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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第,三,章,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,一、,存在(或为 ),定理 1.,型未定式,(,洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,在,x,a,之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以,x,a,为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,存在(或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,求,解:,原式,注意:,不是未定式不能用洛必达法则!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求,解:,原式,思考:,如何求,(,n,为正整数)?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,型未定式,存在(或为),定理 2.,证:,仅就极限,存在的情形加以证明.,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1),的情形,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),的情形.,取常数,可用 1)中结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),时,结论仍然成立.,(证明略),说明:,定理中,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求,解:,原式,例4.,求,解:,(1),n,为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求,(2),n,不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数,k,使当,x,1,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,例,4.,说明:,1),例3,例4 表明,时,后者比前者趋于,更快.,例如,而,用洛必达法则,2),在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决,计算问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3)若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式:,解决方法:,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例5.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式,例6.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例7.,求,解:,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例,8.,求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,分析:,为用洛必达法则,必须改求,法1,用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁!,法2,原式,例3 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,令,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1,.设,是,未定式极限,如果,不存在,是否,的极限也不存在?,举例说明.,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,原式,分析:,分析:,3.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,4.,求,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P137,1,(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),4,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达,(,1661,1704,),法国数学家,他著,有无穷小分析,(,1696),并在该书中,提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“洛必达法,的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降,线”问题,在他,去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书.,则”.,他在,15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列极限:,解:,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,原式=,解:,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式=,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
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