171定积分在几何中的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第一章 导数及其应用,1.7.1,定积分在几何中的应用,1,、定积分的几何意义：,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积。,x,y,O,a,b,y,f,(,x,),=-,S,当,f,(,x,),0,时，由,y,f,(,x,),、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,一、复习引入,如果,f(x),是区间,a,，,b,上的连续函数，且,F(x)=f(x),，那么,:,2.,微积分基本定理：,类型,1,：,求由一条曲线,y=f(x),和直线,x=a,x=b(ab),及,x,轴所围成平面图形的面积,S,(2),x,y,o,a,b,c,(3),(1),x,y,o,1.,几种典型的平面图形面积的计算：,二、新课讲解,类型,2,：,由两条曲线,y=f(x),和,y=g(x),，直线,x=a,x=b(ab),所围成平面图形的面积,S,y,x,o,b,a,(2),(1),例题讲解,分析：首先画出草图,.,从图中可以看出，所求,图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的,差，进而可以用定积分求面积,s.,为了确定出,被积函数和积分的上、下限，我们需要求,出两条曲线的交点的横坐标,.,解,:,作出,y,2,=x,y=x,2,的图象如图所示,:,即两曲线的交点为,(0,0),(1,1),o,x,y,A,B,C,D,O,(1),作出示意图,;(,弄清相对位置关系,),(2),求交点坐标，确定图形范围,(,积分的上限,下限,),(3),写出平面图形的定积分表达式；,2.,求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤,:,(4),运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。,例,2.,计算由曲线 直线,y=x-4,以及,x,轴围成图形,的,面积,S.,解,:,作出,y=x-4,的图象如图所示,:,解方程组：,得：直线,y=x-4,与 交点为,(8,，,4),直线,y=x-4,与,x,轴的交点为,(4,，,0),因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：,本题还有其他解法吗？,另解,1,：,将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。,还需要把函数,y=x-4,变形为,x=y+4,，函数 变形为,S,1,S,2,另解,2,：,将所求平面图形的面积看成位于,y,轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取,y,为积分变量，,思考：,将曲线沿,x,轴旋转，与直线相交于一点，求曲线与直线围成的面积。,A,B,S2,S1,S1,解法,1,：,A,B,解法,2,：,思考：,将取,y,为积分变量，把函数,y=x-4,变形为,x=y+4,，函数 变形为,1.,思想方法,:,数形结合及转化,.,2,.,求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤,:,(1),作出示意图,;(,弄清相对位置关系,),(2),求交点坐标，确定图形范围,(,积分的上限,下限,),(3),写出平面图形的定积分表达式；,(4),运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。,课堂小结,练习,1.,求抛物线,y=x,2,-1,，直线,x=2,，,y=0,所围,成的图形的面积。,y,x,解：,如图：由,x,2,-1=0,得到抛物线与,x,轴的交点坐标是,(-1,0),，,(1,0).,所求面积如图阴影所示：,所以：,课堂练习,x,y,练习,2.,求抛物线,y=x,2,+2,与直线,y=3x,和,x=0,所围成的图形的面积。,解：,