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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数同济六版,*,目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第,三,章,11/28/2024,高数同济六版,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(,或 型,),本节研究,:,洛必达法则,洛必达,11/28/2024,高数同济六版,一、,存在,(,或为,),定理,1.,型未定式,(,洛必达法则,),11/28/2024,高数同济六版,(,在,x,a,之间,),证,:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以,x,a,为端点的区间上满足柯,故,定理条件,:,西定理条件,存在,(,或为,),11/28/2024,高数同济六版,推论,1.,定理,1,中,换为下列过程之一,:,推论,2.,若,理,1,条件,则,条件,2),作相应的修改,定理,1,仍然成立,.,洛必达法则,定理,1,11/28/2024,高数同济六版,例,1.,求,解,:,原式,注意,:,不是未定式不能用洛必达法则,!,洛,洛,11/28/2024,高数同济六版,例,2.,求,解,:,原式,思考,:,如何求,(,n,为正整数,)?,洛,11/28/2024,高数同济六版,二、,型未定式,存在,(,或为,),定理,2.,证,:,仅就极限,存在的情形加以证明,.,(,洛必达法则,),11/28/2024,高数同济六版,1),的情形,从而,11/28/2024,高数同济六版,2),的情形,.,取常数,可用,1),中结论,11/28/2024,高数同济六版,3),时,结论仍然成立,.,(,证明略,),说明,:,定理中,换为,之一,条件,2),作相应的修改,定理仍然成立,.,定理,2,11/28/2024,高数同济六版,例,3.,求,解,:,原式,例,4.,求,解,:,(1),n,为正整数的情形,.,原式,洛,洛,洛,11/28/2024,高数同济六版,例,4.,求,(2),n,不为正整数的情形,.,从而,由,(1),用夹逼准则,存在正整数,k,使当,x,1,时,11/28/2024,高数同济六版,例,4.,例,3.,说明,:,1),例,3,例,4,表明,时,后者比前者趋于,更快,.,例如,事实上,用洛必达法则,2),在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决,计算问题,.,11/28/2024,高数同济六版,3),若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则,!,即,11/28/2024,高数同济六版,三、其他未定式,:,解决方法,:,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例,5.,求,解,:,原式,洛,11/28/2024,高数同济六版,解,:,原式,例,6.,求,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,洛,11/28/2024,高数同济六版,例,7.,求,解,:,利用 例,5,例,5,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,11/28/2024,高数同济六版,例,8.,求,解,:,注意到,原式,洛,11/28/2024,高数同济六版,例,3,例,9.,求,法,1.,直接用洛必达法则,.,下一步计算很繁,!,法,2.,利用例,3,结果,.,原式,例,3,例,3,11/28/2024,高数同济六版,内容小结,洛必达法则,11/28/2024,高数同济六版,思考与练习,1,.,设,是,未定式极限,如果,是否,的极限也不存在,?,举例说明,.,极限不存在,说明,3),原式,分析,:,说明,3),11/28/2024,高数同济六版,分析,:,3.,原式,洛,11/28/2024,高数同济六版,则,4.,求,解,:,令,原式,洛,洛,11/28/2024,高数同济六版,作业,P138,1,(6),，,(7),，,(9),，,(12),，,(13),，,(16),*,4,第三节,11/28/2024,高数同济六版,洛必达,(,1661,1704,),法国数学家,他著,有,无穷小分析,(,1696),并在该书中,提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“洛必达法,的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降,线”问题,在他,去世后的,1720,年出版了他的关于圆,锥曲线的书,.,则”,.,他在,15,岁时就解决了帕斯卡提出,11/28/2024,高数同济六版,求下列极限,:,解,:,备用题,洛,11/28/2024,高数同济六版,则,原式,=,解,:,令,(,用洛必达法则,),(,继续用洛必达法则,),11/28/2024,高数同济六版,解,:,原式,=,第三节,洛,11/28/2024,高数同济六版,
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