三角函数复习课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高中三角函数复习,一、角的概念及任意角三角函数,1.角的概念,(1)正角、负角和零角：按,时针方向旋转所形成的角叫,；按,时针方向旋转所形成的角叫,；没有作任何旋转，称它形成一个,角,负角,正角,零,逆,顺,2.象限角与终边相同的角的表示:,(1)象限角：使角的顶点与,重合，角的始边与,重合，角的终边落在第,象限，就说这个角是第,象限角,原点,x,轴的非负半轴,几,几,|=2k+,kZ或|=360k+,kZ(,终边相同),x轴正半轴,=2k,kZ,x轴负半轴,=2k+,kZ,2,y轴正半轴,=2k+ ,kZ,y轴负半轴,=2k+ ,kZ,3,2,2,2k+,2k ,kZ,终边相同的角,轴线角,象限角,2k+ 2k+2,kZ,3,2,2k+2k+ ,kZ,3,2,2k+ 2k+,kZ,2,(2)与角,终边相同的角的集合：,一、角的概念及任意角三角函数,|,2,k,，,k,Z,3.角的度量:,【思考探究】,(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？,(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90的角是锐角吗？,提示：,(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍,(2)第一象限角不一定是锐角，如390，300都是第一象限角，但它们不是锐角,小于90的角也不一定是锐角，如0，30，都不是锐角,1终边与坐标轴重合的角,的集合为(),A,|,k,360，,k,Z,B,|,k,180，,k,Z,C,|,k,90，,k,Z,D,|,k,18090，,k,Z,C,练习一,(3题),2.2弧度的圆心角所对弦长为2，则这个扇形的面积为_。,A,O,B,3.(1)将570用弧度制表示出来，并指出它所在的象限,(2)将 用角度制表示出来，并在7200之间找出与它有相同终边的所有角,(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；,(2)已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积,代入,得,r,2,5,r,40，,解之得,r,1,1，,r,2,4.,当,r,1 cm时，,l,8(cm)，,此时，,8 rad2 rad舍去；,当,r,4 cm时，,l,2(cm)，,此时，, rad.,(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；,(2)已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积,已知一扇形的圆心角是,，半径为,R,，弧长,l,.,(1)若,60，,R,10 cm，求扇形的弧长,l,.,(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角,为多少弧度时，这个扇形的面积最大？,【变式训练】,(1)定义：任意角,的顶点在坐标原点，始边与,x,轴的非负半轴重合，终边上任意一点,P,(,x,，,y,)到原点的距离为,r,则,4任意角的三角函数,一、角的概念及任意角三角函数,(3)三角函数的定义域,正弦函数,y,sin,的定义域：,余弦函数,y,cos,的定义域：,正切函数,y,tan,的定义域：_,|,R,|,R,.P,O,x,y,(2)三角函数的符号如图所示：即：_,一全正，二正弦，三两切，四余弦,(5)特殊角的三角函数值:,sin,cos,tan,cot,0,6,4,3,2,3,2,2,(4) 三角函数线:,正弦线MP、余弦线OM、,正切线AT、(余切线),O M,A,P,T,x,y,0,1,2,2,2,3,3,2,2,3,2,3,2,3,3,1,0,-1,1,0,1,2,1,0,不存在,不存在,-1,0,0,不存在,0,0,1,0,不存在,不存在,0,1,3,3,一、角的概念及任意角三角函数,已知角,的终边在直线3,x,4,y,0上，求sin,，cos,，tan,的值,已知角,的终边在直线3,x,4,y,0上，求sin,，cos,，tan,的值,【变式训练】,1.已知角,的终边上有一点,P,(,x,，1)(,x,0)， 且tan,x,，求sin,，cos,.,练习二(6题),B,D,4.函数y= 的值域是_,3,-1,1.若角,满足条件sin2,0，cos,sin,0,则,在(),A第一象限 B第二象限,C第三象限 D第四象限,B,6.,利用单位圆写出符合下列条件的角,x,的范围,B,二、同角三角函数基本关系式,1.关系式,(三倒二商三平方):,(1)sin,csc=1;cossec=1;tancot=1,(2)tan= ; cot=,(3),sin,2,+cos,2,=1;1+tan,2,=sec,2,;1+cot,2,=csc,2,cos,sin,sin,cos,2.利用上述关系,可以解决以下问题:,(1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值;,(2)化简某些三角函数式;,(3)证明某些三角恒等式.,解:,sin,cos= ,而,sin,2,+cos,2,=1,(cos-sin),2,=,sin,2,+cos,2,-2,sin,cos,=1- =,又 cos, cos-sin=,-,1,8,1,4,3,4,2,4,3,2,例:已知sin,cos= ,且 ,则cos-sin=_.,1,8,4,2,2.已知tan,= ,则 =_.,cos,+sin,cos,-sin,2,提示:,显然cos,0,分子分母同除以,cos,后代入即得,1.已知,是第三象限角,则,sec,1+tan,2,+tansec,2,-1=( ),(A)1 (B)1 (C)-1 (D)以上都不对,3.已知:,(0, ),化简1+2sincos-1-2sincos.,2,-3-2,2,C,解:,原式=,(sin+cos),2,-(sin-cos),2,=|sin+cos|-|sin-cos|,当0 时,0sincos;,当 时,0cos0,0时,A称为该函数的,振幅,2,=T称为函数的,周期,(为角速度),x+,称为函数的,相位,称为函数的,初相,.,(2)当A0,0,xR时,y=Asin(x+)的图象,可以看作把y=sinx,的图象上的所有的点向左(当0)或向右(1),或伸长,(01),或,缩短,(0A0,A0)的图象如右,则函数的解析式为_.,y,x,O,-,(0,- ),3,5,2,-,5.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.,B,D,3,-1,y=2sin( + ),2x,3,5,3,答案,:(1)定义域(k,- ,k+ )(kZ);值域y|y0;,(2)偶函数;(3)在,(k,- ,k,在,k,k+ ),(kZ),4,4,4,4,(五)方法指导,1.坐标法 2.主元法 3.递归法,4.几何模型法 5.图象变换法,3.递归法:,(1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数.,(2)诱导公式中的,角为任意角,确定符号时当锐角处理.,(3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.,1.坐标法,(数形结合法的表现):,角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的,内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.,2.主元法:,当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中,一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进,行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成:,化同名,化同角,切割常化弦.,返 回,证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图).,依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即,为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇,形OAP的面积,有S,OMP,S,扇形OAP,S,OAT,再据三角形及扇形面积计算得:MP弧长AP0,0)的图象作法,除了,用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换).,O M,A,P,T,x,y,例:已知,(0,90),求证:sintan.,(六)注意问题,1.区分“角” 2.判断符号 3.恒等变换,4.活用公式 5.由形察数 6.对称问题,1.区分“角”:,主要指,当角相同时,三角函数值相等,;而当,三角函数值,相等时,角不一定相等,!特别是,终边相同的角并不就是相,同的角,!初学三角函数时常会把它们混在一起.,2.判断符号:,一指,诱导公式,中各符号的判断;二指利用“一倒二商三,平方”的 “,平方关系,”求值时,需根据角的范围来确定平方,根号前的“+”或“-”号.,如:sin,=0.5,(360,450),则=390,千万,不能写成了30!如果用弧度制写更易出错!,返 回,3.恒等变换:,主要指在,化简或证明,过程中,必须在定义域上对式子进行,保“值”变“形”,避免会改变定义域的变换.,4.活用公式:,在化简求值等变形中,要合理决定变换的简捷程序,善于,观察角,如x+30,和60-x互余,x+45与135-x互补等.,例:函数y= 在x,(- , )时为奇函数,而,在xR时却是非奇非偶函数,原因即在此.,1+sinx-cosx,1+sinx+cosx,2,2,5.由形察数:,这是数形结合思想的一个方面.既可从图形中发现一些函数性质,又可从图形中得到函数解析式.,6.对称问题:,函数y=Asin(,x+,)的,对称轴,可由图象的直观性得到,为“过最高,(低)点且与x轴垂直的直线”,即,x=,(kZ).,又令,x+,=k,就得到函数图象的,对称中心,是点,(,0)(kZ).,k+ -,2,k-,试做一题,题,:下面函数中, 图象以直线x= 为对称轴的是( ),(A)y=sin,x (B)y=cosx (C)y=tanx y=cotx,1,2,解,:y=sin,x的对称轴由x=k+ 得到,即x=k+ ,(kz),令k=0,即得x= ;,y=cosx的对称轴由x=k得到,即x=k,(kz);,而y=tanx和y=cotx的图象都不是轴对称图形.,故选,(A),2,2,1,2,1,答案为-1,你做对了吗?,注,:若把这种题变形,出这样一道题,看会不会做:,如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-,对称,那么a=_.,8,返 回,这章又结束了，你学到了什么？,再过一遍看看！,任意角,三角函数,基本,关系式,诱导公式,图象性质,注意问题,方法指导,1.角的概念 2.三角函数,1.关系式 2.应用,1.常用的六组诱导公式,2.利用诱导公式求任意角的,三角函数值,1.函数的图象与主要性质,2.周期函数,3.,正弦型函数y=Asin(,x+,),的一些概念、性质,1.坐标法 2.主元法 3.递归法,4.几何模型法 5.图象变换法,1.区分“角” 2.判断符号 3.恒等变换,4.活用公式 5.由形察数 6.对称问题,返回,首页,结束 放映,返 回,题：已知,是第二象限角,那么-,、 、,各是第几象限角?,解,:,为第二象限角,2k+ 2k+ (kZ),-2k-2k- (kZ),即-是第三象限角.,又k+ 0,A0),的图象如右,则函数的解析式为_.,y,x,O,-,(0,- ),3,5,2,-,注:,利用图象的直观性结合y=Asin(,x+)曲线的特征,确定A、的值,是理解曲线与图象位置关系的,重要内容,可培养数形结合、待定系数法解题思想.,返 回,(3)由cosx的单调性、定义域及复合函数单调性,得: 当2k- 0, 得:2k,- 2x2k+ (kZ),定义域为x|k- xk+ ,kZ,又0cos2x1,y0,即值域为y|y0.,2,2,4,4,题,:已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;,(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.,(2)f(-x)=log0.5cos(-2x)=log0.5cos2x=f(x),(x)是偶函数.,返 回,