高数78常系数非齐次线性微分方程

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程,:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,),的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,.,待定系数法,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为,m,次多项式,.,(1),若,不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q,(,x,),为,m,次待定系数多项式,(2),若,是特征方程的,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,.,即,即,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,例,1.,的一个特解,.,解,:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,设所求特解为,代入方程,:,比较系数,得,于是所求特解为,例,2.,的通解,.,解,:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例,3.,求解定解问题,解,:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,二、,第二步,求出如下两个方程的特解,分析思路,:,第一步,将,f,(,x,),转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程的特解,第四步,分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,),变形,第二步,求如下两方程的特解,是特征方程的,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭,:,为方程,的特解,.,设,则,有,特解:,第三步,求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解,:,原方程,均为,m,次多项式,.,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式,.,本质上为实函数,小 结,:,对非齐次方程,则可设特解,:,其中,为特征方程的,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,例,4.,的一个特解,.,解,:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例,5.,的通解,.,解,:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程,:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例,6.,解,:,(1),特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2),特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,:,例,7.,求物体的运动规律,.,解,:,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当,p,k,时,齐次通解,:,非齐次特解形式,:,因此原方程之解为,第六节例,1,(P323),中,若设物体只受弹性恢复力,f,和铅直干扰力,代入可得,:,当干扰力的角频率,p,固有频率,k,时,自由振动,强迫振动,当,p,=,k,时,非齐次特解形式,:,代入可得,:,方程的解为,若要利用共振现象,应使,p,与,k,尽量靠近,或使,随着,t,的增大,强迫振动的振幅,这时产生共振现象,.,可无限增大,若要避免共振现象,应使,p,远离固有频率,k,;,p,=,k,.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理,.,内容小结,为特征方程的,k,(,0,1,2),重根,则设特解为,为特征方程的,k,(,0,1),重根,则设特解为,3.,上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示,:,1.,(,填空,),设,3.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解,.,解,:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解,:,原方程通解为,作业,P347 1(1),(5),;,2(2);,3,习题课,2,第九节,