第三章动量和角动量课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 动量与角动量,（Momentum and Angular Momentum）,1,第三章 动量与角动量 （Momentum and,力在时间上的积累,效应：,平动,冲量,动量的改变,转动,冲量矩,角动量的改变,力在空间上的积累,效应,功,改变能量,在有些问题中，,如：碰撞（宏观）、散射（微观），我们往往只关心过程中力的效果,力对时间和空间的积累效应。,牛顿定律是瞬时的规律。,能量、动量和角动量是最基本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。,本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应用。下一章讨论能量。,2,力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改,二、动量定理,牛顿第二定律,质点的动量定理：,一、冲量,积分形式,微分形式,力的时间积累,合外力的冲量方向和受力质点的动量的增量方向一致,3.1 冲量与动量定理,3,二、动量定理牛顿第二定律质点的动量定理：一、冲量积分形式微,碰撞：,两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续,一个极短暂的时间。,特点,物体间的相互作用是突发性，,持续时间极短,内力外力,。,作用力峰值极大，碰撞符合,动量守恒定律,。,碰撞过程中物体会产生,形变,。,直角坐标系:,动量定理常,用于碰撞过程,4,碰撞：两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续 特点直角坐,碰撞过程的平均冲击力：,t,0,0,t,F,m,F,I,F,不足以完全说明碰撞所可能引起的破坏性,5,碰撞过程的平均冲击力：t00tFmFIF不足以完全说明碰撞所,例已知：,一篮球质量,m,= 0.58kg,，,从,h,=2.0m的高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间,t,= 0.019s。,求：,篮球对地的平均冲力,解：,篮球到达地面的速率,因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。,重力、阻力的冲量可以忽略。,y,v,0,v,6,例已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h=2.0m的,例,3.2,质量,m,=140,g,的垒球以速率,v,= 40m/s,沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿,q=,60,的仰角飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为,t,=1.2 ms,。,60,o,v,2,v,1,7,例3.2 质量m =140g的垒球以速率 v = 40m/s,mv,1,60,o,mv,2,mg,t,打击力冲量,F,t,F,t,合力冲量,8,mv160omv2mg t打击力冲量F tF t合力,平均打击力约为垒球自重的,5900,倍！,在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。,F,t,mv,1,60,o,mv,2,30,o,m,=140g,a,=30,9,平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过程中，物体之间的,2005年7月4日，美国发射的 “深度撞击”号探测器携带的重372千克的铜头“炮弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗星（TEMPEL1）的彗核相撞。,“,炮轰,”,彗星,据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象,。,10,2005年7月4日，美国发射的 “深度撞击”号探测器携带的重,科学家认为，彗星,含有太阳系形成早期的冰冻残留物,。他们希望深入彗星内部的研究将使他们能够了解太阳系形成早期40多亿年前的情况，并加深对太阳系起源的进一步了解。,天文学家们将组织一场国际规模的观测，以期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇航局还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望远镜，在撞击时和撞击后锁定“坦普尔一号”进行观测。,美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。,11,科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的冰冻残留物。他们希望深入,1、两个质点的系统 质点系（内力、外力）,一、,质点系的动量定理,内力：,外力：,3.2 动量守恒定律,12,1、两个质点的系统 质点系（内力、外力）一、质点系的动量定,13,13,2、,n,个质点的系统,由于内力总是成对出现，所以内力矢量和为零。,以,F,和,P,表示系统的合外力和总动量，上式可写为：,即:形式同单质点的动量定理。,注意: 内力可传递、,可改变各质点的动量,，但不改变系统的总动量。,14,2、n个质点的系统以F 和P表示系统的合外力和总动量，上式可,积分形式,微分形式,3、 质点系的动量定理,用质点系动量定理处理问题可避开内力。,系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。,15,积分形式微分形式3、 质点系的动量定理用质点系动量定理处理问,一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。,1、动量守恒定律,二、动量守恒定律,16,一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。,2、分量形式,当某个方向系统所受的合外力为零时，则在该方向上系统的动量守恒，即有,17,2、分量形式 当某个方向系统所受的合外力为零时，则在该方向上,3、,动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量,定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量若在某,一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。,1、,当外力内力，且作用时间极短时（如碰撞），,可认为动量近似守恒。,几点说明：,2、,若某个方向上合外力为零，,则该方向上动量守恒，,尽管总动量可能并不守恒。,4、,动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本,的定律,它在宏观和微观领域均适用。,5、,用守恒定律作题，应注意分析,过程、系统,和条件。,18,3、动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量 1、当外力,例：设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为,M,和,m,，炮弹的出口速度的大小为,v,，求炮车的反冲速度,V,，炮车与地面之间摩擦力略去不计。,解:把炮车和炮弹看成一个系统.发射前系统在竖直方向受外力：,重力，地面的支持力,.,19,例：设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮,在发射过程中垂直方向系统的动量是不守恒的,（,为什么？,）.忽略炮车与地面之间的摩擦力，则系统所受外力在水平方向的分量为零，炮弹与炮车间的作用力属系统内力，因而,系统沿水平方向的分动量守恒,。,20,在发射过程中垂直方向系统的动量是不守恒的（为什么？）.忽略炮,系统水平方向动量守恒,得炮车的反冲速度为,取炮弹前进时的水平方向为x轴正方向，那么炮弹出口速度（即炮弹相对于炮车的速度）沿x轴的分量是 ，炮车沿x轴的速度分量为 。,动量守恒定律中的各动量必须是对同一参考系而言的,，设炮弹相对于地面的速度为 ，其水平分量为,21,系统水平方向动量守恒得炮车的反冲速度为 取炮弹前进时的水平方,例2 一个静止的物体炸裂成三块。其中两块具有相等的质量，且以相同的速率30ms沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和，试求第三块的速度（大小和方向）。,解:将此三碎块作为一系统，爆炸时火药的作用力为系统的内力，且爆炸力远大于重力，故爆炸前后系统的动量守恒。物体的动量原等于零，故有,或,22,例2 一个静止的物体炸裂成三块。其中两块具有相等的质量，,因,由图中矢量关系可知,求得大小为,图中,角为,三者在同一平面内。,且,间的夹角为,23,因求得大小为图中角为三者在同一平面内。且,例3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点,h,19.6m,处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离,S,1,1000,米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，,g,=9.8m/s,2,),v,2,y,h,x,v,1,解：先求出爆炸点处水平方向上的初速度v,x,24,例3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h19.6m处炸裂,爆炸中系统动量守恒,v,2,y,h,x,v,1,爆炸点处竖直方向上的初速度v,y,为零,25,爆炸中系统动量守恒v2yhxv1爆炸点处竖直方向上的初速度v,第二块作斜抛运动,落地时，,y,2,=0,所以,t,2,=4s,(t,2,1s,舍去,）,x,2,=5000m,mv,1,/2,mv,2,/2,mv,x,26,第二块作斜抛运动落地时，y2=0 所以t2=4smv1/2,27,27,粘附 主体的质量增加（如滚雪球）,抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,低速（,v, c）情况下的两类变质量问题：,下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。,还有另一类变质量问题：在高速（,v,c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可,以随速度改变,m,=,m,(,v,)，,3.3 火箭飞行原理,28, 粘附 主体的质量增加（如滚雪球）低速（v ,条件：,燃料相对箭体以恒速,u,喷出,初态：,系统质量,M,，速度,v,(对地)，动量,M,v,火箭不受外力情形,（在自由空间飞行）,一、火箭的速度,系统：,火箭壳体 + 尚存燃料,总体过程：,i,(点火),f,(燃料烧尽),先分析一,微过程：,t,t,+d,t,v,u,29,条件：燃料相对箭体以恒速 u 喷出初态：系统质量 M，速度v,时刻,时刻,：,d,m,相对火箭体喷射速度，定值。,末态：,喷出燃料后,喷出燃料的质量：d,m,= - d,M,，,喷出燃料速度(对地)：,v,-,u,30,时刻时刻：dm相对火箭体喷射速度，定值。末态：喷出燃料后喷出,火箭壳体 +尚存燃料的质量：,M,- d,m,系统动量：,(,M,- d,m,)(,v,+ d,v,) +,- d,M,(,v,-,u,),火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：,v,+ d,v,由动量守恒，有,M,v,= - d,M,(,v,-,u,) +(,M,- d,m,)(,v,+ d,v,),经整理得：,M,d,v,= -,u,d,M,速度公式：,31,火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm系统动量： ( M,引入,火箭质量比：,得,讨论：,提高,v,f,的途径,(1)提高,u,（现可达,u,= 4.1 km/s）,(2)增大,N,（受一定限制）,为提高,N,，采用多级火箭（一般为三级）,v,=,u,1,ln,N,1,+,u,2,ln,N,2,+,u,3,ln,N,3,资料：,长征三号（三级大型运载火箭）,全长：43.25m， 最大直径：3.35m，,起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。,32,引入火箭质量比：得讨论：提高 vf 的途径为提高N，采用多级,t,+d,t,时刻：,速度,v,-,u,， 动量d,m,(,v,-,u,),由动量定理，d,t,内喷出气体所受冲量,二、火箭所受的反推力,研究对象：,喷出气体 d,m,t,时刻：,速度,v,(和主体速度相同)，,动量,v,d,m,F,箭对气,d,t,= d,m,(,v,-,u,) ,v,d,m,= -,F,气对箭,d,t,由此得火箭所受燃气的反推力为,33,t +dt 时刻：速度 v - u， 动量dm (v - u,一、,质心的概念,水平上抛三角板,运动员跳水,投掷手榴弹,为便于研究质点系总体运动，引入,质心,概念。,3.4 质心,34,一、质心的概念 水平上抛三角板 运动员跳,二、,质心位置的确定,质心代表质点系,质量分布的平均位置,，可以代表质,点系的平动，是相对于质点系本身的一个特定位置。,r,c,C,m,i,y,r,i,x,z,0,定义,质心,C,的位矢为：,表达式,各分量,35,二、质心位置的确定质心代表质点系质量分布的平均位置，可以代表,质量连续分布物体的质心,r,r,c,d,m,C,0,m,z,x,y,直角坐标系各分量,36,质量连续分布物体的质心rrcdmC0m zx y直角坐标系,说明:,1、物体(平均意义上)的质量分布中心，与物体质量,分布有关，与参考系无关;,2、区别于重心(重力合力的作用点)，均匀场中较小,物体，两者重合;,3、,均匀分布的物体其质心在几何中心；,4、,质心处不一定有质量；,5、,具有可加性 计算时可分解,37,说明:1、物体(平均意义上)的质量分布中心，与物体质量37,“,小线度”物体的质心和重心是重合的。,均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。,三,、几种系统的质心,两质点系统,m,2,m,1,r,1,r,2,C,m,1,r,1,= m,2,r,2,38,“小线度”物体的质心和重心是重合的。 均匀杆、圆盘、圆环,例3.9: 一段均匀铁丝弯成半径为,R,的半圆形，求此,半圆形铁丝的质心。,解：选如图坐标系，取长为,dl,的铁丝，质量为,dm,，,以,r,l,表示线密度，,dm=,r,l,dl,，由对称性知,质心应在,y,轴。,注意：质心不在铁丝上。,39,例3.9: 一段均匀铁丝弯成半径为 R 的半圆形，求此,例：求腰长为,a,的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。,解:建立如图的坐标系，显然由对称性,y,c,=0.在离原点处取宽为,dx,的窄条，其质量为,dm,质心坐标为,40,例：求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。解:建立如,例：,求,挖掉小圆盘后系统的质心坐标。,(作业),解：,由对称性分析，质心,C,应在,x,轴上。,令,s,为圆盘的面密度，则质心坐标为：,R,C,x,C,O,r,O,r,d,d,x,y,O,均质圆盘,挖空,41,例：求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。(作业)解：由对称性分析，,3.5,质心运动定理,一、质心速度与质点系的总动量,结论：,系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积。,质点系,总动量,42,3.5 质心运动定理一、质心速度与质点系的总,二、质心运动定理,质心运动定律：,作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。,质心运动定理,43,二、质心运动定理 质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系统,质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。在质点力学中所谓“物体”的运动，实际上是物体质心的运动。,说明,合外力,直接主导质点系的,平动,而质量中心最有资格代表质点系的平动只要,外力,确定，不管作用点怎样，,质心,的,加速度,就确定，质心的运动,轨迹,就确定，即质点系的,平动,就确定。,44,质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，该质点集中了整个,系统,内力,不会影响质心的运动，,例如：,在光滑水平面上滑动,的扳手，其质心做匀速直线运动;,做跳马落地动作的运,动员尽管在翻转，但其质心仍做抛物线运动,爆炸的焰火弹虽然碎片四散，,但其质心仍在做抛物线运动,45,系统内力不会影响质心的运动，例如：在光滑水平面上滑动的扳手，,三、,质心速度不变就是动量守恒,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,若合外力为零，,质点系动量守恒,则,若合外力分量为0，,质点系分动量守恒,则,相应的质心分速度不变,46,三、质心速度不变就是动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价,（自学）,质心参考系,c,质心,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到,质心系。,质心系,是固结在质心上的,平动,参考系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,质点系整体随质心的运动；,各质点相对于质心的运动 在质心系中,考察质点系的运动。,47,（自学）质心参考系 c质心讨论天体运动及碰撞等问题时常用到,分析力学问题时，利用质心系是方便的。,质心系的基本特征,m,1,v,10,m,2,v,20,m,1,v,1,m,2,v,2,质心系中看两粒子碰撞,两质点系统在其质心系中，总是具有,等值、反向,的动量。,质心系是,零动量系,48,分析力学问题时，利用质心系是方便的。质心系的基本特征m1v1,拉力,纸,C,球往哪边移动？,思考,49,拉力纸C球往哪边移动？思考49,例:质量为,m,1,和,m,2,的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为,l,。问他们将在何处相遇？,解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，水平方向动量守恒。,建立如图坐标系，以两个小孩连线中点为原点，设开始时他们的坐标分别为,x,10,、,x,20,，任一时刻的速度分别为,v,1,、,v,2,，坐标,x,1,、,x,2,。,50,例:质量为m1和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对,由运动学公式得,两者相遇时,x,1,=,x,2,于是有,或:,动量守恒:,51,由运动学公式得两者相遇时x1= x2于是有或:动量守恒:51,将上式代入:,即得:,结果表明：两小孩在内力作用下，将在他们共同的质心相遇。,代入上式得:,52,将上式代入:即得:结果表明：两小孩在内力作用下，将在他们共同,描述运动的重要物理量,又称,动量矩。,一、质点对定点的角动量,方向：垂直 组成的平面，,右手螺旋法则,3.6 质点的角动量和角动量定理,思路:与处理动量定理、动量守恒问题相同,L,m,O,p,r,单位:,kg m,2,/s,大小：,53,描述运动的重要物理量,又称动量矩。一、质点对定点的角动量 方,大小:,L,=,mvr,方向:,圆面,不变,L,质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量:,同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的,不同而改变。,方向变化,方向竖直向上不变,O,l,O,锥摆,m,54,大小: L = mvrL 质点作匀速率圆周运动时，对圆心,微观领域角动量量子化（自己看）,直线运动的角动量,55, 微观领域角动量量子化（自己看） 直线运动的角动量55,由：,有：,定义力,对定点,O,的,力矩,：,称,力臂,F,M,r,O,m,r,0,二、力对定点的力矩,56,由：有：定义力对定点O 的力矩：称力臂FMrOmr0二,三、角动量定理,即:,质点对某点的角动量的时间变化率等于所受合外力对同一点的力矩。,（积分形式）,（微分形式）,冲量矩，力矩对时间的积累作用。,M,、,L,须相对,同一参考点,57,三、角动量定理即: 质点对某点的角动量的时间变化率等于所受合,一、角动量守恒定律,则,如果作用在质点上的外力对某定点,O,的力矩为零，则质点对,O,点,的角动量在运动过程中保持不变。这叫做质点的角动量守恒定律。,3.7 角动量守恒定律,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，不仅适 用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。,58,一、角动量守恒定律则如果作用在质点上的外力对某定点O的力矩为,O,m,v,F,L,（中心力）,r,（1）,m,v,r,sin,a, const.,（2）,行星在速度和有心力,所组成的平面内运动,二、角动量守恒定律的条件,过,O,点：中心力,（如行星受中心恒星的万有引力）,（例：3.17）,59,OmvFL（中心力）r（1） mv r sina ,m,S,太阳,行星,证明：有心力,力矩为零,角动量为常矢量,角动量方向不变：,行星轨道平面方位不变,行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。在近日点转得快，在远日点转得慢。,例3.18：,角动量守恒定律导出行星运动的开普勒第二定律。,60,mS太阳行星证明：有心力力矩为零角动量为常矢量角动量方,盘状星系:角动量守恒的结果,61,盘状星系:角动量守恒的结果61,L,球形原始气云具有初始角动量,L,，,在垂直于,L,方向，,引力使气云收缩，角动量守恒，粒子的旋转速度,，惯性离心力，,离心力与引力达到平衡，,维持一定的半径。,但在与,L,平行的方向无此限制，所以形成了,旋转盘状结构。,62,L球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向，,如图所示，将一个质量为,m,的小球系在轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子，一手执绳，先使小球以速度v,1,在水平面内沿半径为r,1,的圆周运动，然后向下拉绳，使小球的半径减小为r,2,实验发现，这时小球的速度增大为v,2,。实验得到的规律是,实例：,上式两边乘小球质量m，得,由此可见，尽管小球在绕,O,点转动时的动量时刻在变化，而其角动量却是恒定的。因此，在研究物体的转动时，角动量将代替动量而起重要的作用。,63,如图所示，将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，绳穿过一竖直的,例题：我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心,O,为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径,R=,6378 km，人造卫星距地面最近距离,l,1,=439 km， 最远距离,l,2,=2384km。若人造卫星在近地点,A,1,的速度,v,1,=8.10kms，求人造卫星在远地点,A,2,的速度。,解: 人造卫星在运动中受地球的引力（有心力）作用，此力对地心不产生力矩，人造卫星对地心的角动量守恒。故,解得,64,例题：我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O为,一、质点系对定点的角动量,3.8 质点系的角动量定理,二、质点系动量定理和守恒定律,f,ij,f,ji,65,一、质点系对定点的角动量 3.8 质点系的角动量定理,f,ij,f,ji,r,i,-,r,j,任意两质点相互作用的力矩之和：,66,fijfjiri-rj任意两质点相互作用的力矩之和：66,于是有：,质点系,角动量定理,形式上与质点的角动量定理完全相同；,内力对定点的力矩之和为零；,只有外力矩才能改变系统的总角动量。,质点系角动量守恒定律,67,于是有： 质点系形式上与质点的角动量定理完全相同；质,例：,一根长为,l,的轻质杆，端部固结一小球,m,1,，,另,一小球,m,2,以水平速度,v,0,碰杆中部并与杆粘合。,求：,碰撞后杆的角速度,解：,选,m,1,（,含杆）+,m,2,为系统,碰撞时重力和轴力都通过,O,，,对,O,力矩为零，故角动量守恒。,l,m,1,O,v,0,m,2,解得：,有,68,例：一根长为l 的轻质杆，端部固结一小球m1 ，另 解：选,动量定理 角动量定理,力,力矩或角力,动量,角动量,或动量矩,力的冲量,力矩的冲量,或冲量矩,与固定点有关,与内力矩无关,与固定点无关,与内力无关,69,动量定理,一、质心系中的角动量,O,是惯性系中的一个定点,C,是质心兼质心坐标系原点,对质心,对,O,点,C,对,O,利用关系：,可以证明（自己推导）：,O,系为惯性系,v,i,v,C,C,y,x,O,r,C,r,i,v,i,F,i,z,3.9 质心系中的角动量,70,一、质心系中的角动量 O 是惯性系中的一个定点C 是质心兼质,二、质点系对质心的角动量定理：,质心系中质点对,质心,的角动量定理,即有,71,二、质点系对质心的角动量定理： 质心系中质点对质心的角,这再次显示了质心的,尽管质心系可能不是惯性系，,但对质心来说，,角动量定理仍然成立。,特殊之处,和选择质心系来讨论问题的优点。,若质心系是非惯性系，,则外力矩中应包括,惯性力对质心的力矩：,设质心加速度为,则有,这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对,质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。,72,这再次显示了质心的尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，,第三章结束,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,与固定点有关,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,与固定点无关,73,第三章结束小结：动量与角动量的比较角动量矢量与固定点有关与,