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5.3平面向量的数量积第五章平面向量数 学 苏 （ 理 ） 基 础 知 识 自 主 学 习 题 型 分 类 深 度 剖 析 思 想 方 法 感 悟 提 高 练 出 高 分 1.平 面 向 量 的 数 量 积已 知 两 个 非 零 向 量 a和 b， 它 们 的 夹 角 为 ， 则 数 量 _叫做 a和 b的 数 量 积 (或 内 积 )， 记 作 .规 定 ： 零 向 量 与 任 一 向 量 的 数 量 积 为 .两 个 非 零 向 量 a与 b垂 直 的 充 要 条 件 是 ， 两 个 非 零 向 量 a与 b平 行 的 充 要 条 件 是 .2.平 面 向 量 数 量 积 的 几 何 意 义数 量 积 ab等 于 a的 长 度 |a|与 b在 a的 方 向 上 的 投 影 的 乘 积 .|a|b|cos ab |a|b|cos 0 ab 0 ab |a|b| |b|cos 3.平 面 向 量 数 量 积 的 重 要 性 质(1)ea ae ；(2)非 零 向 量 a， b， a b ；(3)当 a与 b同 向 时 ， ab ；当 a与 b反 向 时 ， ab ， aa ， |a| ；(4)cos ；(5)|ab| |a|b|.|a|cos ab 0|a|b| |a|b| |a|2 4.平 面 向 量 数 量 积 满 足 的 运 算 律(1)ab (交 换 律 )；(2)(a)b (为 实 数 )；(3)(a b)c .ba(ab) a(b)ac bc 5.平 面 向 量 数 量 积 有 关 性 质 的 坐 标 表 示设 向 量 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 则 ab ， 由 此 得到(1)若 a (x， y)， 则 |a|2 或 |a| .(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A、 B两 点 间 的 距 离 AB | | .(3)设 两 个 非 零 向 量 a， b， a (x1， y1)， b (x2， y2)， 则a b . x1x2 y1y2x2 y2x1x2 y1y2 0 u 思考辨析判 断 下 面 结 论 是 否 正 确 (请 在 括 号 中 打 “ ” 或 “ ” )(1)向 量 在 另 一 个 向 量 方 向 上 的 投 影 为 数 量 ， 而 不 是 向 量 .( )(2)两 个 向 量 的 数 量 积 是 一 个 实 数 ， 向 量 的 加 、 减 、 数 乘 运算 的 运 算 结 果 是 向 量 .( ) (4)在 四 边 形 ABCD中 ， 且 0， 则 四 边 形ABCD为 矩 形 .( )(5)两 个 向 量 的 夹 角 的 范 围 是 0， .( )(6)已 知 a (， 2)， b (3， 2)， 如 果 a与 b的 夹 角 为 锐 角 ，则 的 取 值 范 围 是 0.( ) 题 号 答 案 解 析1234 330 4 8 解析 设 向 量 a与 向 量 a 2b的 夹 角 为 . |a 2b|2 4 4 4ab 8 8cos 60 12，a(a 2b) |a|a 2b|cos 又 a(a 2b) a2 2ab 4 4cos 60 6， 0 ， 180 ， 30 . 题 型 一 平 面 向 量 数 量 积 的运 算 解 析 答 案 思 维 升 华例1 (1)(2013湖 北 改 编 )已 知 点A( 1,1)、 B(1,2)、 C( 2， 1)、D(3,4)， 则 向 量 在 方 向 上的 投 影 为 . 题 型 一 平 面 向 量 数 量 积 的运 算例1 (1)(2013湖 北 改 编 )已 知 点A( 1,1)、 B(1,2)、 C( 2， 1)、D(3,4)， 则 向 量 在 方 向 上的 投 影 为 . 解 析 答 案 思 维 升 华 题 型 一 平 面 向 量 数 量 积 的运 算例1 (1)(2013湖 北 改 编 )已 知 点A( 1,1)、 B(1,2)、 C( 2， 1)、D(3,4)， 则 向 量 在 方 向 上的 投 影 为 . 解 析 答 案 思 维 升 华 求 两 个 向 量 的 数 量 积 有 三种 方 法 ： 利 用 定 义 ； 利 用向 量 的 坐 标 运 算 ； 利 用 数量 积 的 几 何 意 义 .本 题 从不 同 角 度 创 造 性 地 解 题 充分 利 用 了 已 知 条 件 .题 型 一 平 面 向 量 数 量 积 的运 算例1 (1)(2013湖 北 改 编 )已 知 点A( 1,1)、 B(1,2)、 C( 2， 1)、D(3,4)， 则 向 量 在 方 向 上的 投 影 为 . 解 析 答 案 思 维 升 华 解 析 答 案 思 维 升 华例1 (2)已 知 正 方 形 ABCD的 边长 为 1， 点 E是 AB边 上 的 动 点 ，则 的 值 为 ； 的 最 大 值 为 . 例1 (2)已 知 正 方 形 ABCD的 边长 为 1， 点 E是 AB边 上 的 动 点 ，则 的 值 为 ； 的 最 大 值 为 .解析 方 法 一 以 射 线 AB， AD为 x轴 ， y轴 的正 方 向 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则A(0,0)， B(1,0)， C(1,1)， D(0,1)， 解 析 答 案 思 维 升 华 例1 (2)已 知 正 方 形 ABCD的 边长 为 1， 点 E是 AB边 上 的 动 点 ，则 的 值 为 ； 的 最 大 值 为 .方 法 二 由 图 知 ， 无 论 E点 在 哪 个 位 置 ，解 析 答 案 思 维 升 华 例1 (2)已 知 正 方 形 ABCD的 边长 为 1， 点 E是 AB边 上 的 动 点 ，则 的 值 为 ； 的 最 大 值 为 .当 E运 动 到 B点 时 ， 解 析 答 案 思 维 升 华 11 解 析 答 案 思 维 升 华例1 (2)已 知 正 方 形 ABCD的 边长 为 1， 点 E是 AB边 上 的 动 点 ，则 的 值 为 ； 的 最 大 值 为 . 求 两 个 向 量 的 数 量 积 有 三种 方 法 ： 利 用 定 义 ； 利 用向 量 的 坐 标 运 算 ； 利 用 数量 积 的 几 何 意 义 .本 题 从不 同 角 度 创 造 性 地 解 题 充分 利 用 了 已 知 条 件 .解 析 答 案 思 维 升 华11例1 (2)已 知 正 方 形 ABCD的 边长 为 1， 点 E是 AB边 上 的 动 点 ，则 的 值 为 ； 的 最 大 值 为 . 跟踪训练1 (1)已 知 平 面 向 量 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 若|a| 2， |b| 3， ab 6.则 的 值 为 .解析由 已 知 得 ， 向 量 a (x1， y1)与 b (x2， y2)反 向 ，3a 2b 0， 即 3(x1， y1) 2(x2， y2) (0,0)， 解 析 答 案 思 维 升 华题 型 二 求 向 量 的 模 与 夹 角例2 (1)若 平 面 向 量 a与 平 面 向量 b的 夹 角 等 于 ， |a| 2， |b|3， 则 2a b与 a 2b的 夹 角 的余 弦 值 为 . 记 向 量 2a b与 a 2b的 夹角 为 ，题 型 二 求 向 量 的 模 与 夹 角例2 (1)若 平 面 向 量 a与 平 面 向量 b的 夹 角 等 于 ， |a| 2， |b|3， 则 2a b与 a 2b的 夹 角 的余 弦 值 为 . 又 (2a b)2 4 22 32 4 2 3 cos 13，(a 2b)2 22 4 32 4 2 3 cos 52，解 析 答 案 思 维 升 华 (2a b)(a 2b) 2a2 2b2 3ab 8 18 9 1，题 型 二 求 向 量 的 模 与 夹 角例2 (1)若 平 面 向 量 a与 平 面 向量 b的 夹 角 等 于 ， |a| 2， |b|3， 则 2a b与 a 2b的 夹 角 的余 弦 值 为 . 即 2a b与 a 2b的 夹 角的 余 弦 值 是 .解 析 答 案 思 维 升 华 (2a b)(a 2b) 2a2 2b2 3ab 8 18 9 1，题 型 二 求 向 量 的 模 与 夹 角例2 (1)若 平 面 向 量 a与 平 面 向量 b的 夹 角 等 于 ， |a| 2， |b|3， 则 2a b与 a 2b的 夹 角 的余 弦 值 为 . 即 2a b与 a 2b的 夹 角的 余 弦 值 是 .解 析 答 案 思 维 升 华 题 型 二 求 向 量 的 模 与 夹 角例2 (1)若 平 面 向 量 a与 平 面 向量 b的 夹 角 等 于 ， |a| 2， |b|3， 则 2a b与 a 2b的 夹 角 的余 弦 值 为 . (1)在 数 量 积 的 基 本 运 算中 ， 经 常 用 到 数 量 积 的 定义 、 模 、 夹 角 等 公 式 ， 尤其 对 |a| 要 引 起 足 够重 视 ， 它 是 求 距 离 常 用 的公 式 .解 析 答 案 思 维 升 华 题 型 二 求 向 量 的 模 与 夹 角例2 (1)若 平 面 向 量 a与 平 面 向量 b的 夹 角 等 于 ， |a| 2， |b|3， 则 2a b与 a 2b的 夹 角 的余 弦 值 为 . (2)要 注 意 向 量 运 算 律 与实 数 运 算 律 的 区 别 和 联系 .在 向 量 的 运 算 中 ， 灵活 运 用 运 算 律 ， 就 会 达到 简 化 运 算 的 目 的 .解 析 答 案 思 维 升 华 解 析 答 案 思 维 升 华例2 (2)已 知 向 量 a， b的 夹角 为 45 ， 且 |a| 1， |2a b| ， 则 |b| . a， b的 夹 角 为 45 ，|a| 1，例2 (2)已 知 向 量 a， b的 夹角 为 45 ， 且 |a| 1， |2a b| ， 则 |b| . 解 析 答 案 思 维 升 华 a， b的 夹 角 为 45 ，|a| 1，例2 (2)已 知 向 量 a， b的 夹角 为 45 ， 且 |a| 1， |2a b| ， 则 |b| . 解 析 答 案 思 维 升 华 例2 (2)已 知 向 量 a， b的 夹角 为 45 ， 且 |a| 1， |2a b| ， 则 |b| . (1)在 数 量 积 的 基 本 运 算中 ， 经 常 用 到 数 量 积 的 定义 、 模 、 夹 角 等 公 式 ， 尤其 对 |a| 要 引 起 足 够重 视 ， 它 是 求 距 离 常 用 的公 式 .解 析 答 案 思 维 升 华 例2 (2)已 知 向 量 a， b的 夹角 为 45 ， 且 |a| 1， |2a b| ， 则 |b| . (2)要 注 意 向 量 运 算 律 与实 数 运 算 律 的 区 别 和 联系 .在 向 量 的 运 算 中 ， 灵活 运 用 运 算 律 ， 就 会 达到 简 化 运 算 的 目 的 .解 析 答 案 思 维 升 华 解 析 答 案 思 维 升 华 解 析 答 案 思 维 升 华 解 析 答 案 思 维 升 华 解 析 答 案 思 维 升 华 (1)在 数 量 积 的 基 本 运 算中 ， 经 常 用 到 数 量 积 的 定义 、 模 、 夹 角 等 公 式 ， 尤其 对 |a| 要 引 起 足 够重 视 ， 它 是 求 距 离 常 用 的公 式 .解 析 答 案 思 维 升 华 (2)要 注 意 向 量 运 算 律 与实 数 运 算 律 的 区 别 和 联系 .在 向 量 的 运 算 中 ， 灵活 运 用 运 算 律 ， 就 会 达到 简 化 运 算 的 目 的 .解 析 答 案 思 维 升 华 跟踪训练2(1)(2013天 津 )在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AD 1， BAD 60 ， E为 CD的 中 点 .若 1， 则 AB的 长 为 .解析 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 跟踪训练2(1)(2013天 津 )在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AD 1， BAD 60 ， E为 CD的 中 点 .若 1， 则 AB的 长 为 . (2)(2014江 西 )已 知 单 位 向 量 e1与 e2的 夹 角 为 ， 且 cos ，向 量 a 3e1 2e2与 b 3e1 e2的 夹 角 为 ， 则 cos . (2)(2014江 西 )已 知 单 位 向 量 e1与 e2的 夹 角 为 ， 且 cos ，向 量 a 3e1 2e2与 b 3e1 e2的 夹 角 为 ， 则 cos . 题 型 三 数 量 积 的 综 合 应 用 思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华例3 已 知 ABC的 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 是 a、 b、 c， 设 向量 m (a， b)， n (sin B， sin A)，p (b 2， a 2).(1)若 m n， 求 证 ： ABC为 等腰 三 角 形 ； (1)由 m n可 得 ABC的边 角 关 系 ， 再 利 用 正 弦 定理 边 角 互 化 即 可 证 得 结 论 ；(2)由 m p得 a、 b关 系 ，再 利 用 余 弦 定 理 得 ab， 代入 面 积 公 式 .思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华题 型 三 数 量 积 的 综 合 应 用例3 已 知 ABC的 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 是 a、 b、 c， 设 向量 m (a， b)， n (sin B， sin A)，p (b 2， a 2).(1)若 m n， 求 证 ： ABC为 等腰 三 角 形 ； 证明 m n，思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华题 型 三 数 量 积 的 综 合 应 用 asin A bsin B，其 中 R是 三 角 形 ABC外 接圆 半 径 ， a b. ABC为 等 腰 三 角 形 .例3 已 知 ABC的 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 是 a、 b、 c， 设 向量 m (a， b)， n (sin B， sin A)，p (b 2， a 2).(1)若 m n， 求 证 ： ABC为 等腰 三 角 形 ； 解 决 以 向 量 为 载 体 考 查三 角 形 问 题 时 ， 正 弦 定理 、 余 弦 定 理 、 面 积 公式 的 应 用 、 边 与 角 之 间的 互 化 是 判 断 三 角 形 形状 的 常 用 方 法 .思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华题 型 三 数 量 积 的 综 合 应 用例3 已 知 ABC的 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 是 a、 b、 c， 设 向量 m (a， b)， n (sin B， sin A)，p (b 2， a 2).(1)若 m n， 求 证 ： ABC为 等腰 三 角 形 ； 思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华例3 (2)若 m p， 边 长 c 2，角 C ， 求 ABC的 面 积 . 思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华例3 (2)若 m p， 边 长 c 2，角 C ， 求 ABC的 面 积 . (1)由 m n可 得 ABC的 边 角 关 系 ，再 利 用 正 弦 定 理 边 角 互 化 即 可 证得 结 论 ；(2)由 m p得 a、 b关 系 ， 再 利 用余 弦 定 理 得 ab， 代 入 面 积 公 式 . 解由 题 意 可 知 mp 0，即 a(b 2) b(a 2) 0. a b ab.由 余 弦 定 理 可 知 ， 4 a2b2 ab (a b)2 3ab，即 (ab)2 3ab 4 0， ab 4(舍 去 ab 1)，思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华例3 (2)若 m p， 边 长 c 2，角 C ， 求 ABC的 面 积 . 思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华例3 (2)若 m p， 边 长 c 2，角 C ， 求 ABC的 面 积 . 思 维 点 拨 解 析 思 维 升 华例3 (2)若 m p， 边 长 c 2，角 C ， 求 ABC的 面 积 . 解 决 以 向 量 为 载 体 考 查三 角 形 问 题 时 ， 正 弦 定理 、 余 弦 定 理 、 面 积 公式 的 应 用 、 边 与 角 之 间的 互 化 是 判 断 三 角 形 形状 的 常 用 方 法 . 解 f(x) mn 所 以 f(x) 2,2， 即 f(x)的 值 域 是 2,2. 高 考 小 考 点 6 高 考 中 以 向 量 为 背 景 的 创 新 题思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 解 答 创 新 型 问 题 ， 首 先 需 要 分 析 新 定 义 的 特 点 ， 把 新定 义 所 叙 述 的 问 题 的 本 质 弄 清 楚 ， 将 问 题 转 化 为 我 们熟 悉 的 定 义 运 算 ； 然 后 确 定 解 题 策 略 ， 根 据 题 目 条 件进 行 求 解 .思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 解 答 创 新 型 问 题 ， 首 先 需 要 分 析 新 定 义 的 特 点 ， 把 新定 义 所 叙 述 的 问 题 的 本 质 弄 清 楚 ， 将 问 题 转 化 为 我 们熟 悉 的 定 义 运 算 ； 然 后 确 定 解 题 策 略 ， 根 据 题 目 条 件进 行 求 解 .思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒 方 法 与 技 巧 1.计 算 数 量 积 的 三 种 方 法 ： 定 义 、 坐 标 运 算 、 数 量积 的 几 何 意 义 ， 要 灵 活 选 用 ， 和 图 形 有 关 的 不 要忽 略 数 量 积 几 何 意 义 的 应 用 .2.求 向 量 模 的 常 用 方 法 ： 利 用 公 式 |a|2 a2， 将 模 的运 算 转 化 为 向 量 的 数 量 积 的 运 算 .3.利 用 向 量 垂 直 或 平 行 的 条 件 构 造 方 程 或 函 数 是 求参 数 或 最 值 问 题 常 用 的 方 法 与 技 巧 . 失 误 与 防 范 1.数 量 积 运 算 律 要 准 确 理 解 、 应 用 ， 例 如 ， abac(a 0)不 能 得 出 b c， 两 边 不 能 约 去 一 个 向 量 .2.两 个 向 量 的 夹 角 为 锐 角 ， 则 有 ab0， 反 之 不 成 立 ；两 个 向 量 夹 角 为 钝 角 ， 则 有 ab0， 反 之 不 成 立 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1011.若 向 量 a， b满 足 |a| |b| |a b| 1， 则 ab的 值 为 .解析依 题 意 得 (a b)2 a2 b2 2ab 2 2ab 1， 3 4 5 6 7 8 9 101 22.已 知 向 量 a (1， )， b ( 1,0)， 则 |a 2b| .解析|a 2b|2 a2 4ab 4b2 4 4 1 4 4， |a 2b| 2. 2 2 4 5 6 7 8 9 101 33.已 知 在 三 角 形 ABC中 ， AB 2， AC 3， BAC ， 若D为 BC的 三 等 分 点 (靠 近 点 B一 侧 )， 则 的 取 值 范 围为 . 2 4 5 6 7 8 9 101 3 2 3 5 6 7 8 9 101 44.向 量 与 向 量 a ( 3,4)的 夹 角 为 ， | | 10， 若 点 A的 坐标 是 (1,2)， 则 点 B的 坐 标 为 .又 A(1,2)， B点 坐 标 为 (7， 6).(7， 6) 5.(2013福 建 改 编 )在 四 边 形 ABCD中 ， (1,2)， ( 4,2)，则 该 四 边 形 的 面 积 为 .2 3 4 6 7 8 9 101 55 2 3 4 5 7 8 9 101 66.(2014北 京 )已 知 向 量 a， b满 足 |a| 1， b (2,1)， 且 a b 0( R)， 则 | .解析 a b 0， a b， 2 3 4 5 6 8 9 101 77.(2013课 标 全 国 )已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， E为 CD的中 点 ， 则 .2 2 3 4 5 6 9 101 7 88.已 知 a (2， 1)， b (， 3)， 若 a与 b的 夹 角 为 钝 角 ， 则 的 取 值 范 围 是 .解析由 ab0， 即 2 30，且 6. 2 3 4 5 6 7 8 101 99.已 知 |a| 4， |b| 3， (2a 3b)(2a b) 61.(1)求 a与 b的 夹 角 ；解由 (2a 3b)(2a b) 61，解 得 ab 6. 2 3 4 5 6 7 8 101 9(2)求 |a b|和 |a b|.解|a b|2 a2 2ab b2 13，|a b|2 a2 2ab b2 37. 2 3 4 5 6 7 8 91 1010.已 知 ABC的 内 角 为 A、 B、 C， 其 对 边 分 别 为 a、 b、 c， B为 锐 角 ， 向 量 m (2sin B， )， n (cos 2B,2cos 2 1)，且 m n. 2 3 4 5 6 7 8 91 10(2)如 果 b 2， 求 S ABC的 最 大 值 . 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 又 O为 ABC的 外 心 ， AO为 BC的 中 垂 线 ，1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案51 2 3 4 5 即 动 点 D的 轨 迹 为 以 点 C为 圆 心 的 单 位 圆 .1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.已 知 向 量 p (2sin x， cos x)， q ( sin x,2sin x)， 函数 f(x) pq.(1)求 f(x)的 单 调 递 增 区 间 ；1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
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