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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,h,*,第,32,讲,平面向量基本定理及向量坐标运算,平面向量基本定理及向量坐标运算,1,h,第,32,讲,知识梳理,知识梳理,1平面向量的基本定理,如果,e,1,，,e,2,是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,使,，其中不共线的向量,e,1,，,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,2,h,第,32,讲,知识梳理,2平面向量的坐标表示,(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,，,j,作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量,a,可表示成,a,xi,yj,，由于,a,与数对(,x,，,y,)是一一对应的，因此把,叫做向量,a,的坐标，记作,a,(,x,，,y,)，其中,x,叫做,a,在,x,轴上的坐标，,y,叫做,a,在,y,轴上的坐标,(2)规定：,相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；,向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系,(,x,，,y,),3,h,第,32,讲,知识梳理,3平面向量的坐标运算,(1)若,a,(,x,1,，,y,1,)，,b,(,x,2,，,y,2,)，,则,a,b,；,(2)若,A,，,B,，则,；,(3)若,a,(,x,，,y,)，则,a,；,(4)若,a,(,x,1,，,y,1,)，,b,(,x,2,，,y,2,)，则,a,b,.,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),(,x,2,x,1,，,y,2,y,1,),(,x,，,y,),x,1,y,2,x,2,y,1,0,4,h,探究点1,平面向量基本定理应用,第,32,讲,要点探究,要点探究,例1,2009湖南卷 如图321所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若求,x,，,y,.,5,h,第,32,讲,要点探究,【思路】,把,AD,按，分解,【解答】,作,DF,AB,，交,AB,延长线于,F,，设,AB,AC,BC,DE,，,DEB,60，,BD,，,由,DBF,45，解得,DF,BF,故,x,1，,y,.,6,h,第,32,讲,要点探究,【点评】,只要平面内两向量不共线，则平面内任一向量就可以按这两个向量分解，并且这种分解是唯一的利用这一唯一性既可以求参数，也可以进行证明，如下题：,变式题,已知,P,是,ABC,所在平面内一点，,AP,的中点为,Q,，,BQ,的中点为,R,，,CR,的中点为,S,.,证明：只有唯一的一点,P,使得,S,与,P,重合,【思路】,要证满足条件的点是唯一的，只需证明向量,可用一组基底唯一表示,7,h,第,32,讲,要点探究,【解答】,证明：设,则,由题设知,由于,a,，,b,是平面,ABC,的基向量，所以是唯一的一个向量，即,ABC,所在平面内只有唯一的一点,P,使得,S,与,P,重合,8,h,探究点2,平面向量的坐标运算的应用,第,32,讲,要点探究,例2,2009广东卷 已知平面向量,a,(,x,1)，,b,(,x,，,x,2,)，则向量,a,b,(),A平行于,x,轴,B平行于第一、三象限的角平分线,C平行于,y,轴,D平行于第二、四象限的角平分线,【思路】,根据,a,b,的坐标判断,9,h,第,32,讲,要点探究,【解析】C,a,b,(0,1,x,2,)，由1,x,2,0及向量的性质可知C正确,【点评】,从向量的坐标可以知道向量的位置和大小，为数形结合做好了准备有了坐标就可以把向量的有关问题转化为数的计算如下题：,变式题,已知向量,a,(2,1)，,b,(1,2)，则|,a,b,|(,R)的最小值为(),A.B.C.D.,10,h,第,32,讲,要点探究,【思路】,把|,a,b,|(,R)表示为,的函数,【解析】C,a,(2,1)，,b,(1,2)，,a,b,(2,，12,)，,|,a,b,|,故当,时，|,a,b,|取得最小值，选C.,11,h,探究点3,向量共线的坐标表示的应用,第,32,讲,要点探究,例3,2009重庆卷 已知向量,a,(1,1)，,b,(2，,x,)，若,a,b,与4,b,2,a,平行，则实数,x,的值是(),A2 B0 C1 D2,【思路】利用共线向量的坐标表示进行求解,12,h,第,32,讲,要点探究,【解析】D方法一：因为,a,(1,1)，,b,(2，,x,)，所以,a,b,(3，,x,1),4,b,2,a,(6,4,x,2)，由于,a,b,与4,b,2,a,平行，得6(,x,1)3(4,x,2)0，解得,x,2.,方法二：因为,a,b,与4,b,2,a,平行，则存在实数,，使,a,b,(4,b,2,a,)，即(2,1),a,(4,1),b,，根据向量共线的条件知，向量,a,与,b,共线，故,x,2.,【点评】,解决向量共线问题时注意方程思想的应用对于坐标均非零的向量共线，也可以从对应坐标成比例入手，如下题：,13,h,第,32,讲,要点探究,变式题,如图322所示，已知点,A,(4,0)，,B,(4,4)，,C,(2,6)，求,AC,和,OB,交点,P,的坐标,14,h,第,32,讲,要点探究,【解答】,方法一：设,t,(4,4)(4,t,4,t,)，则,(4,t,4,t,)(4,0)(4,t,4,4,t,),(2,6)(4,0)(2,6),由共线的充要条件知(4,t,4)64,t,(2)0，,解得,t,.,(4,t,4,t,)(3,3),P,点坐标为(3,3),15,h,第,32,讲,要点探究,方法二：设,P,(,x,，,y,)，则(,x,，,y,)，(4,4),共线，,4,x,4,y,0.,又(,x,2，,y,6)，(2，6)，,且向量共线,6(,x,2)2(6,y,)0.,解,组成的方程组，得,x,3，,y,3，,点,P,的坐标为(3,3),16,h,探究点4,向量坐标运算的综合应用,第,32,讲,要点探究,例4,2009湖南卷 已知向量,a,(sin,，cos,2sin,)，,b,(1,2),(1)若,a,b,，求tan,的值；,(2)若|,a,|,b,|,0,，求,的值,【思路】,利用向量关系把问题化为三角函数再求解,17,h,第,32,讲,要点探究,【解答】(1)因为,a,b,，所以2sin,cos,2sin,，,于是4sin,cos,，故tan,.,(2)由|,a,|,b,|知，sin,2,(cos,2sin,),2,5，,所以12sin2,4sin,2,5.,从而2sin2,2(1cos2,)4，即sin2,cos2,1，,于是,18,h,第,32,讲,要点探究,又由0,知，2,，,所以2,，或2,.,因此,，或,.,【点评】,高考中，向量与三角函数常常结合在一起，利用向量命题，考查三角函数的知识向量还常常与平面几何解析几何联系，此时要注意数形结合，挖掘条件，如下题：,19,h,第,32,讲,要点探究,变式题,已知点,O,(0,0)，,A,(1,2)，,B,(4,5)及,(1)求,t,为何值时，,P,在,x,轴上？,P,在,y,轴上？,P,在第二象限,(2)四边形,OABP,能否构成平行四边形？若能，求出相应的,t,值；若不能，请说明理由,【思路】,利用的坐标满足的条件列方程(组)或不等式(组),20,h,第,32,讲,要点探究,【解答】(1)(13,t,23,t,)，若,P,在,x,轴上，,只需23,t,0，,t,；若,P,在,y,轴上，只需13,t,0，,t,；若,P,在第二象限，只需,t,.,(2),(1,2)，(33,t,33,t,)，若,OABP,为平行四边形，则,由于无解，故四边形,OABP,不能构成平行四边形,21,h,第,32,讲,规律总结,规律总结,1平面向量基本定理是向量用坐标表示的理论基础，向量坐标的加减和数乘运算的结果仍然是坐标形式,2向量共线的充要条件有两种形式：,(1),a,bb,a,(,a,0)；,(2),a,bx,1,y,2,x,2,y,1,0.,22,h,第,32,讲,规律总结,3向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，当表示向量的有向线段的起点是坐标原点时，终点坐标就是表示向量的坐标,4向量的运算包括：线性运算和坐标运算，即几何运算和代数运算，两种运算恰好说明了向量是数形结合的载体,23,h,
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