D. 9. 已知，当（A ）时，为无穷小量.A. B. C. D. 10函数 在x = 0处连续，则k = (A)A-2 B-1 C1 D2 11. 函数 在x = 0处（B ）A. 左连续 B. 右连续 C. 连续 D. 左右皆不连续 12曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A B C D 13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（A ）A. y = x B. y = 2x C. y = x D. y = -x 14若函数，则=（ B ） A B- C D- 15若，则（ D ） A B C D 16下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x 17下列结论正确的有（ A ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 18. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ）A B C D 19函数的定义域是（D） A B C D 且20函数的定义域是（ C ）。A B C D21下列各函数对中，（D）中的两个函数相等A， B，+ 1C， D，22设，则=（C）A B C D23下列函数中为奇函数的是（C）A B C D24下列函数中为偶函数的是（D）A B C D25. 已知，当（A ）时，为无穷小量.A. B. C. D. 26函数 在x = 0处连续，则k = (A)A-2 B-1 C1 D2 27. 函数 在x = 0处连续，则（A ）A. 1 B. 0 C.2 D. 28曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）A B C D 29. 曲线在点(1, 2)处的切线方程为（B ）A. B. C. D. 30若函数，则=（ B ） A B- C D-31下列函数在指定区间上单调减少的是（ D ）Asinx Be x Cx 2 D3 x 32下列结论正确的有（ A ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 33. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ）A B C D二、填空题1函数的定义域是 -5，2 2函数的定义域是 (-5, 2 ) 3若函数，则 4设函数，则5设，则函数的图形关于y轴 对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.67已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 28. 1.9已知，当时，为无穷小量10. 已知，若在内连续，则2 .11. 函数的间断点是12函数的连续区间是，13曲线在点处的切线斜率是14函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)15已知，则= 016函数的驻点是 17需求量q对价格的函数为，则需求弹性为 18已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性Ep = 19函数的定义域是答案：(-5, 2 )20若函数，则答案：21设，则函数的图形关于对称答案：y轴22已知，当 时，为无穷小量答案：23已知，若在内连续则 . 答案224函数的间断点是答案：25. 函数的连续区间是答案：26曲线在点处的切线斜率是答案： 27. 已知，则= 答案：028函数的单调增加区间为答案：（29. 函数的驻点是 . 答案：30需求量q对价格的函数为，则需求弹性为。答案：三、计算题1 1解 = = = 22解：= =3 3解 = =22 = 4 44解 = = = 2 5 5解 66解 = =7已知，求 7解：(x)= =8已知，求 8解 9已知，求；9解 因为 所以 10已知y =，求 10解 因为 所以 11设，求11解 因为 所以 12设，求12解 因为 所以 13已知，求 13解 14已知，求 14解： 15由方程确定是的隐函数，求 15解 在方程等号两边对x求导，得 故 16由方程确定是的隐函数，求.16解 对方程两边同时求导，得 =.17设函数由方程确定，求17解：方程两边对x求导，得 当时， 所以，18由方程确定是的隐函数，求18解 在方程等号两边对x求导，得 故 19已知，求 解： 20已知，求 解： 21已知，求；解：22已知，求dy 解： dy=23设 y，求dy解：24设，求 解：四、应用题 1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？ 1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？2解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 （元）4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 4解 （1）由已知利润函数则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 （元 5某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5. 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 6已知某厂生产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 6解 （1） 因为 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点 所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品7设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 8某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.解 由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为 （元） 9某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 10某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大经济数学基础线性代数一、单项选择题1设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. AAB BABT CA+B DBAT 2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D ）A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 4设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ） A B C D5设是可逆矩阵，且，则（C ）.A. B. C. D. 6设，是单位矩阵，则 （ D ） A B C D7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A 0，则B = C BAB = AC，A可逆，则B = C CA可逆，则AB = BA DAB = 0，则有A = 0，或B = 08设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（ C ） A. B. C. D. 9设，则r(A) =（ D ） A4 B3 C2 D1 10设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ） A1 B2 C3 D4 11线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12若线性方程组的增广矩阵为，则当（A）时线性方程组无解A B0 C1 D213 线性方程组只有零解，则（ B ）.A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解14设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ） A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定16设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.AAB BABT CA+B DBAT17设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 18设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D ）A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 19设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）A B C D20设是可逆矩阵，且，则（C ）.A. B. C. D. 21设，是单位矩阵，则 （ D ）A B C D22设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A 0，则B = C BAB = AC，A可逆，则B = CCA可逆，则AB = BA DAB = 0，则有A = 0，或B = 023若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解A1 B C2 D 24 若非齐次线性方程组Amn X = b的( C )，那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A） 秩 () D秩(A）= 秩()25线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解26 线性方程组只有零解，则（B ）.A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解27设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解28设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ）A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定30. 设A, B均为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ). A. (AB)T = ATBT B. (AB)T = BTAT C. (AB T)-1 = A-1(BT)1 D. (AB T)-1 = A-1(B1) T 解析：(AB )-1B-1 A-1(AB)T = BTAT故答案是B31. 设A= (1 2), B= (-1 3), E是单位矩阵, 则ATB E ( A ). A. B. C. D. 解析：ATB E32. 设线性方程组AX = B的增广矩阵为, 则此线性方程组一般解中自由未知量的个数为( A ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：33. 若线性方程组的增广矩阵为(A, B)=, 则当(D)时线性方程组有无穷多解. A. 1 B. 4 C. 2 D. 解析： 34. 线性方程组 解的情况是( A ). A. 无解B. 只有零解 C. 有惟一解 D. 有无穷多解解析：35. 以下结论或等式正确的是（ C ） A若均为零矩阵，则有B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵 D若，则 36. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ A ）矩阵 A B C D 37. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ） A， B C D 38. 下列矩阵可逆的是（ A ） A B C D 39. 矩阵的秩是（ B ） A0 B1 C2 D3 二、填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 与是同阶矩阵2计算矩阵乘积=43若矩阵A = ，B = ，则ATB=4设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式 5设，当 0 时，是对称矩阵.6当 时，矩阵可逆.7设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解 8设为阶可逆矩阵，则(A)= n 9若矩阵A =，则r(A) = 2 10若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解11若线性方程组有非零解，则-112设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r 13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量) 14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 =-1 时，方程组有无穷多解.15若线性方程组有唯一解，则只有0解 . 16两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 答案：同阶矩阵17若矩阵A = ，B = ，则ATB=答案18设，当 时，是对称矩阵. 答案：19当 时，矩阵可逆. 答案：20设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解答案：21设为阶可逆矩阵，则(A)= 答案：22若矩阵A =，则r(A) = 答案：223若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b答案：无解24若线性方程组有非零解，则答案：25设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于答案：26齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .答案： (其中是自由未知量)27线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 时，方程组有无穷多解. 答案：28. 计算矩阵乘积= 4 . 29. 设A为阶可逆矩阵, 则(A)= n . 30. 设矩阵A =, E为单位矩阵, 则(E A) T= 31. 若线性方程组有非零解, 则 1 . 32. 若线性方程组AX=B(B O)有惟一解, 则AX=O无非零解 .33.设矩阵，则的元素.答案：334.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：35. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .答案：36. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：37. 设矩阵，则.答案：三、计算题 1设矩阵，求1解 因为 = =所以 = 2设矩阵 ，计算 2解：= = = 3设矩阵A =，求 3解 因为 (A I )= 所以 A-1 = 4设矩阵A =，求逆矩阵 4解 因为(A I ) = 所以 A-1= 5设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1 5解 因为AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1 6解 因为BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解矩阵方程7解 因为 即 所以，X = 8解矩阵方程. 8解：因为 即 所以，X = 9设线性方程组 讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 9解 因为 所以当且时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解. 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 10解 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) r()，所以方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解： 11解 因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 12求下列线性方程组的一般解： 12解 因为增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解. 13解 因为系数矩阵 A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.14解 因为增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.15解：当=3时，方程组有解. 当=3时， 一般解为， 其中, 为自由未知量.16设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1解 因为BA= (BA I )= 17设矩阵，是3阶单位矩阵，求解：由矩阵减法运算得 利用初等行变换得即 18设矩阵，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法得 19求解线性方程组的一般解 解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形一般解为 (是自由未知量) 20求当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形所以，当时，方程组有解，且有无穷多解，答案：其中是自由未知量 21求当取何值时，线性方程组解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 当时，方程组有解，且方程组的一般解为 其中为自由未知量 22计算解 =23设矩阵，求。解 因为所以（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（2）写成；（3）写成；）24设矩阵，确定的值，使最小。解：当时，达到最小值。25求矩阵的秩。解： 。26求下列矩阵的逆矩阵：（1）解： （2）A =解：A-1 = 27设矩阵，求解矩阵方程解： = 四、证明题1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA1证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则2证 因为 = = 所以 3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求. 3. 证 因为，且，即，得，所以是可逆矩阵，且. 4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.4. 证 因为 =所以是对称矩阵.5设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵 5证 因为 ，且 所以 ABBA是对称矩阵 6、试证：若都与可交换，则，也与可交换。证：， 即 也与可交换。 即 也与可交换. 7试证：对于任意方阵，是对称矩阵。证： 是对称矩阵。= 是对称矩阵。是对称矩阵. 8设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。证： 必要性： ， 若是对称矩阵，即而 因此充分性： 若，则是对称矩阵. 9设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。 证： 是对称矩阵. 证毕. 经济数学基础积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x 2. 若= 2，则k =（ A ） A1 B-1 C0 D 3下列等式不成立的是（ D ） A B C D 4若，则=（D ）.A. B. C. D. 5. （ B ） A B C D 6. 若，则f (x) =（ C ） A B- C D- 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 8下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 9下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ B ） A-550 B-350 C350 D以上都不对 11下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 A B C D 12微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 113在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ C ）A B C D 14下列函数中，（ C ）是的原函数A- B C D 15下列等式不成立的是（ D ） A B C D 16若，则=（D ）.A. B. C. D. 17. （ B ） AB C D 18. 若，则f (x) =（ C ）A B- C D- 19. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 20下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 21下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D 22下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 A B C D 23微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 124.设函数，则该函数是（ A ）.A. 奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数25. 若，则( A )A. B. C. D. 26. 曲线在处的切线方程为( A ). A B C D 27. 若的一个原函数是, 则=（D） AB C D 28. 若, 则（ C ）. A. B. C. D. 二、填空题1 2函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数) 3若，则.4若，则= .50. 607无穷积分是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. 是 2 阶微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案：13函数f (x) = sin2x的原函数是14若，则. 答案：15若，则= . 答案：16. 答案：017答案：018无穷积分是答案：1 19. 是 阶微分方程. 答案：二阶20微分方程的通解是答案： 21. 函数的定义域是(-2,-1)U(-1,222. 若，则4 23. 已知，则=27+27 ln324. 若函数在的邻域内有定义，且则1.25. 若, 则-1/2 (三) 判断题11. . ( )12. 若函数在点连续，则一定在点处可微. ( ) 13. 已知，则= （ ）14. . （ ）. 15. 无穷限积分是发散的. ( 三、计算题 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令，则 =10求微分方程满足初始条件的特解10解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11求微分方程满足初始条件的特解11解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 12求微分方程满足 的特解. 12解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13求微分方程 的通解13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14求微分方程的通解.14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中，由通解公式 16求微分方程的通解 16解：因为，由通解公式得 = = = 17 解 = = 18 解： 19解：= 20 解： =（答案： 21 解： 22 解 =23 24. 2526设，求 27. 设，求. 28设是由方程确定的隐函数,求.29设是由方程确定的隐函数,求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 1解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 4解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.
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