数学角平分线的性质定理及其逆定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,如图,:,若想在两条公路围成的,A,区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是,500,米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗,?,桥头,焦寺,旁堤刘,（比例尺为：）,A,区域,24.8,角平分线的性质定理及其逆定理,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,条件：一个点在一个角的平分线上,结论：这个点到角的两边的距离相等,已知：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,在,OC,上，,PD OA,，,PE OB,，垂足分别是,D,、,E.,求证：,PD=PE.,A,O,B,P,E,D,1,2,3,4,一,.,角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,E,D,1,2,1=2,PD OA,，,PE OB,PD=PE.,交换定理的条件和结论得到的命题为：,合作探究,思考分析,逆命题,到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,.,它是真命题吗,?,如果是,.,请你证明它,.,已知,:,如图,AOB,PDOA,PEOB,且,PD=PE,垂足分别是,D,E.,求证,:,点,P,在,AOB,的平分线上,.,分析,:,要证明点,P,在,AOB,的,平分,线上,可以先作出过点,P,的射线,OC,然后证明,AOC=BOC.,O,C,B,A,P,D,E,逆定理,:,到一个角的两边,距离相等的点,在这个角的平分线上,.,用符号语言表示为,:,PDOA,PEOB,垂足,分别是,D,E,且,PD=PE,点,P,在,AOB,的平分线上,温馨提示,:,这个结论又是经常用来证明,点在直线上,(,或,直线经过,某一,点,),的根据之一,.,O,C,B,A,P,D,E,二,.,角平分线性质定理的逆定理,1.,角平分线的性质定理：,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.,角平分线的判定,定理,:,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,4.,角平分线的性质定理,是证明角相等、线段相等的新途径,.,角平分线的逆定理是证明点在直线上,(,或直线经过某一点,),的根据之一,.,3.,性质定理和逆定理的关系,点在角平分线上 点到角两边的距离相等,总结归纳,基本应用,填空：,(1).1=2,DCAC,DEAB,_,(_),(1).DCAC,DEAB,DC=DE,_,(_ _),A,C,D,E,B,1,2,1,2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,应用,1,例,1.,已知,:,如图,C=90,0,B=30,0,AD,是,RtABC,的角平分线,.,求证,:BD,2CD.,A,B,C,D,E,例,:,已知：如图，,C=C=90,，,AC=AC .,求证,（,1,）,ABC=,ABC,；（,2,）,BC=BC,.,（要求不用三角形全等的判定）,B,C,A,C,三,.,尺规作图角平分线的作法,已知,:AOB,如图,.,求作,:,射线,OC,使,AOC=BOC,作法,:,用尺规作角的平分线,.,A,B,O,1.,在,OA,和,OB,上分别截取,OD,OE,使,OD=OE.,2.,分别以点,D,和,E,为圆心,以大于,DE/2,长为,半径作弧,两弧在,AOB,内交于点,C,3.,作射线,OC.,请你说明,OC,为什么,是,AOB,的平分线,并与同桌进行交流,.,则射线,OC,就是,AOB,的平分线,.,A,B,O,C,D,E,:,如图，某个居民小区,C,附近有三条两两相交的道路,MN,、,OA,、,OB,，拟在,MN,上建造一个大型超市，使得它到,OA,、,OB,的距离相等，请确定该超市的位置,P,。,小区,C,P,实际应用,2,：若已知超市,P,到道路,OA,的距离为,600,米，求,P,到道路,OB,的距离。,驶向胜利的彼岸,三角形内角的角平分线,剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线,.,结论,:,三角形三个角的平分线相交于一点,.,老师期望,:,你能写出规范的证明过程,.,你能证明这个命题吗,?,观察这三条角平分线,你发现了什么,?,做一做,1,回味无穷,一,.,定理,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,二,.,逆定理,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,.,小结 拓展,三,.,遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理,思考题：,2,、若要在,MON,内部全部覆盖绿化，已知,MON,的周长为,2000,米，,OMN,、,MON,的平分线交于点,O,，,ODMN,，垂足为,D,，且,OD=2,米,求：,MON,的面积,独立作业,3,3.,已知,:,如图,P,是,AOB,平分线上的一点，,PCOA,PDOB,垂足分别,C,D.,求证,:(1)OC=OD;,(2)OP,是,CD,的垂直平分线,.,B,A,P,D,C,O,证明两角相等的方法：,同角（或等角）的余角（补角）相等,平行线的性质,对顶角相等,全等三角形的对应角相等,等边对等角,角平分线的性质定理及其逆定理,证明线段相等的方法：,全等三角形的对应边相等,角平分线的性质定理,等角对等边,等腰三角形的三线合一,.,垂直平分线的性质定理,（练习）已知：,MON,中，,MP,平分,OMN,，,OP,平分,MON,，且,PDMN,，,PEON,，垂足分别为点,D,、,E,求证：点,P,在,MNO,的平分线上,F,挑战自我,如图,在,ABC,中,已知,AC=BC,C=90,0,AD,是,ABC,的角平分线,DEAB,垂足为,E.,(1),如果,CD,4cm,，,AC,的长,(2),求证,:AB,AC,CD.,E,D,A,B,C,独立作业,2,2.,已知,:,如图,ABC,的外角,CBD,和,BCE,的,角平分线相交于点,F.,求证,:,点,F,在,DAE,的平分线上,.,A,B,C,F,D,E,