《函数奇偶性》教学设计

函数奇偶性教学设计教材分析：在学习函数奇偶性之前，已经学习了函数的概念及函数的图像，使得学生具备了利用函数解析式研究数形性质的基本知识，同时联系初中所学的图形中心对称和轴对称。但只是从图象上直观观察图象的对称,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.奇偶性的证明是学生在函数内容中接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,还没有意识到它的重要性,所以奇偶性的证明自然就是教学中的难点.学情分析：学生在初中学习了二次函数和反比例函数,学生已经知道这两个图象的对称性,而且有了前面函数的概念及表示法,为准确描述自变量互为相反数时对应的函数值的关系扫清了障碍，可顺利得出函数奇偶性的定义。该班的学生较活跃，课堂上发言积极，并且学生已经学习了函数的概念、图像和对称的概念，大部分学生都能在教师的诱导下发现规律，达到掌握的目的。一、教学目标： 知识与技能：结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图像理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性。 过程与方法：体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳推理的思维方法。 情感、态度、价值观：通过绘制和展示优美的函数图像，可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程，培养我们探究、推理的思维能力。二、教学重点、难点：重点 ： 奇偶性概念的理解及应用。难点 ： 奇偶性的判断与应用。三、教学方法：探究式、启发式。四、课堂类型：新授课五、教学媒体使用：多媒体（计算机、实物投影）六、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图问题引领复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义教师提出问题，学生回答.为学生认识奇、偶函数的图象特征做好准备.自主探究1要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象.2多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =3，x =2，x =， 的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (x) = f (x)，g (x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.3奇函数、偶函数的定义：奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (x) = f (x)，则这个函数叫奇函数.偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g ( x) = g (x)，则这个函数叫做偶函数.1教师指导，学生作图，学生作完图后教师提问：观察我们画出的两个函数的图象，分别具有怎样的对称性？学生回答：f (x) =x3关于原点成中心对称图形；g (x) = x2关于y轴成轴对称图形.2老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律，然后要求学生给出证明；学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特征：f (x) = f (x)，g (x) = g (x).3.教师引导归纳：这时我们称函数f (x) = x3这样的函数为奇函数，像函数g (x) = x2这样的函数为偶函数，请同学们根据对奇函数和偶函数的初步认识加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义.学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善. 在屏幕展示奇函数和偶函数的定义.老师：根据定义，哪些同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？学生：f (x) = ，f (x) = x6 4x4，.1要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下一步问题的提出做好准备. 并通过问题来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征.2通过特殊值让学生认识两个函数各自对称性实质：是自变量互为相反数时，函数值互为相反数和相等这两种关系.3通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识，此时再让学生给奇函数和偶函数下定义应是水到渠成.合作交流（1）强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性.（2）奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.（3）奇函数与偶函数图象的对称性：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.教师设计以下问题组织学生讨论思考回答.问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？问题2：x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x)关于原点对称点P的坐标是什么？点P是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？学生通过回答问题3 可以把奇函数图象的性质总结出来，然后老师让学生自己研究一下偶函数图象的性质.通过对三个问题的探讨，引导学生认识到：（1）函数的奇偶性 是函数在定义域上的一个整体性质，它不同于单调性.（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件.（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.成果展示例1 判断下列函数的奇偶性；（1）f (x) = x + x3 +x5；（2）f (x) = x2 +1；（3）f (x) = x + 1；（4）f (x) = 0.学生练习：判断下列函数的是否具有奇偶性：(1) f (x) = x + x3； (2) f (x) = x2；(3) h (x) = x3 +1； (4) f (x) = (x + 1) (x 1)；例2 研究函数y =的性质并作出它的图象.学生练习：1判断下列论断是否正确：（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对原对称，则这个函数关于原点对称；则这个函数为奇函数；（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义关于坐标原点对称，（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.2如果f (0) = a0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？3.如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？4如图，给出了奇函数y = f (x)的局xyO42总图象，求f ( 4).5如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.xyO 32 11选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳.2例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单.3做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固. 在学生练习过程中，教师做好巡视指导.例1 解答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）既奇又偶函数学生练习答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）偶函数例2 偶函数（图略）学生练习1（1）错（2）错（3）错（4）对2不能为奇函数但可以是偶函数3偶函数f (x ) = f (x)g (x) = g (x)F (x) = F (x)4f (4) = f (4) = 2.5f (3)f (1)又f (3) = f (3)f (1) = f (1)f (3)f (1)1通过例1解决如下问题：根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (x) = f (x)还是判断f (x) = f (x).通过例1中的第（3）小题说明判断函数既不是奇函数也不是偶函数. 例1中的第（4）小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称. f (x) = 0既不奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.总结：对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.2对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便. 在此问题的处理上要先求一下函数的定义域，这是研究函数性质的基础，然后判断函数图象的对称性，再根据奇、偶函数在y轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质.拓展延伸设函数f (x)是定义在(，0)(0，+)上的奇函数，又f (x)在(0，+)上是减函数，且f (x)0，试判断函数F (x) =在(，0)上的单调性，并给出证明.证明：F (x)在（，0）是中增函数，以下进行证明：设x1，x2(，0)，且x1x2.f (x)在（0，+）上是减函数，f (x2) f (x1)0又f (x)在 (，0)(0，+)上是奇函数，f (x1) = f (x1)，f (x2) = f (x2)，由式得 f (x2) + f (x1) 0，即f (x1) f (x2)0. 当x1x20时，F (x2) F (x1) =，又f (x)在(0，+)上总小于0，f (x1) = f (x1)0，f (x2) = f (x2)0，f (x1)f (x2)0，又f (x1) f (x2)0，F (x2) F (x1)0且x = x2 x10，故F (x) =在(，0)上是增函数.联系单调性的知识，进一步加深对奇偶性的理解。归纳总结从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结. 让学生谈本节课的收获，并进行反思.关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获.布置作业1.3习题学生独立完成通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容. 并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会.七、板书设计函数的奇偶性问题引领自主探究合作交流成果展示拓展延伸归纳总结作业布置八、设计反思：根据课程改革的目标，实现以人的全面发展为本的教学理念，并根据诱思探究学科教学论，改变传统教学过于注重传授知识的倾向，让学生在课堂上真正动起来，切实实现学生的主体地位。但是函数奇偶性这节内容较为抽象，对学生分析问题解决问题的能力要求比较高，所以创设情景时联系函数与图像产生一一对应的关系，环环相扣，并让学生小组合作、研究探索、互相补充、发现共性、找出规律。