概率论与数理统计第6讲

,概率论与数理统计,第六讲,连续型随机变量,X,所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样,指出其取各个值的概率，给出概率分布。而是用“概率密度函数,”,表示随机变量的概率分布。,2.3,连续型随机变量,例1：,某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位:mm)如下:,2.3.1 频率,直方图,129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.,这100个数据中，最小值是,128,，最大值是,155,。,128,155,作频率直方图的步骤,(1).,先确定作图区间,a,b,;,a,=最小数据,-,/2，,b,=,最大数据+,/2，,是数据的精度。,本例中,=1,a,=127.5,b,=155.5。,(2).确定数据分组数,m,=1.87(n1),2/5,+1，,组距,d,=(,b a,)/,m,，,子区间端点,t,i,=,a,+,i d,i,=0,1,m,；,(3).,计算落入各子区间内观测值频数,n,i,=,#,x,j,t,i,1,t,i,)，,j,=1,2,n,，,频率,f,i,=,n,i,/,n,，,i,=1,2,m,；,子区间,频数,频率,(127.5,131.5),6,0.06,(131.5,135.5),12,0.12,(135.5,139.5),24,0.24,(139.5,143.5),28,0.28,(143.5,147.5),18,0.18,(147.5,151.5),8,0.08,(151.5,155.5),4,0.04,(4).以小区间,t,i-1,，,t,i,为底，,y,i,=,f,i,/,d,(,i=1,2,m,)为高作一系列小矩形，组成了频,率直方图，简称直方图。,由于概率可以由频率近似，因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。,用上述直方图刻画随机变量,X,的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画,X,的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数,同时将数据分得更细一些。当数据越来越多,分组越来越细时,直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,这条曲线称为,随机变量X的概率密度曲线,，,可用来准确地刻画,X,的概率分布情况。,2.3.2 概率密度函数,定义1：,若存在非负可积函数,f,(,x,),使随机变量,X,取值于任一区间(,a,b,的概率可表示成,则称,X,为连续型随机变量，,f,(,x,)为,X,的概率密,度函数，简称,概率密度,或,密度,。,这两条性质是判定函数,f,(,x,)是否为某随机变量,X,的概率密度函数的充,要条件。,密度函数的性质,f,(,x,)与,x,轴所围,面积等于1。,若,x,是,f,(,x,)的连续点，则,=,f,(,x,)，,(3).对,f,(,x,)的进一步理解：,故,X,的概率密度函数,f,(,x,)在,x,这一点的值,恰好是,X,落在区间,x,x,+,x,上的概率与区间长度,x,之比的极限。这里,如果把概率理解为质量，,f,(,x,)相当于物理学中的线密度。,需要注意的是：,概率密度函数,f,(,x,)在点,a,处取值，不是事件,X,=,a,的概率。但是，该值越大，,X,在,a,点附近取值的概率越大。,若不计高阶无穷小，有：,表示随机变量,X,取值于(,x,x,+,x,上的概率近似等于,f,(,x,),x,。,f,(,x,),x,在连续型随机变量中所起的作用与,p,k,=,P,X,=,x,k,在,离散型随机变量中所起的作用类似。,(4),.连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.,即：,a,为任意给定值。,这是因为：,由此得,，,对连续型 随机变量,X,有,由,P,(,X,=,a,)=0，可推出,而,X=a,并非不可能事件,可见：,由,P,(,A,)=0,不能推出 A=,；,并非必然事件。,由,P,(,B,)=1,不能推出,B=,。,2.3.3 常见的连续型随机变量,正态分布、均匀分布、指数分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称,高斯分布,。,1.正态分布,这条红色曲线近似我们将要介绍的,正态分布,的概率密度曲线。,I.正态分布的定义,定义：,若随机变量,X,的,概率密度函数为,记作,f,(,x,),所确定的曲线叫作,正态曲线,。,(Normal),其中,和,都是常数，,任意，,0，则称,X,服从参数为,和,的正态分布。,II.正态分布 的图形特点,特点,“两头低，中间高，左右对称”,。,正态分布的密度曲线是一条关于,X,=,对称的,钟形曲线,。,正态分布 的图形特点,决定了图形的中心位置,决定了图形峰的陡峭程度。,故,f,(,x,),以,x,=,为对称轴，并在,x,=,处达到最大值:,令,x,1,=,+,c,x,2,=,-,c,(,c,0),分别代入,f,(,x,),得,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)，,且,f,(,+,c,),f,(,)，,f,(,-,c,),f,(,).,这说明：曲线,f,(,x,),向左右伸展时，越来越贴近,x,轴。即,f,(,x,),以,x,轴为渐近线。,当,x,时，,f,(,x,),0,。,用求导的方法可以证明：,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标。,x=,III.正态分布 的分布函数,IV.标准正态分布,称,N,(,0,1),为标准正态分布，其,密度函数和分布函数常分别用,来,表示。,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，,任何一个,一般的正态分布都可以通过线性变换转化为,标准正态分布。,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理1：,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算问题。,V.正态分布表,表中给出的是,x,0时，(,x,),的取值;,若,X,N,(0,1),服从,N,(0,1),例,1：,假设某地区成年男性的身高(单位:cm),X,N,(,170,7.,69,2,),求该地区成年男性的身高超过,175cm,的概率。,解:,根据假设,X,N,(,170,7.,69,2,)，知,事件,X,175 的概率为,解:,设车门高度为,h,，,按设计要求,P,(,X h,)0.01，,或,P,(,X,h,),0.99，,下面我们来求满足上式的最小的,h,。,例2：,公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的。,设某地区成年男性身高,(,单位:,cm),X,N,(170,7.692),问车门高度应如何确定?,因为,X,N,(,170,7.,69,2,),求满足,P,(,X,h,),0.99,的最小,h,。,故，当汽车门高度为,188,厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过,0.01,。,若,随机变量,X,的概率密度为：,则称,X,服从区间,a,b,上的均匀分布，记作：,X,U,a,b,2.均匀分布(Uniform),(,注:有时也记作 X U(,a,b,),)。,若,X,U,a,b,，则对于满足,a,c,d,b,的,c,和,d,，总有,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。,定义：,若随机变量,X,具有概率密度,3.,指数分布,则称,X,服从参数为,的指数分布,，记成,X,E(,)。,例3：,设某电子管的使用寿命,X,(单位：小时)服从参数,=0.0002的指数分布，求,电子管使用寿命超过3000小时的概率。,解：,2.3.4 随机变量的分布函数,定义2:,设,X,(,),是一个随机变量，称函数,F,(,x,)=P,X,x,-,x,为随机变量,X,的分布函数,。,分布函数的性质,(1).,a,b,总有,F,(,a,),F,(,b,)(单调非减性)；,(2).,F,(,x,),是一个右连续函数；,(3).,x,R,，总有0,F,(,x,)1(有界性)，且,证明：,仅证(1)。,因,a,a,=,X,b,-,X,a,，,而,X,a,X,b,，所以,P,a,X,b,=,P,X,b,-,P,X,a,=,F,(,b,),-,F,(,a,).,又,，因,P,a,X,b,0，,故,F,(,a,),F,(,b,).,注意：,上述证明中我们得到一个重要公式:,P,a,X,b,=,F,(,b,),-,F,(,a,).,它表明随机变量落在区间(,a,b,上的概率可以通过分布函数来计算。,设离散型随机变量,X,的概率分布为,p,k,=,P,X,=,x,k,k,=1,2,X,的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,所以，离散型随机变量的,分布函数,F,(,x,),是一个右连续的函数，在,X,=,x,k,(,k,=1,2,)处有跳跃值,p,k,=,P,X,=,x,k,，如下图所示。,P29，例中,X,的分布函数为,连续型,随机变量,的分布函数,即分布函数是密度函数的变上限积分。,由上式，得：,在,f,(,x,)的连续点，有,若,X,是连续型随机变量，,f,(,x,)是,X,的,密度函数，F(,x,)是分布函数，则对任意,x,R,，总有,求连续型随机变量的分布函数,例4：,设随机变量,X,的密度函数,解：,求,F,(,x,).,对,x,1，有,F,(,x,)=1.,即,本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续型随机变量：,正态分布，均匀分布,和,指数分布,；最后介绍随机变量的分布函数。分别讨论了离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，,连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。,小结,