定积分的换元积分法与分部积分法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 定积分的换元积分法与分部积分法,一、定积分的换元积分法,二、定积分的分部积分法,一、定积分的换元积分法,定理,1,设函数,单调函数,满足:,证,:,所证等式两边被积函数都连续,故积分都存在,且它们的原函数也存在,.,是,的原函数,因此有,则,则有,=4-2ln3,说明,1),当,0)，,证明：,证明,由此可得：,1),若,f,(,x,),为偶函数,f,(,x,),=f,(,x,),则有,2),若,f,(,x,),为奇函数,f,(,x,),=,f,(,x,),则有,注意,计算在对称于原点的区间上的定积分时利用这两个公式常能带来很大的方便.,课本,Page229,例9,计算下列定积分,解,原式,2),计算,解,原式,单位圆的面积,课本,Page229,证,思考与练习,解,令,2,、,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,定理,2,则,证,例1,计算,解,例2,计算,解,例3,计算,解,例4,计算,解,例5,设 求,解,例6,证明定积分公式,为正偶数,为大于1的正奇数,课本,Page215,注意,此公式在定积分的计算中很有用.,证,递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,例7,计算,解,例8,计算,解,一般地有,：,例9,解,1、定积分的换元法,三、小结,1)用凑微分法时，若没有引入新变量，则不必换限,.,2)作变换,x=,(,t,)时,(,t,)在积分区间上应单调且有连续导数,同时还应注意,换元必换限,.,3、一些特殊积分及公式等式.,2、定积分分部积分法,应该边积分边代积分限.,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,例5,计算,解,原式,例5,计算,解,例6,求函数 在,1,e,上,的最大值与最小值,.,解,故,f,(,x,),在,1,e,上单调增加,故最小值为,最大值为,