数学三角形的角平分线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,13.3 三角形的角平分线,复习提问,1、角平分线的概念,2、,点到直线距离的意义,。,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,从直线外一点,到这条直线的,垂线段,的长度,，,叫做,点到直线的距离,。,下列两图中，能表示直线l,1,上一点P到直线l,2,的距离的是（）,图1,图2,B,P,A,l,1,l,2,PA,下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（）,PM,如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,探究1：,A,C,D,B,E,A,O,仔细观察步骤,尺规作角的平分线,A,B,O,A,O,E,B,C,P,D,将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2：,已知：如图，OC是的,AOB,的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,C,证明：PDOA，PEOB（已知）,PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中,PD=PE,（全等三角形的对应边相等）,PDO=PEO AOC=BOC OP=OP,PDO PEO,（AAS）,问题探究,A,B,O,D,E,P,C,角平分线的性质1：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,B,A,D,O,P,E,C,性质应用所具备的条件,：,（1）角的平分线；,（2）点在该平分线上；,（3）垂直距离。,性质的作用：,证明线段相等。,性质的书写格式,：,OP 是 的平分线,PD=PE,（,在角的平分线上的点,到这个角的两边的距离相等。,）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,1.如图，AD平分BAC（已知）,=,，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,练习：,2.如图，DCAC，DBAB （已知）,=,，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,3.AD平分BAC,DCAC，DBAB （已知）,=,，（）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,4.ABC中,C=90,0,AD平分 CAB,且,BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少,？,A,B,C,D,E,5.如图所示，,ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD,AB于D，MEAC于E。求证：MD=ME。,如图，由 于点 D，于点 E，,PD=PE,，可以得到什么,结论,？,OB,PE,PD,OA,议一议,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,已知：如图，,，垂足分别是,A、B，,PD=PE,，,求证：点P在 的角平分线上。,B,A,D,O,P,E,到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。,已知：如图，垂足分别是,D、E，,PD=PE,，,求证：点P在 的角平分线上。,证明：,作射线OP,点P在 角的平分线上,在,RtPDO,和,RtPEO,中，,（,HL,）,（,全等三角形的对应角相等,）,OP =OP（,公共边,）,PD =PE （,已 知,）,性质 2,B,A,D,O,P,E,性质 2的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD=PE,（,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上,）,D,E,O,P,A,B,性质 1,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,性质 2,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,B,A,D,O,P,E,C,PD=PE,OP 是 的平分线,OP 是 的平分线,PD=PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,(1).1=2,DCAC,DEAB,_,(_),(2).DCAC,DEAB,DC=DE,_,(_ _),A,C,D,E,B,1,2,1=2,DC=DE,到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。,角平分线上的点到角的两边的距离相等,随,练习,堂,A,N,B,C,P,M,知识应用,1.,如图，ABC的角的平分线BM，,CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，,CA的距离相等.,想一想，点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(),A.一处 B.两处,C.三处 D.四处,3.如图所示，PB,AB，PCAC，且PB=PC，D是AP上一点。求证：BDP=CDP,小 结：,3 角的平分线的性质定理1，定理2是,证明角相等，线段相等,的新途径。,定理1,多用于证明,线段相等,，,定理2,多用于,证明角相等或点在角平分线上。,1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,再见,