应用统计学第6章置信区间估计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本章教学目标：,(1)单个正态总体均值和方差的区间估计。,(2)总体比例的区间估计。,(3)均值和比例置信区间估计中的样本容量确定。,(4)两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。,(5)单侧置信区间估计。,第6章 置信区间估计,1,2,由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。,参数的区间估计就是在给定的可信度下，估计未知参数的可能取值范围。,设,为总体分布的未知参数，,若由样本确定的,两,个统计量,和,对给定的概率,(,0,Z,=,0,f,(x),x,z,1-,二.总体均值,的区间估计,如图所示，,(,Z,)=1-,，,因此，,可由正态分布表,得到,Z,。,如：要查,Z,0.025,，,由正态分布表可查得：,(1.96,)=0.975=1-0.025，,故,Z,0.025,=1.96,11,由正态分布的性质可得,对给定的置信度1-,，,0,f,(x),x,z,/2,/2,-z,/2,/2,1-,N,(0,1),由此可得,从而,的置信度为 1-,的,置信区间为,为便于记忆和理解，将,的置信区间表示为如下形式：,2.,2,已,知时总体均值,的区间估计,有,其中,d,称为估计的,允许误差,。,12,可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回,Z,。,语法规则如下：,格式：NORMSINV(1-,),功能：返回,Z,的值。,说明：NORMSINV(,),返回的是,Z,1-,的值。,用 Excel 求,Z,13,3.,t,分布,设,X,N,(0,1)，,Y,2,(,n,)，,且,X,与,Y,相互,独立，,则随机变量,服从自由度为,n,的,t,分布,，,记为,t,t,(,n,)。,14,t,分布密度函数的图形,标准正态分布分布是,t,分布的极限分布。,当,n,很大时，,t,分布近似于标准正态分布。,x,f,(,x,),0,n,=1,n,=4,n,=10,n,=，,N,(0,1),15,0,x,f,(,x,),t,分布的右侧,分位点,t,(,n,),t,(,n,),为,t,分布中满足下式的右侧,分位点：,P,t,t,(,n,),=,由,给定的概率,，可查表得到,t,(,n,)。,由,t,分布的对称性，可得：,t,1-,(,n,)=-,t,(,n,),。,t,(,n,),t,1,-,(,n,),=,-,t,(,n,),16,可用 Excel 的统计函数 TINV 返回,t,(,n,)。,语法规则如下：,格式：TINV(2,n,),功能:返回,t,(,n,)的值。,说明：TINV(,n,)返回的是,t,/2,(,n,)的值。,用 Excel 求,t,/2,(,n,),17,4,.,2,未知时总体均值,的区间估计,t,(,n,-1),设总体,X,N,(,2,)，,和,S,2,分别为样本均值和样本方差。,由此可得,的置信度为 1-,的,置信区间为,因此，对给定的置信度 1-,，,有,即,X,1,X,2,X,n,为,X,的容量为,n,的样本，,可以证明,：,18,用样本比例代替总体比例,，,设总体比例为,P,，,则当,nP,和,n,(1-,P,)都大于5时，,样本成数,p,近似服从均值为,P,，,方差为,P,(1-,P,)/,n,的正态,分布。,从而,对给定的置信度1-,，,由,可得总体成数,P,的置信度,为 1-,的,置信区间为,6.2 总体比例的区间估计,19,【例3】,求例,1中元件平均寿命,的95%置信区间,。,故所求,的 95%置信区间为,解：,由例1，,/2=0.025，,=1423.1，,S,=196.5，,=1-0.95=0.05，,n,=10，,查表得,t,0.025,(9)=2.2622,可用 Excel 的【工具】“数据分析”“描述统计”,求解正态总体均值,的置信区间。,20,课堂练习2：,某车床加工的缸套外径尺寸,X,N,(,2,)，,下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺寸(mm)，,90.01，90.01，90.02，90.03，89.99,89.98，89.97，90.00，90.01，89.99,（，）,求,的置信度为95%的置信区间；,21,【,例4】,某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间。,解,：产品次品率为比例，,=1-0.95=0.05，,/2=0.025，,n,=300,，查表得,Z,0.025,=1.96，,样本成数,该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为,22,案例思考题,国外民意调查机构在进行民意调查时，通常要求在95%的置信度下将调查的允许误差(即置信区间的,d,值)控制在3%以内。,问为满足该调查精度要求，至少需要多大的样本？,如果要求置信度达到99%，调查误差仍为3%，此时至少需要多大的样本？,23,案例思考题解答(1),本案例中，,故需要的样本容量至少为,24,案例思考题解答(2),如果要求置信度达到99%，则,Z,/2,=,Z,0.005,=2.575，,25,6.3 样本容量确定,前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下求置信区间。但在实际应用中，应当在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量。,抽取的样本容量过大，虽然可以提高统计推断的精度，但将增加不必要的人力、物力、费用和时间开支；,如果抽取的样本容量过小，则又会使统计推断的误差过大，推断结果就达不到必要的精度要求。,确定样本容量的原则,在满足所需的置信度和允许误差条件(置信区间的,d,值)下，确定所需的最低样本容量。,26,1.总体均值区间估计时样本容量的确定,在给定置信度和允许误差,d,的条件下，由,可得,其中总体标准差或样本标准差也是未知的，通常可以先通过小规模抽样作出估计。,由于使用的是近似公式，可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大。,27,【例6】,在例,3 元件平均寿命的区间估计问题中，要求,在95%的置信度下，使估计的允许误差不超过其平均寿命的10%，并设已得到例1的先期抽样数据。求所需的最低样本容量。,其他条件不变，在99%的置信度下求所需最低样本容量。,解,：由例1，,S,=196.5，,d,=1423/10=142.3,可知取,n,=10 已能满足所给精度要求。,可知此时取,n,=20 就能满足所给精度要求。,在总体均值的区间估计中，通常,n,=30 就称为,大样本,。,在大样本时，无论总体服从什么分布，都可用前述公式进行区间估计,。,28,2.总体比例区间估计时样本容量的确定,其中样本成数,p,同样可先通过小规模抽样作出估计，也可根据其他信息估计，或取 0.5。,29,【例7】,某企业要重新制定产品抽样检验的规范。已知过去检验的次品率在3.6%左右，现要求允许误差不超过2%，置信度为95%。问每次至少应抽查多少产品？,解,：由题意，要推断的是总体成数，,p,=0.036，1-,p,=0.964，,d,=0.02，,=0.05，,z,/2,=,z,0.025,=1.96,故每次至少应抽查 334 件产品。,由此可知，在总体比例的区间估计问题中，要达到一定的精度要求，样本,容量至少要在几百以上。,30,【例5】,(1)求例1中元件平均寿命的95%置信下限。,(2)求元件寿命方差的95%置信上限。,解,:(1),从而,的,单侧,1-,置信下限为,本例中，,t,0.05,(9)=1.8331，故所求置信下限为,196.5/,该在95%的置信度下，该元件的平均寿命大于1309.2小时。,=1390.2,可得,由,6.4 单侧置信限的区间估计,31,同理可得,2,的置信度为 1,-,的单侧置信上限为,本例中，,故所求,2,的95%置信上限为,9,196.5,2,/3.325=323.3,2,(小时,2,),由以上分析可知，求单侧置信限与求双侧置信限的差别仅在于用相应分布的右侧,分位点代替双侧区间估计公式中的右侧,/2 分位点。,解(2),：,2,的,置信,上限,32,区间估计小结,P,2,2,已知,2,未知,双侧,双侧,双侧,双侧,单侧上限,单侧上限,单侧下限,单侧下限,33,