特征值和特征向量课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 矩阵的特征值和特值向量,1 矩阵的特征值和特征向量,矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一,它有着广泛的应用.本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算.并给出将矩阵对角化的方法.,一.定义和求法,定义6.1,设,A,是n阶方阵,如果数,和n维非零列向量,满足关系式,A,=,则称,为,A,的特征值,为,A,的属于的一个特征向量.,如果,是,A的属于,的,特征向量，那么对k,0,k,也是A的,属于,的,特征向量，这是因为,可见,特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出A,的特征值和相应的特征向量.,A（k),=kA,=k,=,(k),由,A,=,，,可得,(,E,A,),=,0,可见,是n元齐次线性方程组,(,E,A,),x,=,0,的非零解.所以有|,E,A,|=0.,定义6.2,设,A,是n阶方阵,是参数,则行列式,称为方阵,A,的特征多项式.称det(,E A,)=0为方阵,A,的,特征方程,.,A,的特征值就是特征方程的解,n阶方阵,A,有n个特征值.,A,的属于特征值,i,的特征向量就是齐次线性方程组,(,i,E A,),x,=,0,的所有非零解.,的全部特征值和相应的特征向量.,解 A,的特征多项式为,=(,-1,)(-2),2,-1=,(,-1,),2,(-3),所以,A,的特征值为,1,=,2,=1,3,=3.,对,1,=,2,=1,解方程(E-,A,),x=0,由于,例1,求矩阵,所以k,1,(k0)是属于,1,=,2,=1的全部,特征向量.,对,3,=3,解方程(3,E-A)x=0,由于,得同解方程:,基础解系为,2,=(-1,1,1),T,.,所以k,2,(k0)是属于,3,=3的全部,特征向量.,基础解系为,1,=(0,0,1),T,.,得同解方程:,的全部特征值和特征向量.,解 A,的特征多项式为,=(,-1,)(-2),2,-1=,(,-1,),2,(,-3,),所以,A,的特征值为,1,=,2,=1,3,=3.,对,1,=,2,=1,解方程(,E-A,),x=0,由于,例2,求矩阵,所以属于,1,=,2,=1的全部,特征向量为,K,1,1,+k,2,2,(k,1,k,2,不同时为0),对,3,=3,解方程(,A,-3,E)x=0,由于,得同解方程:,基础解系为,3,=(1,-1,1),T,.,所以k,3,(k0)是属于,3,=3的全部,特征向量.,基础解系为,1,=(1,1,0),T,2,=(0,0,1),T,.,得同解方程:,设方阵,A,可逆,且是,A,的特征值,证明,0,且,1/是,A,-1,的特征值.,例3,证,首先证明0.用反证法:假设=0是,A,的特征值,则,再设,是,A的属于,特征值的特征向量,则,A,=,A,-1,=1/,所以1/是,A,-1,的特征值,而且与,A,有相同的特征向量.,类似地,若是,A,的特征值,则,k,是,A,k,的特征值.,0,E,-,A,=-,A,=0,这与,A,可逆矛盾,故0.,一般地,若是,A,的特征值,则,(,)=a,0,+a,1,+a,m,m,是,(,A,)=a,0,E,+a,1,A,+a,m,A,m,的特征值.,解,由于,由于1 的倒数也是,A,1,的特征值，,因此,A*,必有特征值：1,所以，A,*,=A,1,故，应选“B”。,二.特征值和特征向量的性质,由于,=,n,-(a,11,+a,22,+a,nn,),n-1,+(-1),n,|A|,利用多项式方程根与系数的关系可得:,定理6.1,设,1,2,n,是n阶方阵A 的全部特征值,则,1,+,2,+,n,=,a,11,+a,22,+a,nn,1,2,n,=,det,A,定理6.2,设,1,2,s,是方阵A 的互异特征值,1,2,s,是分别属于它们的特征向量,那么,1,2,s,线性无关.,证明,设x,1,1,+x,2,2,+x,s,s,=,0,类似地有:,则,A,(x,1,1,+x,2,2,+x,s,s,)=,0,即,1,x,1,1,+,2,x,2,2,+,s,x,s,s,=,0,1,k,x,1,1,+,2,k,x,2,2,+,s,k,x,s,s,=,0,(k=0,1,s-1),即,所以有,(x,1,1,x,2,2,x,s,s,)=(,0,0,0,),定理6.3,设,1,2,是A 的两个互异特征值,1,2,s,和,1,2,t,分别是属于,1,2,的线性无关的特征向量,则,1,2,s,1,2,t,线性无关.,即,x,j,j,=,0,但,j,0,故,x,j,=0,(j=1,2,s),所以向量组,1,2,s,线性无关.,证明,设,k,1,1,+k,2,2,+k,s,s,+l,1,1,+l,2,2,+l,t,t,=,0,=,k,1,1,+k,2,2,+k,s,s,=l,1,1,+l,2,2,+l,t,t,。,则,+,=,0,而,是属于不同特征值,1,2,的特征向量,根据定理6.2，,必有,=,=,0,即k,1,=,k,2,=,=k,s,=,l,1,=,l,2,=,=l,t,=,0,线性无关.,例4,解,由于,A,的特征值都不为0,故,A,可逆.并且,|A|=,1,2,3,=,-2，,A*,=,A,A,1,=2,A,1,.,设3阶方阵,A,的特征值为1,-1,2,求|,A,*,+3,A,-2,E,|.,A,*,+3,A,-2,E=,-2,A,-1,+3,A,-2,EB 的,3个特征值为,1,2,1,-1,+3,1,2,1,=1,2,3，,3,3,于是,|,A,*,+3,A,-2,E,|,=,1,2,3,=(-1)(-3)3=9,例 求矩阵A和A,T,的特征值的关系。,解。A的特征值满足|,E-A|=0，,A,T,的特征值满足|,E-A,T,|=0,而,|,E-A,T,|=,|(,E-A,)T,|,|,E-A|=0，所以,矩阵A和A,T,有相同的特征值。,对,A,进行运算,P,-1,AP,=,B,称为对,A,进行,相似变换,可逆矩阵,P,称为把,A,变成,B,的,相似变换矩阵.,2 相 似 矩 阵,定义6.3,设,A,B,都是n阶方阵,若存在可逆矩阵,P,使,一.相似矩阵的定义和性质,矩阵的相似关系具有下述性质:,(,),反身性:AA;,(,),对称性:若,A,B,则,B,A,;,(,),传递性:若,A,B,B,C,则,A,C,.,P,-1,AP,=,B,则称,B,是,A,的,相似矩阵,或说矩阵,A,与,B相似,.,A,与,B,相似记作,A,B,.,定理6.4,相似矩阵有相同的特征值.,证,若矩阵,A,与,B,相似,则存在矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,故,注意:,定理6.4的逆命题不成立.例如矩阵,E,-,B,=,P,-1,(,E,),P-P,-1,AP,=,P,-1,(,E,-,A,),P,=,P,-1,E,-,A,P,=,E,-,A,的特征多项式都是(,-1),2,但它们不相似.,二.与对角矩阵相似的条件,假设n阶方阵A与对角矩阵,相似.,也就是存在可逆矩阵,P,使得,P,-1,AP,=,即,AP,=,P,记,P,=(,1,2,n,),则有,(,A,1,A,2,A,n,)=(,1,1,2,2,n,n,),即,可见,矩阵A与对角矩阵相似,则A有n个线性无关的特征向量.,A,i,=,i,i,i=1,2,n,因为矩阵P可逆,所以,1,2,n,线性无关,故,i,0,于是,i,是矩阵A属于特征值,i,的特征向量.,反之,设A有n个线性无关的特征向量,1,2,n,且,A,i,=,i,i,i=1,2,n,令,P,=(,1,2,n,),则,P,可逆,且,AP,=(,A,1,A,2,A,n,)=(,1,1,2,2,n,n,)=,P,即,P,-1,AP,=,也就是说矩阵,A,与对角矩阵相似.,定理6.5,n阶矩阵,A,与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵,A,有n个线性无关的特征向量.,可见,前面的分析不但证明了定理6.5,还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵,的求法：,例：在例2中的矩阵,由于其3个特征值为,1,=,2,=1,3,=3.对应的特征向量:,1,=(1,1,0),T,2,=(0,0,1),T,3,=(1,-1,1),T,线性无关,所以,A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵P为相似变换矩阵,A的n个特征值作为对角元构成了相应的对角矩阵,。,相似变换矩阵P=,(,1,2,3,)=,事实上P的逆矩阵为,与,A,相似的对角矩阵为,对角矩阵,解,由于,所以，应选“A”.,推论,若n阶矩阵,A,有n个互异特征值,则,A,与对角矩阵相似.,若,A,=,P,-1,P,则有:,注意,若矩阵,A,与对角矩阵,相似,则,的对角线元素恰是A的n个特征值,故如不计对角线上元素的顺序,则与A相似的对角矩阵是唯一的.,A,k,=,P,-1,k,P,(,A,)=,P,-1,(,),P,而且有:,例5,设,求,A,50,.,解,矩阵A的特征多项式为,=(+1),2,(-2),可见,A的特征值是,1,=,2,=-1,3,=2.,对于特征值,1,=,2,=-1,由于,所以,齐次线性方程组(-,E,-,A,),x,=,0,的一个基础解系为:,1,=(1,2,0),T,2,=(0,0,1),T,.,1,2,就是属于,特征值,1,=,2,=-1的线性无关的特征向量.,可见属于特征值,3,=2的一个特征向量为,3,=(3,3,1),T,.,对于特征值,3,=2,由于,令,则有,所以有,即,定理6.6 矩阵,A,与对角矩阵相似的充分必要条件是：对,A,的任意特征值,(重数为k),属于,的线性无关的特征向量有k个.,3 实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,设矩阵,A,=(a,ij,),用,a,ij,表示a,ij,的共轭复数,记,A,=(,a,ij,),称,A,为,A,的共轭矩阵.显然,A,为实矩阵时,A,=,A,.,共轭矩阵具有下列性质:,其中,是常数;,定理6.7,实对称矩阵的特征值都是实数.,证,设为实对称矩阵,A,的特征值,是属于的特征向量,则有,由于A,T,=A,A=A,故有,于是,有,由于,0,所以,T,0,因此,即是实数.,显然,实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.,定理6.8,实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.,证,设,1,2,是实对称矩阵,A,的特征值,1,2,分别,是属于它们的特征向量,则有,而且,由于,1,2,所以,2,T,1,=0,即,1,2,正交.,于是,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,定理6.9,设,A,是实对称矩阵,则必存在正交矩阵,Q,使得,Q,T,AQQ,1,AQ,为对角矩阵.,证,n=1时显然成立,设对n-1阶矩阵定理结论成立.,于是有,再取,2,3,n,使,1,2,n,为R,n,的一组规范正交基.,取n阶实对称矩阵A的任一特征值,1,和属于,1,的特征向量,1,(取,1,为单位向量).,A,(,1,2,n,)=(A,1,A,2,A,n,),=(,1,1,A,2,A,n,),=,(,1,2,n,),记,Q,1,=(,1,2,n,),则,Q,1,为正交矩阵,且有(Q,1,1,=Q,T,),B,是n-1阶实对称矩阵,由假设,存在n-1阶正交矩阵P,使得,取n阶正交矩阵,Q,1,T,AQ,1,=,（利用A的对称性）,则有,即,Q,2,T,Q,1,T,AQ,1,Q,2,为对角矩阵.,显然,Q=Q,1,Q,2,是正交矩阵,定理结论成立.,Q,2,T,Q,1,T,AQ,1,Q,2,三.实对称矩阵正交相似对角化的方法,用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下:,(1)求出A的全部特征值;,(2)对每个特征值,若其重数为k,求出其k个线性无关的特征向量.,(5)写出对角矩阵.,(3)将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化.,(4)用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵.,例6,设,求一个正交矩阵,Q,使,Q,-1,AQ,为对角矩阵.,解,先求A的所有特征值,得