空间向量法解决立体几何问题全面总结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,1,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系；,(1)直线与直线的位置关系;,(2)直线与平面的位置关系;,(3)平面与平面的位置关系;,2、求解空间中的角度；,3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量；,2、平面的法向量,。,一、引入两个重要空间向量,2,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把,直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为,直线的方向向量,.如图,在空间直角坐标系中,由,A,(,x,1,y,1,z,1,)与,B,(,x,2,y,2,z,2,)确定的直线,AB,的方向向量是,z,x,y,A,B,3,2.平面的法向量,如果表示向量,n,的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,n,这时向量,n,叫做,平面,的法向量.,n,4,3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?,如图,设,a,=( x,1,y,1,z,1,)、,b,=(x,2,y,2,z,2,)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若,na,且,nb,则,n,.换句话说,若,na = 0,且,nb = 0,则,n,.,a,b,n,5,(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设),:,设出平面法向量的坐标为,n,=(x,y,z).,第二步(列):,根据,na = 0,且,nb = 0,可列出方程组,第三步(解):,把z看作常数,用z表示x、y.,第四步(取):,取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量,n,的坐标.,6,例1,在棱长为2的正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O是面AC的中心,求面OA,1,D,1,的法向量.,A,A,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,7,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA,1,D,1,的法向量的法向量为,n,=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A,1,(0，0，2)，D,1,(0，2，2),得平面OA,1,D,1,的法向量的坐标,n,=(2,0,1).,取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,8,二.立体几何问题的类型及解法,1.判定直线、平面间的位置关系,(1),直线与直线的位置关系,不重合的两条直线a,b的方向向量分别为,a ,b,.,若,a,b,即,a=b,则ab.,若,ab,即,ab = 0,则ab,a,b,a,b,9,例2,已知平行六面体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面ABCD是菱形,C,1,CB=C,1,CD=BCD=,求证: C C,1,BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,10,证明：设,a,b,c,依题意有|,a,|=|,b,|，,于是,a b,=,c (a b)= ca cb,= |c|a|cos,|c|b| cos,=0,C C,1,BD,11,(2),直线与平面的位置关系,直线L的方向向量为,a,平面的法向量为,n,且L .,若,a,n,即,a,=n,则 L ,若,an,即,an = 0,则a .,n,a,n,a,L,L,12,例3,棱长都等于2的正三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,D,E分别是AC,CC,1,的中点,求证:,(1)A,1,E,平面DBC,1,;,(2)AB,1, 平面DBC,1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,13,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则,A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A,1,(-1,0,2), B,1,(0, ,2), C,1,(1,0,2).,设平面DBC,1,的法向量为,n,=(x,y,z),则,解之得 ，,取z = 1得,n,=(-2,0,1),(1),=- n,从而A,1,E,平面DBC,1,(2) ,而,n =,-2+0+2=0,AB,1,平面DBC,1,14,(3),平面与平面的位置关系,平面的法向量为,n,1,平面的法向量为,n,2,若,n,1,n,2,即,n,1,=n,2,则,若,n,1,n,2,即,n,1,n,2,= 0,则,n,2,n,1,n,1,n,2,15,例4,正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，E、F分别是BB,1,、CD的中点,求证:平面AED平面A,1,FD,z,x,y,A,B,C,D,F,E,A1,B1,C1,D1,16,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz,平,面AED平面A,1,FD,n,1,n,2,= -2+0+2=0,同理可得平面,A,1,FD,的法向量为,n,2,=(2,0,1),取,z=2,得,n,1,=(-1,0,2),解得：,设平面,AED,的法向量为,n,1,=(,x,y,z,),得,于是 ，,设：正方体的棱长为,2,那么,E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),17,2.求空间中的角,(1)两异面直线的夹角,利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.,18,例5,如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB,1,与CM所成角的余弦值为_.,B,C,A,M,x,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,19,解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B,1,(2, 0, 2), D(0,2 ,0),cos,=|,cos,|,设,DB,1,与,CM,所成角为,与 所成角为,于是：,20,(2)直线与与平面所成的角,若,n,是平面的法向量,a,是直线L的方向向量,设L与所成的角,n与a,所成的角,则 = - 或= -,于是,因此,n,n,a,a,21,例6,正三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,的底面边长为a,高为 ，求AC,1,与侧面ABB,1,A,1,所成的角。,z,x,y,C1,A1,B1,A,C,B,O,22,解:建立如图示的直角坐标系,则,A( ,0,0),B(0, ,0) A,1,( ,0,). C(- ,0, ),设面ABB,1,A,1,的法向量为,n,=(x,y,z),得,由 ，解得 ，,取y= ,得,n,=(3, ,0)，,设 与,n夹角为,而,故：AC,1,与侧面ABB,1,A,1,所成的角大小为30.,23,（3）二面角,设,n,1,、n,2,分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量,n,1,、n,2,夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.,n,1,n,2,n,1,n,2,24,例7,在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,z,x,y,A,B,C,D,S,25,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.,设平面SCD的法向量,n,1,=(x,y,z),则由,得,n,1,=(1,1,2).,而面SAD的法向量,n,2,= (1,0,0).,于是二面角A-SD-C的大小满足,二面角A-SD-C的大小为 .,26,3.求解空间中的距离,(1)异面直线间的距离,两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.,如图,设两条异面直线a、b的公,垂线的方向向量为,n,这时分别在,a、b上任取A、B两点,则向量在,n,上的正射影长就是两条异面直线,a、b的距离.,即,两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.,n,a,b,A,B,27,例8,在棱长为1的正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,求异面直线AC,1,与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,28,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C,1,(1,1,1), 设异面直线AC,1,与BD的公垂线的方向向量,n,=(x,y,z),则由 ,得,n,=(-1,-1,2)., ,异面直线AC,1,与BD间的距离,29,(2)点到平面的距离,A为平面外一点(如图),n,为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.,=,= .,于是，,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.,n,A,B,H,30,例9,在直三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B,1,到面A,1,BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,31,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A,1,BC的法向量,n,=(x,y,z),由 得,n,=(- ,0,1)., ,或 ,或 ,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,32,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.,例10,四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.,x,z,y,P,B,E,A,D,C,F,33,解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F,为CD的中点,于是,A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0),D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2).,设面BED的法向量,n,=(x,y,z),由,得,n,=(1, ,2).,n,2+6-8=0，故PC面BED,PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,.,34,空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要,建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题,。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。,35,