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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,.,*,第二章 杆件系统的有限元法,第一节 引 言,杆是最重要的基本结构件，在材料力学里集中研究了单根杆的力学行为，但实际工程中很少有单根杆的结构，像钢塔、起重机臂、桥梁、化工生产及城市生活中的管道、机器中的轴系、支架、结构物平台等都需要将单根杆组装起来成为杆系。,1,.,任何物体都是三维尺度的。杆的几何特征是横截面的尺度远小于杆的长度。材料力学中研究了等截面直杆的三种基本变形模型：（,1,）轴向拉（压）杆；（,2,）自由扭转轴；（,3,）平面弯曲梁。三种模型都是将实体杆简化成数学意义上的“轴线”，杆的轴线由所有横截面的形心的连线构成。,2,.,简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。,3,.,以弹簧为例：,弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡克定律，并且它们之间是线性关系，直线的斜率就是弹簧的刚度,k:,4,.,对于如图示的复杂的铰支杆系统，要确定在力的作用下，结点,BCDE,处的变形，以便计算出各杆件的内应力及各杆的轴向力，可以假设整个杆件系统具有和单根杆一样的刚度，不过此时的刚度应采用矩阵来表示，同样各点的位移及力都用矩阵表示。即：,F,E,D,C,B,A,5,.,重点：,式中,K,为多少阶？如何求出？,求出,K,节点处的位移各杆的受力和应力。,6,.,第二节 弹簧系统的刚度矩阵,一、单个弹簧的刚度矩阵,1,2,分别是作用在节点,1,和,2,上的位移和力,7,.,弹簧的作用力向量为：,弹簧的位移向量为：,可以推断出弹簧的刚度矩阵是：,2*2,阶,待定,8,.,（,1,）只有结点,1,可以变形，节点,2,固定，此时有：,A,A1,k,9,.,（,2,）只有结点,2,可以变形，节点,1,固定，此时有：,k,B,B1,10,.,k,B,B1,A,A1,(3),据迭加原理，结果为：,11,.,12,.,二、组合弹簧的刚度矩阵（推导自学）,以系统有两个弹簧为例：,步骤,（,1,）写出每个弹簧单元的受力方程和单元刚度矩阵：,13,.,14,.,对于具有,n,个节点的弹簧系统，由于每个节点只有一个可能的位移方向（即一个自由度）因此整个系统有,n,个自由度，相应的总纲矩阵应该是,n*n,阶。具体方法为：写出一个空的,n*n,阶矩阵，将单元刚度矩阵按单元节点号写到空阵中去。以两弹簧为例说明，总刚度矩阵应是,3*3,阶，第一个单元的节点号为,1,和,2,，则单元刚度矩阵是：,15,.,中的元素在总刚度矩阵中应在的位置是第,1,行、第,2,行的第,1,列、第,2,列,再将第二个单元（节点号为,2,和,3,）的刚度矩阵加到总刚度矩阵的第,2,行、第,3,行的第,2,列、第,3,列,16,.,17,.,三、方程求解（约束条件的引入）,刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列式为,0,，矩阵的逆阵不存在，为使方程组有定解，需给系统加上一定的约束。,18,.,总结：用有限元法求解弹簧系统的受力问题的基本步骤为：,（,1,）形成每个单元刚度矩阵；,（,2,）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加整个系统的刚度矩阵；,（,3,）引入约束条件；,（,4,）以节点位移为未知量求解线性方程组,（,5,）用每个单元的力,-,位移关系求的单元力。,19,.,简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与杆的轴线重合，如图所示。,第三节 杆件系统的有限元法,20,.,杆横截面上的内力只有轴向力,横截面上的应力只有均匀分布的正应力,轴向应变为,杆的伸长量为,21,.,对于简单的拉杆，同一截面上各点在,x,方向的位移,u,相同。如上图所示，杆,A,端受力 ，位移为 ；杆,B,端受力 ，位移 。材料力学中力与变形的关系是：,可以模仿前面的有限元方程写为如下的矩阵形式：,22,.,实际上，杆件系统都是由互相成一定角度排列的杆件连接在一起，在处理这种结构的刚度矩阵时，不能根据每个杆件的单元坐标系统（称为局部坐标系），而必须依据对所有杆件的单元都适用的整体坐标系统。,23,.,1,2,x(u),y(v),x(u),y(v),图,2-9,杆系单元的坐标系统,整体坐标系下，位移和力的表示为：,局部坐标系下，位移和力的表示为：,24,.,注意,：（,1,）图中的,角是从整体坐标系,x,轴正向起逆时针转到杆件方向。,（,2,）铰支连接的杆只能承受轴向力,Fx,和产生轴向位移,u,，因此局部坐标系下,Fy=0,v=0,。之所以要写出来，是因为轴向力和位移在整体坐标系中有两个分量，为方便计算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：,25,.,可将上式由局部坐标系转到整体坐标系下：,26,.,节点,2,处的表达式为：,27,.,28,.,29,.,求解整体坐标系下结构受力与位移方程组：,可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的受力，简单推导可得：,30,.,二、刚阵存储与节点排列,从单元刚阵叠加总体刚度矩阵的过程知，对于节点号为,i,和,j,的单元,e,，其单元刚度矩阵的,16,个元素在总体刚度矩阵的位置如下：,2i-1 2i,2j-1 2j,2i-1 2i,2j-1 2j,行,行,列,列,31,.,刚度矩阵的性质：,（,1,）对称性,关于主对角线对称；,（,2,）稀疏性,大量,0,元素；,（,3,）带状分布,非,0,元素在主对角线两侧呈带状分布。,所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方法是：找出所有各行中非,0,元素所占最宽一行，以离对角线最远的元素为基准画一条平行于主对角线的带子，称为其带宽，方法称为等带宽存储。由于对称性，带宽的一半称为半带宽。,32,.,A,B,从,A,到,B,之间的元素个数叫做刚度矩阵的最大带宽，一半称为半带宽，而半带宽与单元节点号的编号差有关，编号差越大带宽越大，所以编号时尽可能使每个单元的节点编号差尽可能小，一般当一个构件较长时，应先顺着较窄方向编号，再沿较长向编,33,.,
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