大学物理第20章量子力学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,作者 余 虹,*,大学物理助学,大连理工大学物理系,PHYH,余 虹,11/28/2024,1,作者 余 虹,第20章 薛定谔方程,11/28/2024,2,作者 余 虹,经典理论,：,沿,x,方向传播的单色平面波,波强度,I,A,2,量子理论,：,沿,x,方向运动的自由粒子的德布罗意波是单色平面波,（,=,E/h,=,h/P,）,一维波函数,一、波函数,20.1 定态薛定谔方程,一维定态波函数,1、什么是波函数,11/28/2024,3,作者 余 虹,量子概念下的粒子与确切的轨道无关，但有质量、电量；波与物理量的空间周期性无关，但具有可叠加性。,（,r,）,不代表实在物理量的波动，而是,刻划粒子在空间概率分布的概率波。,开始毫无规则，时间 延长显示衍射图样，波动性许多次相同实验的统计结果,亮,波强,电子到达多。,暗,波弱,电子到达少。,（,r,）不可直接测量！,11/28/2024,4,作者 余 虹,可测量,在空间 处 可观测到粒子的概率密度。,在,附近，d,v,=d,x,d,y,d,z,区域 内发现粒子的概率。,量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒子的,概率,，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种,可能性的判断,，不能做绝对确定性的断言。,例如：,中子的平均半衰期 616秒,即N个中子在 616 秒内有50%衰变成质子、电子和中微子。在衰变之前，我们不能断定哪几个中子会衰变，只能说，每个中子在616 秒内都有 50%的衰变机会。,意义？,11/28/2024,5,作者 余 虹,2、波函数的条件,1、,（,r,）,必须是时空的,单值,函数。,确定的时间，地点，粒子出现的概率是确定的。,2、,（,r,）必须是,有限,的。,因为,概率,W,（,x，y，z,）,1。,3、两个区域的边界处波函数,1,=,2 、,1,=,2,连续。,粒子出现在边界处确定点的概率是定值。,4、粒子在全空间出现的概率=1,标准条件,归一化,条件,11/28/2024,6,作者 余 虹,如果,1,、,2,、,3,n,是粒子 或系统的波函数，,3、态叠加原理,电子双缝实验,开S,1,，电子出现在P点的波函数,1,则,=,C,1,1,+C,2,2,+C,3,3,+,C,n,n,也是粒子或系统的波函数。,s,1,s,2,P,S,1,s,2,同时开，电子出现在P点的波函数,=C,1,1,+C,2,2,开S,1,，电子出现在P点的波函数,2,11/28/2024,7,作者 余 虹,二、薛定谔方程,1、一维,自由粒子,的波函数,一维自由粒子的,薛定谔方程,11/28/2024,8,作者 余 虹,2、一维势场,U,（,x，t,）,中运动粒子,令,薛定谔方程,三维：,11/28/2024,9,作者 余 虹,三、定态薛定谔方程,若,U,与,t,无关，整个方程与,t,无关,定态薛定谔方程,一维：,三维：,11/28/2024,10,作者 余 虹,四、算符与本征值,一维定态薛定谔方程,非相对论近似下，粒子的能量,动量算符,新的波函 数,则,（,x,）是,的本征函数,E,是,的本征值。,如果,哈密顿算符能量算符,11/28/2024,11,作者 余 虹,测量,能量本征值,能量本征态,五、本征值与本征态,对粒子进行某力学量（如：能量）测量，不一定总测得相同的值，每次测得一系列可能值中的一个（以一定的概率出现）。,若有N个本征态对应一个本征值，则称该本征值N度,简并,。,这一系列可能值即力学量的,本征值,。,对应一确定本征值 的粒子状态，称为,本征态,。,测量,E,3度,简并,11/28/2024,12,作者 余 虹,量子力学处理问题的方法,1、分析、找到粒子在势场中的势能函数,U,，写出薛定谔方程。,2、求解,，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。,3、由,2,得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。,11/28/2024,13,作者 余 虹,U,=0（0,x,a,）,U,=,U,0,（其他）,势阱,无限深,势能,量子力学预言：,势阱里的粒子的能量只可能是一系列分立的本征值,对应的波函数只能是能量本征态波函数。,（1）,U,与,t,无关，写出定态定谔方程,（2）解方程,1,=0,3,=0,0,x,To15,1 2 3,一、一维无限深势阱,20.3 一维定态问题,令:,11/28/2024,14,作者 余 虹,（3）确定常数,A、,势阱无限深阱外无粒子,=0 （,x,0,x,a,）,由波函数,连续性，,边界条件,（0）=0,（,a,）=0,A,cos,=0,=,2,A,sin,ka,=0,n,=1.2.3,ka=n,To14,11/28/2024,15,作者 余 虹,（,0,x,U,0,的粒子，越过势垒。,2.,E U,0,的粒子，也存在被弹回的概率 反射波。,2.,E,n,都是正整数，,氢原子光 谱,R,=1.096776,10,7,m,1,里德堡常数,根据不同的,m,值把氢原子的光谱分成不同的线系。,n=1L.S.,n=3P.S.,n=2B.S.,紫外线,紫外线、可见光,红外线,11/28/2024,21,作者 余 虹,二、氢原子,r,+,势能,定态薛定谔方程,用球坐标,x,y,z,O,r,通过分离变量将方程分解为分别与变量,r、,、,有关的,3个方程。,方程有解的条件直接引出了微观领域里的量子化条件。,To 41,11/28/2024,22,作者 余 虹,量子理论,：,具有确定能量的原子不辐射电磁波；仅当电子在不同的“轨道”跃迁或者说在不同的,能级,间,跃迁,时才辐射。频,率满足,n,主量子数,1、2、3、4,K、L、M、N,n,=,1,基态,6 5,4 3 2,第一激发态,L.S.,B.S.,P.S.,1、能量量子化,-13.6 eV,13,.6,电离,一个,基态,氢原子需要,13.6 eV,能量；,电离,一个,第一激发态,氢原子需要,3.4 eV,能量。,氢原子,11/28/2024,23,作者 余 虹,例题,：氢原子光谱的,巴耳末,系中波长最大的谱线,1,，其次为,2,，求比值,1,/,2,.,解：,n=2,n=3,n=4,1,2,11/28/2024,24,作者 余 虹,例题,：,处于,第三激发态,的氢原子，可能发出的光谱线有多少条？其中可见光谱线几条？,解,：,第三激发态,n,=4,六条谱线,喇曼系3条,紫外线,巴耳末系2条,可见光,帕邢系1条,红外线,n=4,n=3,n=2,n=1,11/28/2024,25,作者 余 虹,2、角动量量子化,具有确定能量的电子角动量可有若干，角动量,大小,s p d,角量子数,l,=0、1、2,n,-1,l,决定角动量大小。,E,n,n,个,例,：,第二激发态的电子,n=3,对应角量子数,l,=,0,1,2,3,s,L,=0,3,p,L,3,d,L,11/28/2024,26,作者 余 虹,3、角动量取向量子化,Z,具有确定角动量的电子，角动量方向可有若干，,L,在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影,L,Z,磁量子数,m,=0、1、2,l,决定角动量方向。对应,l,可有,2,l,+1,个不同取向。,m,=0,例,：,m,=1,m,=-1,m,=2,m,=-2,11/28/2024,27,作者 余 虹,电子的状态可用,n、l、m,三个量子数表示，相应的波函数,n,l,m,。,对确定能级,E,n,电子有,n,2,种可能状态,2,0,0,基态,n,=1,n,2,=1 ,1,0,0,第一激发态,n,=2,n,2,=4 ,2,l,m,？,l=,0,m,=0,m,=0、,1,2,1,0,2,1-,1,2,1,1,能级简并,l,=1,11/28/2024,28,作者 余 虹,1 2 3 4 5 6 7 8,r/a,p,p,21,p,10,p,20,a,氢原子玻尔半径,1、半径为,a,的球面附近发现,1s,电子的可能性最大。,2、,2s,电子在半径为,5,a,的球面附近出现的概率最大；不可能在,2,a,处出现。,3、寻找,2p,电子最好在半径为,4,a,的球面处。,电子径向概率分布图,图中信息,11/28/2024,29,作者 余 虹,已知氢原子基态波函数,例题,求：电子处于半径为,a,0,的球面内的概率,P,0,解：概率密度,p,100,=|,100,|,2,，电子处于半径为,r,、厚度为d,r,的壳层内的概率为,dP,=,p,100,4,r,2,d,r,在半径为,a,0,的球面内的概率,11/28/2024,30,作者 余 虹,一、斯特恩盖拉赫实验（1921）,S,N,Ag,电子在核周围运动,电流圈有磁矩,P,Z,用,s,态（,l,=0）银原子无论有无磁场都只有一条！,实验结果,：,有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹。,？,z,有,2,l,+1种不同值。,4、,第4个量子数自旋,11/28/2024,31,作者 余 虹,电子的状态要用,n、l、m,，,m,s,四个量子数表示，相应的波函数,n,l,m,m,s,对确定能级,E,n,电子有,2,n,2,种可能状态能量,2,n,2,度简并。,基态,n,=1 2,n,2,=2,1,0,0,1,0,0,能量,2,度简并,第一激发态,n,=2 2,n,2,=8,2,l,m,？,11/28/2024,32,作者 余 虹,二、电子自旋理论,（1924年）,电子除了绕核运动外，还绕自身轴旋转自转磁矩,s,，,角动量,L,s,、,L,sz,根据量子理论,m,s,=-,s,，,s,s=,？,对称，说明银原子可分为两类，受力大小相等方向相反。,s,且,-s,+1=,s,z,也有两个,大小相等方向相反。,11/28/2024,33,作者 余 虹,原子核外电子的排布,原子是由多个电子与原子核组成系统，系统的状态用电子状态分布来描写。用,n、l,标记一个电子再指明该态中的电子数,原子组态,，若有,x,个电子处于,n l,态，记,n l,x,例：,氦的基态，2个电子都处于,n,=1,l,=0 态 记：,1,s,2,第一激发态,n,=1,l,=0,n,=2,l,=0,记：,1,s,1,2s,1,11/28/2024,34,作者 余 虹,分配原则,1、泡利不相容原理：,一个多电子原子系统中，不可能有两个电子具有相同的状态4对量子数,n、l、m、m,s,至少有一对不同。,2、能量最小原理：,基态,原子中电子先填满能量小的壳层。,例题,：,氯原子有17个电子，写出基态原子组态。,n,l,2（2,l,+1）,1,0,2,1s,2,2,0,2,2s,2,1,6,2p,6,3,0,2,3s,2,1,5,3p,5,1s,2,2s,2,2p,6,3s,2,3p,5,11/28/2024,35,作者 余 虹,作者,余 虹,11/28/2024,36,作者 余 虹,氢原子的,定态薛定谔方程,分离变量，令,代入方程,由,得,只能,分得三个独立变量的方程，再根据波函数的条件，自然得到三个量子数。,Back 25,11/28/2024,37,作者 余 虹,