线性代数课件第2章矩阵

课 件 1 第 2章 矩 阵 2.1 矩 阵 的 概 念 课 件 2 2.1.1矩 阵 的 定 义 定 义 1 由 个 数 按 一 定 顺 序 排 成 行 列 的 数 表称 为 一 个 行 列 矩 阵 ， 简 称 矩 阵 ， 记 为或 ， 其 中 表 示 位 于 第 行 第 列 的 数 ,称 为 的 元 素 （ 或 元 ） ， 所 以 矩 阵 也 可 以 简记 为 或 m n ( 1,2, , , 1,2, , )ija i m j n m n11 12 121 22 2 1 2 nnm m mna a aa a aA a a a A m nA ija i j( )ija ( )ij m na m n m nA m n 课 件 3 2.1.2 几 种 特 殊 形 式 的 矩 阵 （ 1） 行 矩 阵 当 时 ， 即 只 有 一 行 的 矩 阵或称 为 行 矩 阵 或 行 向 量 （ 2） 列 矩 阵 当 时 ， 即 只 有 一 列 的 矩 阵称 为 列 矩 阵 或 列 向 量 1m1 2( )nA a a a= L1 2( , , , )nA a a a= L1n mbbbB 21 课 件 4 （ 3） 零 矩 阵 所 有 元 素 全 为 零 的 矩 阵 称 为 零矩 阵 ， 记 为 例 如 ， 的 零 矩 阵 可 记 为 （ 4） 方 阵 行 数 和 列 数 都 等 于 的 矩 阵 ， 称为 阶 矩 阵 或 阶 方 阵 ， 记 为 ， O m n0 0 00 0 00 0 0m nO nnAn n 课 件 5 即 其 中 元 素 称 为 阶 方 阵 的 主 对 角元 素 ， 过 元 素 的 直 线 称 为 阶 方 阵的 主 对 角 线 （ 5） 阶 对 角 阵 非 主 对 角 元 素 全 为 零 的 阶 方阵 称 为 阶 对 角 矩 阵 ， 即 11 12 121 22 21 2 nnn n n nna a aa a aA A a a a 11 22, , , nna a a n11 22, , , nna a a nn nn 0 ( ; , 1,2, , ) ija i j i j n 课 件 6 记 为 1 21 2 0 00 0diag( , , , ) 0 0n na aa a a a 或 1 2 na a a 其 中 未 写 出 的 元 素 全 为 零 课 件 7 （ 6） 阶 单 位 矩 阵 主 对 角 元 素 全 为 1， 其 余元 素 全 为 零 的 阶 方 阵 称 为 阶 单 位 矩 阵 ，即 且 记 为或 n1( 1,2, , )iia i n 0 ( ; , 1,2, , ), ija i j i j nn n1 0 00 1 00 0 1 nE E 1 1 1 课 件 8 （ 7） 阶 数 量 矩 阵 主 对 角 元 素 等 于 同 一 个数 的 阶 对 角 阵 ， 称 为 阶 数 量 矩 阵 ， 记 为 或k 0 00 00 0k kkE k k k k nn n 课 件 9 2.2 矩 阵 的 运 算 课 件 10 2.2.1 矩 阵 的 线 性 运 算 1 矩 阵 的 加 法 定 义 2 两 个 的 同 型 矩 阵 和 的对 应 元 素 相 加 ， 所 得 的 矩 阵 称 为 矩 阵 与的 和 ,记 为 ， 即m n ( )ijA a= ( )ijB b= AB C A B= + m nC A B= + 11 11 12 12 1 121 21 22 22 2 21 1 2 2 n nn nm m m m mn mna b a b a ba b a b a ba b a b a b( ) ij ija b= + 课 件 11 例 1 设 则 而 无 意 义 3 0 5 ,1 4 7A 3 1 2 ,4 3 5B 12 .3C 1275 316573441 251033BA CA 课 件 12 2 数 与 矩 阵 的 乘 法 定 义 3 用 数 乘 以 矩 阵 的 所 有 元 素 ，所 得 的 矩 阵 称 为 数 与 矩 阵 的 数 乘 矩阵 ， 简 称 数 乘 ， 记 为 ， 即 当 时 ， 称 为 矩 阵 的 负 矩 阵 ，显 然 有 m n AAm n A11 12 1 21 22 21 2 nnm m mna a aa a aA a a a 1 A- = ( )ija-( )A A O+ - = A 课 件 13 所 以 矩 阵 的 减 法 可 定 义 为 矩 阵 的 加 法 和 数 与 矩 阵 的 乘 法 统 称 为 矩 阵 的 线性 运 算 ， 其 运 算 规 律 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） ； （ 6） ( )A B A B- = + - A B B A ( ) ( )A B C A B C A O A+ =( ) ( )A A ( )A A A ( )A B A B 课 件 14 例 2 设且 ， 求 矩 阵 解 在 等 式 两 端 同 加 上 ， 得3 2 ,1 5 A 11 12 7B 3 2A X B X 3A3 2A X B 11 1 3 22 3 32 7 1 5X B A 11 1 9 6 2 72 7 3 15 5 8 课 件 15 上 式 两 端 同 乘 ， 得12 712 71 25 8 52 42X 课 件 16 2.2.2 矩 阵 与 矩 阵 相 乘 定 义 4 设 是 一 个 矩 阵 ， 是 一 个 矩 阵 ， 则 规 定 与 的 乘 积 是 一 个矩 阵 ， 其 中记 为 ( )ijA a m l ( )ijB bl n A B m n( )ijC c 1 1 2 21 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij i j i j il ljl ik kjkc a b a b a ba b i m j nC AB= 课 件 17 例 3 设 矩 阵求 乘 积 解 1 0 1 ,1 1 3A 113 121 430BAB 0 3 41 0 1 1 2 11 1 3 3 1 1C AB 314323910 104103300 6210 523 课 件 18 例 4 设 矩 阵 ，求 及 解 21 42A 63 42BAB BA 168 321663 4221 42AB 00 0021 4263 42BA 课 件 19 例 5 设 ， 求 与 解 1 2( )nA a a a T1 2( , , , )nB b b b AB BA 121 2 1 1 2 2( )n n nnbbAB a a a ab a b a bb 1n i ii ab12 1 2( )nnbbBA a a ab ， nnnn nnababab ababab ababab 21 22212 12111 课 件 20 矩 阵 乘 法 的 运 算 规 律 （ 假 设 运 算 都 是 可 行的 ） ： （ 1） 结 合 律 ： （ 2） 分 配 律 ： （ 3） 对 任 意 数 有 （ 4） 设 是 矩 阵 ， 则 ， 或 简 记 为 即 单 位 矩 阵 是 矩 阵 乘 法 的 单 位 元 ， 作 用 类 似于 乘 法 中 的 数 1 ( ) ( )AB C A BC( ) ,( )AB C AB AC B C A BA CA ( ) ( ) ( )AB A B A B A m n m m n m nE A A m n n m nA E A EA AE A 课 件 21 定 义 5 方 阵 的 次 幂 定 义 为 个 方 阵 连乘 ， 即 其 中 为 正 整 数 ， 规 定 ， 其 运 算 规 律 ： （ 1） ； （ 2） 为 正 整 数 因 为 矩 阵 乘 法 不 满 足 交 换 律 ， 所 以 两 个 阶 方阵 与 ， 一 般 来 说A nnnA A A A 个n 0A E n Ak l k lA A A ( ) ( , k l klA A k l ) nA B( )k k kAB A B 课 件 22 2.2.3 矩 阵 的 转 置 定 义 6 将 矩 阵 的 行 换 成 同 序 数 的列 ， 所 得 的 矩 阵 称 为 的 转 置 矩 阵 ， 记为 或 ， 即其 运 算 规 律 ： （ 1） ；m n ( )ijA an m ATA A 11 21 1 12 22 2T 1 2 mmn n mna a aa a aA a a a T T( )A A ； 课 件 23 （ 2） ； （ 3） ； （ 4） 例 6 已 知 求 解 法 1 因 为 T T T( )A B A B T T( )A A T T T( )AB B A 102 324 171,231 102 BA T( )AB 101317 3140102 324 171231 102AB 课 件 24 所 以 解 法 2 T 0 17( ) 14 133 10AB T T T( )AB B A 103 1314 17021 30 12131 027 241 课 件 25 定 义 7 设 为 阶 方 阵 ， 若 满 足 ， 则称 为 对 称 矩 阵 ， 即 其 特 点 是 ： 关 于 主 对 角 线 对 称 的 元 素 相 等 若 满 足 ， 则 称 为 反 对 称 矩 阵 ， 即 ， 当 时 ， ，其 特 点 是 ： 关 于 主 对 角 线 对 称 的 元 素 相 反 ， 主对 角 线 上 的 元 素 全 为 零 A n TA AA ),2,1,( njiaa jiij TA A A ij jia a i j 0iia 课 件 26 2.2.4 方 阵 的 行 列 式 定 义 8 由 阶 方 阵 的 所 有 元 素 （ 位 置 不 变 ）构 成 的 行 列 式 ， 称 为 方 阵 的 行 列 式 ， 记 为 或 ， 即 其 运 算 规 律 ： （ 1） （ 行 列 式 性 质 1） ； （ 2） 为 阶 方 阵 ） ； （ 3） n AA det A AA 11 12 1 21 22 21 2det nnn n nna a aa a aA a a a TA A nA A (A nAB A B BA 课 件 27 2.2.5 共 轭 矩 阵 当 为 复 矩 阵 时 ， 用 表 示 的 共 轭 复数 ， 记 ， 称 为 的 共 轭 矩 阵 其 运 算 规 律 （ 设 ， 为 复 矩 阵 ， 为 复 数 ， 且运 算 都 是 可 行 的 ） ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） )( ijaA ija ija( )ijA a A AA B BABA AA BAAB 课 件 282.3 逆 矩 阵 课 件 29 2.3.1 逆 矩 阵 的 定 义 及 性 质 定 义 9 设 为 阶 方 阵 ， 若 存 在 阶 方 阵 ，使 ， 则 称 方 阵 可 逆 ， 为 的逆 矩 阵 若 可 逆 ， 则 的 逆 矩 阵 是 惟 一 的 可 逆 矩 阵 的 性 质 ： (1) 若 可 逆 ， 则 其 逆 阵 也 可 逆 ， 且 （ 2） 若 可 逆 ， 则 也 可 逆 ， 且 A n BAB BA E nA B AA AA 1A1 1( )A A T 1 1 T( ) ( )A A A TA 课 件 30 （ 3） 若 可 逆 ， 为 非 零 常 数 ， 则 也 可 逆 ，且 （ 4） 若 ， 为 同 阶 可 逆 阵 ， 则 也 可 逆 ，且 A A1 11( ) ( 0)A A ；B 1 1 1( )AB B A A AB 课 件 31 2.3.2 方 阵 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 及 的 求 法 定 义 10 设 阶 方 阵 由 的 行 列 式 的 所 有 元 素 的 代 数 余 子 式 所 构成 的 阶 方 阵称 为 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 . A 1An 11 12 121 22 21 2 nnn n nna a aa a aA a a aA ijAn nnnn nnAAA AAA AAAA 21 22212 12111* 课 件 32 定 理 1 设 是 阶 方 阵 ， 为 的 伴 随 矩 阵 ，则定 理 2 阶 方 阵 可 逆 ， 且 推 论 若 ， 则 A n *AEAAAAA * AA 0A 1 *1A AA n )( EBAEAB 1 AB 课 件 33 例 1 设判 断 是 否 可 逆 ， 若 可 逆 ， 求 解 因 为 502 613 803AA 1A 01 52 831502 613 803 A 课 件 34 所 以 可 逆 ， 又 因 为 有 A 861 80,050 80,550 61 312111 AAA 663 83,152 83,352 63 322212 AAA 313 03,002 03,202 13 332313 AAA 302 613 805*A 课 件 35 所 以 例 2 设求 矩 阵 ， 使 满 足 .解 若 ， 存 在 ， 则 用 左 乘 上 式 ， 右 乘 上 式 ， *1 1 AAA 302 613 805302 613 80511,502 613 803 A ,35 12 B 13 02 31C X CAXB1A 1B 1A1B 课 件 36 有即 由 例 1知 ， 可 逆 ， 且又 因 ， 也 可 逆 ， 且1 1 1 1 1 1( )A AXBB A AXB B A CB 11 CBAX A 302 613 8051A01B B 25 131B 课 件 37 所 以 11 CBAX 25 1313 02 31302 613 805 712 76 172825 13911 1523 2329 课 件 382.4 分 块 矩 阵 课 件 39 2.4.1 分 块 矩 阵 的 概 念 设 是 矩 阵 ， 用 若 干 条 横 线 和 竖 线 将矩 阵 分 成 若 干 个 小 块 ， 每 一 小 块 作 为 一 个 小 矩阵 ， 称 为 的 子 块 （ 或 子 矩 阵 ） ， 在 进 行 矩 阵运 算 时 ， 可 以 将 的 每 一 个 子 块 作 为 一 个 元素 ， 这 种 以 子 块 为 元 素 的 形 式 上 的 矩 阵 称 为 分块 矩 阵 A m nA A 课 件 40 2.4.2 分 块 矩 阵 的 运 算1.分 块 矩 阵 的 线 性 运 算 分 块 矩 阵 的 加 法 设 与 为 同 型 矩 阵 ， 且 以 相 同 的 方 式 分 块 ，即其 中 与 也 是 同 型 矩阵 ， 则 A B 11 1 11 11 1, s sr rs r rsA A B BA BA A B BijA ijB ( 1,2, , ; 1,2, , ) i r j s11 11 1 1 1 1 s sr r rs rsA B A BA B A B A B 课 件 41 数 与 分 块 矩 阵 的 乘 法 设 为 数 ， 则 11 11 sr rsA AA A A 11 11 sr rsA AA A A 课 件 42 2.分 块 矩 阵 的 乘 法 设 为 矩 阵 ， 为 矩 阵 ， 若 它 们的 分 块 矩 阵 分 别 为其 中 子 块 的 列 数 分 别 等于 子 块 的 行 数 ， 即 矩 阵 的 列 的 分 法 与 矩 阵 的 行 的 分 法 一 致 ， 则A m l B l n11 1 11 1 1 1, t rs st t trA A B BA BA A B B1 2, , , ( 1,2, , ) i i itA A A i s1 2, , , ( 1,2, , ) j j tjB B B j r AB11 1 1 rs srC CAB C C 课 件 43 其 中 例 1 设求 1 1 2 2 1 tij i j i j it tj ik kjkC A B A B A B A B( 1,2, , ; 1,2, , ).i s j r 1 0 0 0 1 0 1 00 1 0 0 1 2 0 1,1 2 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 2 0 A BAB 课 件 44 解 将 、 分 块 成A B 11 0 0 00 1 0 01 2 1 01 1 0 1 E OA A E 1121 221 0 1 01 2 0 11 0 4 11 1 2 0 B EB B B 课 件 45 11 111 21 22 1 11 21 1 22E O B E B EAB A E B B A B B A B 1 11 21 1 2 1 0 1 0 2 41 1 1 2 1 1 1 1AB B 1 22 1 2 4 1 3 31 1 2 0 3 1A B 1 0 1 0 1 0 1 01 2 0 1 1 2 0 12 4 3 3 2 4 3 31 1 3 1 1 1 3 1AB 课 件 46 3.分 块 矩 阵 的 转 置 设 则4 分 块 对 角 阵 及 其 运 算设 为 阶 方 阵 ， 若 的 分 块 矩 阵 的 主 对 角 元 素为 非 零 子 块 ， 其 余 子 块 均 为 零 子 块 ， 且 非 零 子块 均 为 方 阵 ， 11 11 ,rs srA AA A A T T11 1 T T T1 sr srA AA A A A n A 课 件 47 或其 中 为 方 阵 ， 则 称 为 分 块 对角 阵 分 块 对 角 阵 的 行 列 式 与 各 主 对 角 块 的 行 列式 满 足 ： 1 2 sA O OO A OA O O A 1 2 sA AA A ( 1,2, , ) iA i s A1 2 sA A A A 课 件 48 由 此 可 知 ， 若 ， 则 ，并 有 或 0 ( 1,2, , )iA i s 0A 11 11 2 1sA O OO A OA O O A 11 11 2 1sA AA A 课 件 49 例 2 设求 解 将 按 元 素 特 征 分 块 为其 中 5 0 00 3 10 2 1A 1A A 1 25 0 00 3 10 2 1 A OA O A 11 1 15, ,5A A 12 23 1 1 1,2 1 2 3A A 课 件 50 所 以 1 1 0 0 1 0 05 50 1 1 0 1 10 2 30 2 3A 课 件 512.5 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 课 件 52 2.5.1 矩 阵 的 初 等 变 换 1 初 等 行 （ 列 ） 变 换 定 义 11 下 列 三 种 变 换 称 为 矩 阵 的 初 等 行 变换 ：（ 1） 对 换 变 换 ： 对 换 矩 阵 的 某 两 行 （ 对 换 两 行 ， 记 为 ） ；（ 2） 数 乘 变 换 ： 非 零 数 乘 矩 阵 某 行 的 所 有元 素 （ 第 行 乘 ， 记 为 ） ；（ 3） 倍 加 变 换 ： 将 矩 阵 的 某 一 行 所 有 元 素 的 倍 加 到 另 一 行 对 应 元 素 上 （ 第 行 的 倍 加到 行 上 ， 记 为 ） ,i j i jr r ki ik rk kj ki i jr kr 课 件 53 若 将 上 述 定 义 中 的 “ 行 ” 换 成 “ 列 ” ， 即 对 矩阵 的 列 施 行 上 面 三 种 变 换 ， 就 称 为 矩 阵 的 初 等列 变 换 ， 相 应 的 初 等 列 变 换 分 别 记 ， ， 2 初 等 变 换 矩 阵 的 初 等 行 变 换 和 初 等 列 变 换统 称 为 矩 阵 的 初 等 变 换 3 等 价 关 系 如 果 矩 阵 经 过 有 限 次 初 等 变 换化 为 矩 阵 ， 则 称 与 等 价 ， 记 为 矩 阵 的 等 价 具 有 以 下 性 质 ： （ 1） 自 反 性 ： ； （ 2） 对 称 性 ： 若 则 ； （ 3） 传 递 性 ： 若 ， ， 则 i jc cik c i jc kcB A A BA B A A A BB A B C .A CA B 课 件 54 4 特 殊 矩 阵（ 1） 行 阶 梯 形 矩 阵 如 果 矩 阵 中 元 素 全 为 零 的行 在 最 下 面 ， 而 非 零 行 中 非 零 元 素 自 上 而 下 逐行 减 少 并 呈 阶 梯 状 ， 称 此 矩 阵 为 行 阶 梯 形 矩 阵 （ 2） 行 最 简 形 矩 阵 若 行 阶 梯 形 矩 阵 中 的 非 零行 的 第 一 个 非 零 元 素 为 1， 且 1所 在 列 的 其 它 元 素全 为 零 ， 称 此 行 阶 梯 形 矩 阵 为 行 最 简 形 矩 阵 （ 3） 若 矩 阵 的 左 上 角 为 一 个 阶 单 位 阵 ，其 余 元 素 全 为 零 ， 即m n r r m nE OO O 课 件 55 称 此 矩 阵 为 标 准 形 矩 阵 ， 它 由 三 个 数惟 一 确 定 ， 其 中 为 标 准 形 矩 阵 中 非 零 行 的 行数 , ,m n rr 课 件 56 2.5.2 初 等 矩 阵 定 义 12 单 位 矩 阵 经 一 次 初 等 变 换 所 得 的 矩阵 称 为 初 等 矩 （ 方 ） 阵 三 种 初 等 行 变 换 对 应 的 三 种 初 等 矩 阵 分 别 为 ：（ 1） 或 ： 交 换 的 两 行 （ 列 ） 所 得的 矩 阵 ， 即( , )E i j ijE E ,i j1 1 0 11 ( , ) 11 0 1 1ij ijE i j E 第 行第 行 课 件 57 （ 2） 或 ： 的 第 行 （ 列 ） 乘 非 零数 所 得 的 矩 阵 ， 即（ 3） 或 ： 的 第 行 乘 加 到 第行 （ 第 列 乘 加 到 第 列 ） 所 得 的 矩 阵 ， ( ( )E i k ( )iE k E ik 1 1( ( ) ( ) 1 1 i iE i k E k k 第 行( , ( )E i j k ( )ijE k E j k ii k j 课 件 58 即 初 等 矩 阵 都 是 可 逆 的 ， 其 逆 矩 阵 仍 是 同 种 初等 矩 阵 ， 即 1 1( , ( ) ( ) 1 1ij ikE i j k E k j 第 行第 行 1( , ) ( , );E i j E i j 1 1( ( ) ( ( );E i k E i k 1( , ( ) ( , ( ).E i j k E i j k 课 件 59 定 理 3 设 为 矩 阵 ， 对 施 行 一 次 初 等行 变 换 ， 相 当 于 在 的 左 边 乘 以 相 应 的 阶 初等 矩 阵 ； 对 施 行 一 次 初 等 列 变 换 ， 相 当 于 在的 右 边 乘 以 相 应 的 阶 初 等 矩 阵 定 理 4 若 为 矩 阵 ， 则 存 在 阶 初 等 矩 阵 与 阶 初 等 矩 阵 ， 使得推 论 1 阶 可 逆 阵 必 等 价 于 单 位 矩 阵 推 论 2 若 方 阵 可 逆 ， 则 存 在 有 限 个 初 等 矩阵 ， 使 A m n A mnAAA 1 2, , , sP P P 1 2, , , tQ Q QA m n mn1 1 1 1 rs s t t E OPP PAQ Q Q O O nEn A 1 2, , , lP P P 1 2 lA PP P A 课 件 60 推 论 3 矩 阵 存 在 阶 可 逆 阵 和 阶 可 逆 阵 ， 使 用 初 等 列 变 换 也 可 求 逆 矩 阵 ， 即 例 1 设 求 m n A B m Pn Q PAQ B1A EE A 有 限 次 初 等 列 变 换1 2 32 2 1 3 4 3A 1A 例 16 设 课 件 61 解 22 133 11 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 02 2 1 0 1 0 0 2 5 2 1 03 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1r rr rA E 21 31 2 53 2 2 31 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 20 2 5 2 1 0 0 2 0 3 6 50 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1r rr rr r r r 2 ( 2)( 1)3 1 0 0 1 3 23 50 1 0 32 20 0 1 1 1 1rr 课 件 62 所 以 1 1 3 23 532 21 1 1A 课 件 63 例 2 求 矩 阵 ， 使 ， 其 中 解 若 可 逆 ， 则 X AX B4 1 22 2 1 ,3 1 1A 1 32 2 .3 1B A 1X A B 1 34 1 2 1 3 1 0 1 2 22 2 1 2 2 2 2 1 2 23 1 1 3 1 3 1 1 3 1r rA B 2 32 1 3 1 2 3223 1 0 1 2 2 1 0 1 2 20 2 3 6 6 0 1 2 9 50 1 2 9 5 0 0 1 12 4r rr rr r r r 课 件 64 1 32 332( 1) 1 0 0 10 20 1 0 15 30 0 1 12 4r rr rr 所 以 10 215 312 4X 课 件 652.6 矩 阵 的 秩 课 件 66 2.6.1 矩 阵 秩 的 定 义 定 义 13 设 为 矩 阵 ， 在 中 任 取 行 和列 ， 位 于 这 行 列 交 叉位 置 上 的 个 元 素 ， 按 原 有 的 位 置 构 成 的 阶 方阵 ， 称 为 矩 阵 的 一 个 阶 子 方 阵 ， 其 行 列 式称 为 的 一 个 阶 子 式 定 义 14 设 矩 阵 中 ， 有 一 个 阶 子 式 不等 于 零 ， 而 所 有 阶 子 式 （ 如 果 存 在 ） 全 等于 零 ， 则 称 为 矩 阵 的 最 高 阶 非 零 子 式 ， 称数 为 矩 阵 的 秩 ， 记 为 并 规 定 零 矩阵 的 秩 为 零 Am nA(1 min , )k m n k2kk Ak k kA kA k 1rD r ( )R A rm n AD Ar A 课 件 67 2.6.2 矩 阵 秩 的 性 质 （ 1） 设 为 矩 阵 ， 则 ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） ，其 中 为 矩 阵 ， 为 矩 阵 A m n ( ) min , R A m nT( ) ( )R A R A( ) ( ) ( 0)R kA R A k ( ) ( ) ( )R A B R A R B ( ) ( ) ( ) min ( ), ( )R A R B k R AB R A R B A m k B k n 课 件 68 2.6.3 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩 定 理 5 若 ， 则 推 论 1 若 为 阶 可 逆 矩 阵 ， 则 推 论 2 若 则 推 论 3 设 为 矩 阵 ， 、 分 别 为 阶 和 阶满 秩 矩 阵 ， 则 A B ( ) ( )R A R BA n 1( ) ( )R A R A n rE OA O O ( )R A r A Am n B C m n推 论 3 设为( ) ( );R BA R A ( ) ( );R AC R A ( ) ( ).R BAC R A 课 件 69 例 设 求 矩 阵 的 秩 解 将 施 行 初 等 行 变 换 化 为 行 阶 梯 形 矩 阵 ： 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4A AA 1 42 43 14 1233 2 0 5 0 1 6 4 1 43 2 3 6 1 0 4 3 1 12 0 1 5 3 0 12 9 7 111 6 4 1 4 0 16 12 8 12r rr rr rr rA 课 件 70 3 2 4 34 234 1 6 4 1 4 1 6 4 1 40 4 3 1 1 0 4 3 1 10 0 0 4 8 0 0 0 4 80 0 0 4 8 0 0 0 0 0r r r rr r 所 以 .3)( AR 课 件 71 （ 8） 阶 三 角 阵 阶 上 三 角 阵 和 阶 下 三 角阵 统 称 为 阶 三 角 阵 上 三 角 阵 主 对 角 线 下 方 的 元 素 全 为 零 的 阶方 阵 ， 即 ， 称 为 上 三角 形 矩 阵 ， 简 称 上 三 角 阵 ， 记 为 或 n n nn 0( ; , 1,2, , )ija i j i j n n 11 12 122 200 0 nnnna a aa aa 11 12 122 2nn nna a aa aa 课 件 72 下 三 角 阵 主 对 角 线 上 方 的 元 素 全 为 零 的 阶 方 阵 ， 即 ， 称 为 下三 角 形 矩 阵 ， 简 称 下 三 角 阵 ， 记 为 或 n0( ; , 1,2, , )ija i j i j n 1121 22 1 20 00n n nnaa aa a a 1121 221 2n n nnaa aa a a 课 件 73 （ 9） 同 型 矩 阵 矩 阵 的 行 数 （ 列 数 ）等 于 矩 阵 行 数 （ 列 数 ） ， 称 和 是 同 型矩 阵 （ 10） 相 等 矩 阵 若 与 是 同 型 矩阵 ， 且则 称 与 相 等 ， 记 为 注 意 ： 不 同 型 的 零 矩 阵 是 不 相 等 的 ( )ijA a=( )ijB b= A B( 1,2, , ; 1,2, , ) ij ija b i m j n= = =L L( )ijA a= ( )ijB b=A B A B=