材料力学卡氏第二定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,卡氏定理,卡氏定理(Castiglianos Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano)于1873年提出的,故得其名.,卡氏第一定理,卡氏第二定理,2,1,3,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.,作用有外力:,F,1,F,2,F,i,相应的位移为：,1,2,i,F,1,F,2,F,3,结构的变形能,卡氏定理的证明,只给,F,i,一个增量,F,i,.,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,2,1,3,F,1,F,2,F,3,在作用,F,i,的过程中,F,i,完成的功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,如果把原来的力看作第一组力,而把,F,i,看作第二组力.,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当,F,i,趋于零,时,上式为,这就是卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem)（卡氏定理）,（,Castiglianos Theorem）,（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体(Applying only to linearly elastic bodies）,说明,(Directions)：,（2）,F,i,为广义力（generalized force）,i,为相应的位移（displacement corresponding to force,F,i,),一个力,一个力偶,一对力,一对力偶,一个线位移,一个角位移,相对线位移,相对角位移,（3）卡氏第二定理的应用 (Application of castiglianos second theorem),（a）,轴向拉,压（Axial tension and compression）,（b）,扭转（Torsion）,（c）,弯曲,（Bending）,（4）,平面桁架,(Plane truss),（5）组合变形(Combined deformation),例 2.6,已知,EI,求,C,端挠度及,A,截面的转角,解：,根据卡氏定理,有,AB,段,BC,段,例2.7,图示刚架,EI,为常量，,B,截面受,m,作用。求,C,截面转角,q,C,及,D,点的水平位移,d,x,。轴力及剪力不计。,a,a,2a,A,B,C,D,m,a,a,2a,A,B,C,D,m,m,2,C点施以附加力偶矩,m,2,支反力为,R,Ay,=,m+m,2,2a,R,D,=,m+m,2,2a,R,Ay,R,D,x,3,x,2,x,1,A,B,C,D,m,m,2,R,Ay,R,D,求,AB,BC,CD,各段的弯矩方程,并对,m,2,求偏导,最后由卡氏定理求得,C,截面的转角,q,C,。,q,C,=,(,m+m,2,),2a,3EI,R,Ay,=,m+m,2,2a,R,D,=,m+m,2,2a,实际上并无,m,2,，所以令,m,2,=0得,q,C,=,2am,3EI,通常在积分前即令,m,2,=0，可使积分简单,x,3,x,2,x,1,A,B,C,D,m,R,Ay,R,D,P,a,为求,D,点水平位移,d,x,在,D,点加水平力,P,a,求,AB,BC,CD,各段的弯矩方程,并对,P,a,求偏导,最后由卡氏定理求得,D,点水平位移,d,x,。,d,x,=,17ma,2,6EI,R,Ax,例2.8,EI,=常量,求B点水平和垂直位移,P,f,A,B,先求垂直位移,d,y,M,=,PR,cos,f,=,R,cos,f,M,P,d,y,=,S,d,s=,M,M,EI,P,PR,3,p,4EI,P,f,A,B,再在,B,点施加水平力,P,a,P,a,M,=,Pr,cos,f+,P,a,R,(1-sin,f,),=,R,(1-sin,f),M,P,a,d,x,=,S,d,s,Pa=0,=,M,M,EI,P,a,PR,3,2EI,例 求A点位移,d,A,和B点位移,d,B,解,先求,A,点位移,由卡氏定理,因为,所以,求,B,点位移,加入虚载荷,P,AB,段,BC,段,所以,事实上并无,P,因此令,P=0,有,其实可在进行以下积分前令,P=0,