高中数学-用二分法求方程的近似解

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,研修班,*,3.1.2.,用二分法求方程的近似解,学习目标,1,、,理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解,2,、,体验求方程近似解的二分法的探究过程，感受方程与函数之间的联系，初步认识算法化的形式表达,2024/11/28,2,研修班,学习导图,归纳求函数零点的一般步骤,巩固练习,作 业,解方程：,探究函数 零点的近似解,求方程 的近似解,2024/11/28,3,研修班,由表,3-1,和图,3.13,可知,f(2)0,，,即,f(2)f(3)0,，,说明,由于函数,f(x),在定义域,(0,+),内是增函数，所以,它仅有一个零点。,解：用计算器或计算机作出,x,、,f(x),的对应值表（表,3-1,）,和图象（图,3.13,）,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,f,（,x,）,.,.,.,.,.,.,.,.,.,x,0,2,4,6,10,5,y,2,4,10,8,6,12,14,8,7,6,4,3,2,1,9,函数在区间,(2,3),内有零点,2024/11/28,4,研修班,学习过程,问题,一、解方程：,如何找出在区间 内的这个零点,?,1.,对于简单方程，可以通过变形、换元或套用公式求解,2.,实际问题中，一般只需要求出符合一定精确度的近似解,3.,将求方程近似解的问题转化为求相应函数零点的近似值问题,2024/11/28,5,研修班,问题,方程近似解,(,或函数零点的近似值,),的精确度与函数零点所在范围的大小有何关系,?,1.,若知道零点在,(2,50,，,2,53),内，我们就可以得到方程的一个精确到,0,1,的近似解,2.50,；,2.,若知道零点在,(2,515,，,2,516),内，我们就可以得到方程的一个更为精确近似解，等等,求方程近似解的问题,(,或函数零点的近似值,),不断缩小零点所在范围,(,或区间,),的问题,2024/11/28,6,研修班,问题,如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越小的区间，以使零点仍在此区间内,?,从上海到美国旧金山的海底电缆有,15,个接点，现在某接点,发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般,至少需要检查接点的个数为,个,上海,旧金山,A B C D E F G H I J K L M N O,为了缩小零点所在的范围，一般可以先将区间分为两个子区间，如果分点不是零点，则零点必在两个中的一个内，从而达到缩小零点所在区间的目的,2024/11/28,7,研修班,问题,将一个区间分为两个区间，该找怎样的分点,?,取中点,对于一个已知的零点所在区间,(a,，,b),，取中点 ，,计算 ，根据零点所在范围的判断方法，如果这个函数值为,0,，那么中点就是函数的零点；如果不为,0,，通过比较中点与两个端点函数值的正负，即可判知零点是在 内，还是在 内，从而将零点所在范围缩小了一半,2024/11/28,8,研修班,问题,2024/11/28,9,研修班,(a,，,b),中点,x,1,f(a,),f,(,x,1,),(2,3),2.5,负,-0.084,(2.5,3),2.75,负,0.512,(2.5,2.75),2.625,负,0.215,(2.5,2.625),2.5625,负,0.066,(2.5,2.5625),2.53125,负,-0.009,(2.53125,2.5625),2.546875,负,0.029,(2.53125,2.546875),2.5390625,负,0.010,(2.53125,2.5390625),2.53515625,负,0.001,|2.5390625,2.53125|=0.00781250,01,f(b,),正,正,正,正,正,正,正,正,精确度已达到,0,01,2024/11/28,10,研修班,结论,1.,通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值,2.,给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如,0,01,时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值,3.,本题中，如在精确度为,0,01,的要求下，我们可以将区间,(2.53125,2.5390625),内的任意点及端点作为此函数在区间,(2,，,3),内的零点近似值,4.,若再将近似值保留两为小数，那么,2,53,，,2,54,都可以作为在精确度为,0,01,的要求下的函数在,(2,，,3),内的零点的近似值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近似值，即,2,53125,2024/11/28,11,研修班,象这种运用,缩小零点所在范围,的方法在数学和计算机科学上被称为,二分法,二分法的实质,就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点,对于在区间,a,，,b,上连续不断且 的函数 通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,2024/11/28,12,研修班,概括利用二分法求函数 零点的近似值的步骤,1,确定区间,a,，,b,，验证 ，给定精确度,2,求区间,(a,，,b),的,中点,c,3,计算,f(c,),(1),若,f(c,)=0,，则,c,就是函数的零点,(2),若 ，则令,b=0,（此零点 ）,4,判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值,a(,或,b),；否则重复步骤,2-4,(3),若 ，则令,a=0,（此时零点 ）,2024/11/28,13,研修班,求方程 的近似解,(,精确到,0,1,),解,易知：,f(1)0,取,x=1.5,，计算,f(1.5)0.330,取,x=1.25,，计算,f(1.25)-0.870,取,x=1.375,，计算,f(1,375)-0.280,原方程的近似解取为,1.4375,2024/11/28,14,研修班,P92,习题,A,组第,3,题,借助计算器或计算机，用二分法求方程 在区间,(-1,0),内的近似解,(,精确度,0.1),解,易知：,f(-1)0,取,x=-0.5,，计算,f(-0.5)3.3750,取,x=-0.75,，计算,f(-0.75)1.580,取,x=-0.875,，计算,f(-0.875)0.390,取,x=-0.9375,，计算,f(-0.9375)-0.280,原方程的近似解取为,-0.9375,2024/11/28,15,研修班,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,THANKS,END,2024/11/28,16,研修班,