等差数列前n项和公式课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,天津市木斋中学,高一数学 王珏,等差数列前,n,项和公式,人教版必修五,2.3,复习回顾,(1),等差数列的通项公式,:,已知首项,a,1,和公差,d,则有,:,a,n,=,a,1,+,(n-1)d,已知第,m,项,a,m,和公差,d,则有,:,a,n,=a,m,+(n-m)d,(2),等差数列的性质,:,在等差数列,a,n,中,如果,m+n=p+q,(m,n,p,qN,*,),那么,:,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。,传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，奢靡之程度，可见一斑。,你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,问题呈现,问题,1,问题,1,：图案中，第,1,层到第,21,层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把,“,全等三角形,”,倒置，与原图补成平行四边形。,探究发现,探究发现,问题,1,：图案中，第,1,层到第,21,层一共有多少颗宝石？,1,2,3,21,21,20,19,1,获得算法：,问题,2,一个堆放铅笔的,V,形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放,100,支,.,这个,V,形架上共放着多少支铅笔？,问题就是 求,“,1+2+3+4+,+100=,？,”,问题,2,：对于这个问题，德国著名数学家高斯,10,岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列,1,，,2,，,3,，,，,n,，,的前,100,项的和。,假设,1+2+3+100=x,(1),那么,100+99+98+1=x.(2),由,(1)+(2),得,101+101+101+101=2x,100,个,101,所以,x=5050.,高斯,问题,3:,求,:1+2+3+4+,+n=?,记,:S=1+2 +3 +,+(n-2)+(n-1)+n,S=n+(n-1)+(n-2)+,+3 +2 +1,设等差数列,a,1,a,2,a,3,它的前,n,项和是,S,n,=a,1,+a,2,+a,n-1,+a,n,(1),若把次序颠倒是,S,n,=a,n,+a,n-1,+a,2,+a,1,(2),由等差数列的性质,a,1,+a,n,=a,2,+a,n-1,=a,3,+a,n-2,=,由,(1)+(2),得,2s,n,=(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,)+.,即,下面将对等差数列的前,n,项和公式进行推导,n,个,a,1,+a,n,倒序相加法,由此得到等差数列的,a,n,前,n,项和的公式,即：等差数列前,n,项的和等于,首末项,的,和,与,项数,乘,积,的一半。,上面的公式又可以写成,由等差数列的通项公式,a,n,=,a,1,+,(,n-1,),d,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,正所谓：知三求二,【,公式记忆,】,用梯形面积公式记忆等差数列前,n,项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列,前,n,项和的两个公式,.,等差数列的前,n,项和公式类同于,；,梯形的面积公式,（补成平行四边形,）,例,1,某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：,m）,是：,8000,8500,9000,9500,10000,10500,这位运动员7天共跑了多少米？,解,：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，,记为,a,n,其中,a,1,=7500,a,7,=10500.,根据等差数列前,n,项和公式，得,答：这位长跑运动员,7,天共跑了,63000m.,例,2,等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前多少项的和是,54,？,本题实质是反用公式，解一个关于,n,的一元二次函数，注意得到的项数,n,必须是正整数.,解,：将题中的等差数列记为,a,n,，s,n,代表该数列 的前,n,项和，则有,a,1,=10,d=6(10)=4,根据等差数列前,n,项和公式：,解得,n,1,=9,n,=3(,舍去),因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,设该数列前,n,项和为54,4=,54成立,1.,推导等差数列前,n,项和公式的方法,小结：,2.,公式的应用中的数学思想,.,-,倒序相加法,-,方程思想,3.,公式中五个量,a,1,d,a,n,n,s,n,已知,其中三个量，可以求其余两个,-,知三求二,