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熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果 例 图1中以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE 求证：(1)BG=CE；(2)BGCE分析：一般的证法是证明ABG与AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90为点B，点C绕点A逆时针旋转90为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90为线段BG，故有BG=CE，BGCE本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分 1、90角旋转 例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD上的点，且CEF的周长是2求EAF的大小。解：将ABE绕点A作逆时针旋转90，则AB边与AD边重合，设旋转后EE，由条件CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE，故CE+ CF+FE=2从而必有EF=FE，又AE= AE，AF=AF，故AEFAEF，EAF=EAF，又从作图知EAE=90，故EAF=45。例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a0)，求:(1)APB的度数;(2)正方形ABCD的面积 分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形但是当把ABP按顺时针方向旋转90后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形解:(1)将ABP绕点B顺时针方向旋转90得CBQ则ABP CBQ且PBQB于是PB=QB=2a，PQ=2a在PQC中，PC2=9a2，PQ2QC2=9a2PC2=PQ2QC2 PQC=90PBQ是等腰直角三角形，BPQ=BQP=45故APB=CQB=9045=135(2)APQ=APBBPQ=13545=180，三点A、P、Q在同一直线上在RtAQC中，AC2=AQ2QC2=(a2a)2a2=(104)a2故S正方形ABCD =AC2=(52)a2思考 例2中，如果把CBP绕点B逆时针方向旋转90得ABM，怎样解以上问题?(答:(1)PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得APM=90;(2)过点B作BNAP，垂足为N则PN=BN=，于是在ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积) 2、60角旋转 例1 如图3，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：AMN是等边三角形。 证明：由条件可知，ADC绕点A逆时针旋转60为ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60得BE中点M，故AN=AM，NAM二60，即AMN是等边三角形。 例2 如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5求APB的大小。 解：将APC绕点A顺时针旋转60，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形边与AB重合。设P旋转后为P，则APP的边长为3的等边三角形，PB=PC=5，又PB=4，故pp2+PB2=PB2从而PPB是以PPB为直角的直角三角形，从而APB=APP+PPB=60+90=150。例3 如图，在凸四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC证明:BD2=AB2BC2分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中证:连接AC AD=DC，ADC=60，ADC是等边三角形故将DCB绕点C顺时针方向旋转60时可得ACE连接BE于是DCBACE且CB=CE，BCE=60BCE是等边三角形，BC=BE，CBE=60ABC=30， ABE=90故AB2BC2=AB2BE2=AE2=BD2练习已知：如图，M是等边ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：ABC的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1 如图，在ABC中，ACB=90，A=25，以点C为旋转中心将ABC旋转角到A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上求旋转角的度数分析:将ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角的大小于是A1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角 解:ABCA1B1C(旋转前后的图形全等)A=A1且CB=CB1ADC=A1DB， A1BD= 在ABC中，ABC=9025=65BCB1=(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)CBB1=(180)点A1、B、B1在同一直线上， 65(180)=180解之得=50思考 例1中，若A=，那么与有何数量关系?(答: =2)二、按计算要求进行区分1、求角度例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度数。分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将APC绕着A点逆时针旋转60得到AFB， 图1 图2从而可得APB=APF+BPF，然后设法求出APF、BPF的度数即可。解：将APC绕点A逆时针旋转60后，得AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，FAP=60。FAP是正三角形，FP=PA=6，在PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，BPF=90，APB=APF+FPB=60+90=150。图3例2、如图所示，ABC中，ACB=120，将该图形绕点C按顺时针旋转30后，得到ABC，则ABC的度数是 。分析：根据旋转的性质可以知道BCB是旋转角，它的度数应该是30，ABC可以看成是ACB和BCB的和，所以ABC=12030=150。答：ABC的度数是150。2、求线段间的关系或长度例1（旅顺）操作：如图3，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知DBA=DCA=90，BD=CD，于是将DBM绕D点顺时针旋转120到DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。解：ABC为正三角形，ABC=ACB=60，又BDC=120，DB=DC，DBC=DCB=30。DBM=DCN=90。于是将DBM绕D点顺时针旋转120到DCP位置，则BM=CP、DM=DP、MDP=120，又MDN=60，PDN=60，PDN=MDN，DN=DN，MDNPDN，MN=NP=NC+CP，BM+NC=MN。答：ABC的度数是150。图4图5例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是 。分析：由旋转的性质可以知道BFC=DCG=30，所以FCD=60，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知F=D=90，FC=DC，HC是RtFHC和RtDHC公共的斜边，根据HL公理可以判断RtFHCRtDHC，所以FHC=DHC=30，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。答：DH的长是。3、求面积 例1、如图4，ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。 图4 图5 分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH和BDC绕D点顺时针旋转180，问题就迎刃而解了。解：将扇形BDH和BDC绕D点顺时针旋转180变成图5。 S阴=S半圆SAEF=1212=（1）。图1图2例2、如图所示，AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将AOB绕点O按逆时针方向旋转90到AOB，那么AB扫过的区域的面积是 。分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为和两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域和区域的面积是相等的，所以可以将转化为，而区域的面积=扇形OAA的面积扇形ODD的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域的面积=。答：AB扫过的区域的面积是。4、进行图形分割例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，A=90，ABC与ADC互补。（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解；第（2）问则ABC+ADC=180，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够 图6 图7拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由C=90，又AB=AD，因此猜想过点A作AEBC于E，又得一个直角。把ABE绕点A逆时针旋转90，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。5、构造平行四边形例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图10，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180，3平移，拼成的四边形满足条件。三、按旋转类型进行区分1、正三角形类型在正ABC中，P为ABC内一点，将ABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个CP中，此时AP也为正三角形。 图（1-1-a） 图（1-1-b）例1. 如图：（1-1）：设P是等边ABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则APB的度数是_. 图（1-1） 图（1-2） 简解：在ABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。则BACAP。易证AP为正三角形，PB为RtAPB=AP+PB=+=15002、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的CP中，此时BP为等腰直角三角形。 图（2-1-a） 图（2-1-b）例2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 图（2-1） 图（2-2）简解：作AED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ADEABP（SAS） 同样方法，作DFC且有DFCBPC。易证EAP为等腰直角三角形，又AP=1PE= 同理，PF=3EDA=PBA，FDC=PBC 又PBA+PBC=900EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800点E、D、F在一条直线上。EF=ED+DF=2+2=4，在EPF中，EF=4，EP=，FP=3由勾股定理的逆定理，可知EPF为RtS正方形ABCD =SRtEPF+SRtEPA+SRtPFC=3+=8例3 .如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求AEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)图（3-1） 简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtABRtADF（SAS）。AE =300 +150=450，FAE=900 -300 -150=450易证AEFAE(SAS) EA =FEA=600，FEC=600, 在RtABE中, AB=，BAE=300BE=1, CE=-1, FE=2CE=2(-1), E=EF=2(-1)所以,SAEF= SAFE=ABE=2(-1)=3-3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ABC中，C=Rt, P为ABC内一点，将APC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个CP为等腰直角三角形。 图（3-1-a） 图（3-1-b）例4如图（4-1），在ABC中，ACB =900，BC=AC，P为ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。 图（4-1） 图（4-2）简解：在RtABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。则BCACP。易证RtCP为等腰直角三角形，在PB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，PB为Rt为Rt，PB=900BPC=CP+PB=450+=1350例5. 如图（5-1），在ABC中，BAC =900，AB=AC，ABC内一点O，AO=2cm,如果把ABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为_。 图（5-1）例6 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于_。（2003年宁波市至诚杯竞赛题） 图（6-1） 图（6-2）简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则AEABC（SAS） AB=CD=AE=BC+DE=1，CD =D CADAD（SSS）SABCDE=2 SCDA=2（11）=14、 三角形与圆混合类型将CAD绕A点按顺时针方向旋转600到BA，经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时BD是个平角，AD为正三角形。 图（3-1-a） 图（3-1-b）例7 如图（7-1），正三角形ABC内接于O，P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为_。 图（7-1） 图（7-2）简解：延长PB至使得B=PC，连结A，则ABAPC（SAS）A=AP，AB=PAC， 又 BAC=600 AP为正三角形S四边形ABPC = SAPP =四、与旋转有关的探索型题目1、条件探索型条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因). 例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与RtACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, BAC=600,若把RtACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得ABC，A B分别与AC,AB相交于D、E,如图(乙)所示. ACB至少旋转多少度才能得到ABC?说明理由._G_B_F_C_A(甲)_E_D_G_B_F_C_A(乙)图1.求ACB与ABC的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)解： ACGF是正方形，AB经过点F， AC=CF 又A=60, ACF是等边三角形.又 ACF=60 ACA=90一60=30, ABC至少旋转30才能得到ACB. (2) ACA=30 ,BAC=60, ADE=90. 又 AC=2，可求得 CD=.AD=2一.在RtADE中 , DE=ADtan60=(2一_)=2一3 ADE的面积为：ADDE=(2一)(2一3) = .又 AB=4， AF= 2, F是AB的中点 ACF的面积=ABC的面积 , 而BC=ACtan60=2, SABC=22 =2， SACF = 四边形DCFE的面积为：一()=一+6=6一(若取近似值，则结果应约为17)2、探索结论型结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，ABCD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.OFEDCBA图2解:证明:当AOF=时, ABEF,又AFBE,四边形ABEF为平行四边形.AO=CO, FAO=ECO, AOF=COE. AOFCOE. AF=EC.四边形BEDF可是是菱形.理由:如图2,连接BF、DE.由(2)知AOFCOE.得OE=OF,EF与BD互相平分.当EFBD时,四边形BEDF为菱形.在RtABC中,AC=,OA=1=AB . 又ABACAOB=，AOF=.AC绕点O顺时针旋转时,四边形BEDF为菱形.3、存在性探索型存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论. 例1.（河北）如图11，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图12，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图13ABDGEFOMNC图12EABDGFOMNC图11A( G )B( E )COD( F )分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然OBM和OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.解：（1）BM=FN 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ABD =F =45，OB = OF又BOM=FON OBMOFN BM=FN （2）BM=FN仍然成立 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，DBA=GFE=45，OB=OFMBO=NFO=135又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN 评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2. （黑龙江鸡西）已知AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明图2-1 图2-2 图2-3分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但AOC和COE的大小不变，都是45，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.解：图2结论：OD+OE=OC. 证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q CPDCQE，DP=EQ. OP=OD+DP，DQ=OE-EQ. 又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C. OD+OE=0C 图3结论：OE-OD=OC.评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.练习部分一、选择题1、（2009年泸州）如图1，P是正ABC内的一点，若将PBC绕点B旋转到PBA，则PBP的度数是 （）12430-1-2-3123AB A45 B60 C90 D1202、(2009年陕西省) 如图，AOB90，B30，AOB可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A在AB上，则旋转角的大小可以是（ ）A30B45C60D903、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将ABO绕点O按顺时针方向旋转90，得 ，则点的坐标为（ ） A（3，1） B（3，2） C（2，3） D（1，3）4、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A等腰梯形B平行四边形C正三角形D矩形5、（2009年台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） AN BA M DE6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ）BCDEFAA等腰三角形B正三角形C等腰梯形D菱形7、如图，在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点， 且DAE=45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论：；其中正确的是（ ）A； B； C；D8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图2，则旋转的牌是（ ）图1图2ABCD9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180得到0A，则点A在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限10、（2009年崇左）已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90得，则点的坐标为（ ）A B C D二、填空题1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ABO2、（2009年衡阳市）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135到点B，那么点B的坐标是 _ ObBbAbybA1B1x3、 （2009年枣庄市）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90后得到，则点的坐标是 4、(2009年抚顺市)如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标是将绕原点按逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是 三、解答题1如图，P是正方形内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若BP=3，求PPABCP2正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明APB=135 3、如图P是等边ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB= 4、（2009年河南）如图，在RtABC中，ACB=90, B =60，BC=2点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为.(1) 当=_度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_； 当=_度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_；(2)当=90时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由5、如图，ABC中，ACB90，ACBC1，将ABC绕点C逆时针旋转角。(090)得到A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明(ABC与A1B1C1全等除外)；(2)当BB1D是等腰三角形时，求；(3)当60时，求BD的长6、（13分） 已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F7已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.(1) 如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;(2) 若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由. 8、将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1摆放.（1）将图1中DEC绕点C顺时针旋转任意角度，则 ACB1+BCA1=_（2）、将图1中绕点C顺时针旋转45得图2，点与AB的交点。求出图中ACP1的各个内角的度数；求证：；（3）、将图2中绕点C顺时针旋转30到（如图3），点与AB的交点。求出图中CP1 P2的各个内角的度数；线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（4）、将图3中线段绕点C顺时针旋转60到（如图4），连结，求证：AB. 9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中BF30，斜边AB和EF长均为4(1)当 EGAC于点K，GFBC于点H时（如图），求GH：GK的值(2) 现将三角板EFG由图所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角满足条件：030（如图），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论； (3)在下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=，GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(备用图)(图)(图) 10、 （海口实验区）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.（1）、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，ABCDEMN图2求证：DE=AD-BE；ACBEDNM图3（3）、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.11 已知：将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(090)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当30时(如图)，求证：AG=DH；（2）当60时(如图)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；AGDHMEFCBN图4560AEDBCFAGDHMEFCB(N)图图12已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD13、ABC是等腰三角形，MN为AB上两点，如果，试说明AM、MN、NB可构成一个直角三角形的三条边.ACBMN14、已知如图P为正方形ABCD内一点，ABP经过旋转后到达CBQ的位置，（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连结PQ，试判断PBQ的形状；（3）若BPA=135，试说明点A、P、Q三点在同一直线上；（4）若BPA=135，AP=3，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.ADBCPQ15已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图，求证：；思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了CABEFMN图CABEFMN图（2）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由16如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，CAO=30，OA=4。(1)求点C的坐标；(2)如图，将ACB绕点C按顺时针方向旋转30到ACB的位置，其中AC交直线OA于点E，AB分别交直线OA、CA于点F、G，则除ABCAOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)yyxx1111ABCCABAGFE图图OO(3)在(2)的基础上，将ACB绕点C按顺时针方向继续旋转，当COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。17、（江苏杨州课改）等腰ABC，AB=AC=，BAC=120，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F探究：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论）探究：连结EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由；设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S图a图b- 25 -用心 爱心 专心
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