线性系统的数学描述

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,AUTOMATIC CONTROL,自动控制原理,2.1,数学模型基础,控制系统数学模型的概念,描述控制系统,输入,、,输出变量,以及,内部各变量,之间关系的数学表达式，称为系统的,数学模型,。,建立数学模型的目的,建立系统的数学模型，是,分析,和,设计,控制系统的首要工作（或基础工作）。,建立数学模型的方法,建立系统的数学模型简称为,建模,，系统建模有,两大类方法,，或者说有,两种不同的途径,：,一类是机理分析建模方法，称为分析法；,另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。,常用数学模型,1.,外部描述模型,微分方程、传递函数,2.,内部描述模型,状态空间法,3.,信号流图模型,2.2,线性系统的,时域数学模型,微分方程,是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的,微分方程,。,对于单输入、单输出,线性定常系统,，采用下列,微分方程,来描述：,式中，,r,(,t,),和,c,(,t,),分别是系统的,输入信号,和,输出信号,；,是 对时间,t,的,n,阶导数；,和,是由系统的结构参数,决定的系数。,一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的,物理规律,，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的,输入,和,输出,的,微分方程,。,1,、电气系统,例,1,由电阻,R,、电感,L,和电容,C,组成的无源网络，试写出以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。,R,L,C,i(t),u,r,(t),u,c,(t),解 设回路电流为 ，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为,消去中间变量 ，得系统输入输出关系的微分方程,2,、机械系统,例,2,图示为一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。其中 是弹簧系数，是运动部件质量，是阻尼系数；外力 是系统的输入量，位移 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。,F,y(t),k,f,m,解,:,阻尼器的阻尼力,:,弹簧弹性力,:,整理得：,注：,比较两个例子可以发现，这两个不同的物理系统具有相同形式的,运动方程,，即具有,相同的数学模型。,例,1,数学描述：,例,2,数学描述：,注：,许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济系统）有时却可能具有完全相同的,数学模型,。,从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的,本质特征,。,因此数学模型建立以后，研究系统主要是以,数学模型,为基础，分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。,2.1,控制系统的微分方程,解析法建立微分方程的一般步骤是,根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；,标准化工作,:,将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。,从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；,消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；,最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。,1,2,3,4,5,控制系统的,微分方程,是在,时间域,描述系统动态性能的数学模型，在,给定外部作用和初始条件下,，,求解微分方程,可以得到系统的,输出响应,。这种方法比较直观,。,拉普拉斯变换,是,求解线性微分方程,的有力工具，它可以将,时域的微分方程,转化为,复频域,中的,代数方程,，并且可以得到,控制系统在复数域中,的,数学模型,传递函数。,2.3,传递函数,设描述系统的微分方程为：,则其传递函数为,传递函数：,线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,在零初始条件下，令,对上式求拉斯变换，可得,例,3,试确定例,1,所示的,RLC,无源网络系统的,传递函数,。,解 由例,1,可知，网络的微分方程为,则系统的传递函数为,例,4,试确定例,2,所示的机械阻尼系统的传递函数。,在零初始条件下，对上式进行拉斯变换，得,所以系统的传递函数为,解 由例,2,可知，该系统的运动方程为,传递函数的几点说明,1,、作为一种数学模型，传递函数只,适用于线性定常系统,，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。,2,、线性定常系统或元件的,线性定常微分,方程与传递函数,一一对应，它们是在,不同域,对同一系统或元件的描述。,4,、传递函数是复变量,S,的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数,N,大于等于分子多项式的次数,M,，。,3,、传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其,输入信号的形式无关,，但和,输入信号,的,作用位置,及,输出信号的取出位置,有关。所以谈到传递函数，必须,指明输入量,和,输出量,。,5,、,传递函数是在,零初始条件,下定义的。控制系统的零初始条件有两层含义：,一是指输入量在时 才起作用；,二是指输入量加于系统前，系统处于稳定工作状态。,6,、,传递函数只表示单输入和单输出,(SISO),之间的关系，对多输入多输出,(MIMO),系统，可用,传递函数阵,表示。,7,、传递函数式可表示成,式中,p,1,，,p,2,p,n,为分母多项式的根，称为传递函数的极点；,z,1,、,z,2,、,z,n,为分子多项式的根，称为传递函数的零点；,K,称为传递函数的,增益,。,8,、传递函数的,分母多项式,称为特征多项式，记为,而,D,(,s,)=0,称为,特征方程,。,传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即,n,m,。这是由于,实际系统的惯性,所造成的。,9,、实际工程中，许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，所以传递函数只描述了输出与输入之间的关系，并不提供任何有关该系统的物理结构。,10,、一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，因而信号在传递过程中的,中间变量,是无法反映出来的。,11,、对于系统未知的传递函数，可通过给系统加上已知特性的输入，再对其输出进行研究，就可以得到该系统,传递函数,，并可以给出其,动态特性的完整描述,。,2.2,传递函数,12,、传递函数的拉氏反变换,是系统对应的,脉冲响应,典型环节传递函数,控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理,结构,和,作用原理,是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从,传递函数的数学模型,来看，可以划分成几种典型环节。,常用的典型环节有,比例环节,、,惯性环节,、,积分环节,、,微分环节,、,振荡环节,、,延迟环节,等。,比例环节的传递函数,r(t),c(t),t,0,比例环节（无惯性环节）：,c,(,t,)=,kr,(,t,),传递函数：,G,(,S,)=C(S)/R(S)=,k,阶跃响应：,R,(,S,)=1/,S,C,(,S,)=,kR,(,S,)=,k,/,S,方框图：,C(t)=k,k,R(S),C(S),1,测速发电机：,U(t)=K,t,d,(t)/dt=k,t,(t),G(S)=U(S)/,(S)=K,t,R,2,R,1,R,C(t),r(t),运算放大器：,C(t)=R,2,/R,1,r(t),G(S)=C(S)/R(S)=R,2,/R,1,=,K,2.2,传递函数,惯性环节的传递函数,惯性环节,：,Tdc,(t)/,dt,+,c,(t)=,kr,(t),传递函数：,G,(,S,)=,C,(,S,)/,R,(,S,)=,k,/(,TS,+1),阶跃响应：,R,(,S,)=1/,S,C,(,S,)=,kR,(,S,)/(,TS,+1),方框图：,C,(,t,)=,k,(1-e,-1,/T),2,k,/(,TS,+1),R,(,S,),C,(,S,),电枢控制他励直流电动机：,T,d,T,m,d,2,n(t)/dt,2,+T,m,dn(t)/dt+n(t),U,a,(t)/C,e,若初值为,0,，上式的拉氏变换为：,(T,d,T,m,S,2,+T,m,S+1)N(S)=U,a,(S)/C,e,传递函数为：,1,G(S)=N(S)/U,a,(S)=,C,e,(T,d,T,m,S,2,+T,m,S+1),若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：,1,G(S)=N(S)/Ua(S)=,Ce(TmS+1),运算放大器：,R,2,R,1,R,C(t),r(t),C,i,1,i,2,A,传递函数为：,G(S)=,（,R,2,/R,1,)/(R,2,CS+1),=K/(TS+1),2.2,传递函数,当,T=,时，惯性环节近似为积分环节；当,T=0,时，惯性环节近似为比例环节。,积分环节的传递函数,3,积分环节：,dc,(,t,)/,dt,=,kr,(,t,),传递函数：,G,(S)=,C,(S)/,R,(S)=,k,/,S,阶跃响应：,R,(,S,)=1/S,，,C,(S)=,kR,(S),C,(t)=,kt,方框图：,k/s,R(S),C(S),积分调节器：,C,U,c,(t),R,U,r,(t),i,1,i,2,A,在,A,点列方程可得：,i,2,=i,1,i,1,=U,c,(t)/R,U,c,(t)=1/Ci,2,(t)dt=1/(RC)U,c,(t)dt,设,RC,T,（积分时间常数），则有：,U,c,(t)=1/TU,c,(t)dt,拉氏变换后为：,U,c,(S)=1/(TS)U,c,(S),传递函数为：,G(S)=U,c,(S)/U,c,(S)=1/(TS),k/S,2.2,传递函数,微分环节的传递函数,微分环节：,c,(,t,)=,dr,(t)/,dt,传递函数：,G,(S)=,C,(S)/,R,(S)=,S,方框图：,S,R,(,S,),C,(,S,),4,由于微分环节具有惯性实际常常以,G(S)=kTS/(TS+1),形式出现。其中,T,为时间常数，,T,越小微分作用越强，当,T,0,而,KT,保持有限值时，方,程变为纯微分环节了。,输入量取角度时的传递函数即为微分环节。,表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为,进行拉氏变换得到,那么该元件的传递函数为,测速发电机：,2.2,传递函数,微分环节的传递函数,一阶微分环节,：,c(t)=,dr(t),/dt+r(t),传递函数：,G(S)=C(S)/R(S)=S+1,方框图：,S,+1,R,(S),C,(S),5,比例微分调节器：,根据电路的基本定律得到以下方程组,那么该元件的传递函数为,消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系,振荡环节的传递函数,振荡环节：,T,2,d,2,r,(t)/,dt,2,+2,Tdr,(,t,)/,dt,+,r,(,t,),r,(,t,),传递函数：,G,(,S,)=,C,(,S,)/,R(S,)=1/(,T,2,S,2,+2,TS,+1),方框图：,6,RLC,振荡电路：,Uc,R,Ur,i,c,L,电路的微分方程为：,LCd,2,Uc/dt,2,+RCdUc/dt+Uc=Ur,d,2,Uc/dt,2,+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr,令,n,=1/,LC,，,=0.5 R,C/L,则上式的拉氏变换为：,(S,2,+2,n,S+,n,2,)Uc(S)=,n,2,Ur(S),n,2,S,2,+2,n,S+,n,2,传递函数为：,G(S)=Uc(S)/Ur(S),1,T,2,S,2,+2,TS,+1,R,(,S,),C(S),延迟环节的传递函数,延迟环节：,c,(,t,)=,r(t-,),传递函数：,G,(,S,)=,C,(,S,)/,R,(,S,)=,e,-s,方框图：,7,e,-s,R(S),C(S),轧钢厂带厚度检测元件,:,则滞后时间为：,l,/,v,（,S),测厚信号,c(t),与厚差信号,r(t),之间的关系为：,c(t),r(t-,),在零初始条件下