数学建模(动态模型)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,动态模型,描述对象特征随时间（空间）的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,微分方程建模,根据函数及其变化率之间的关系，确定函数本身,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,模型1（SI模型）,模型假设：,健康人和病人在,时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记作和,s(t)和i(t).,每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为 ，,称日接触率。,模型建立,(1),(2),若记初始时刻（t=0)病人的比例为 ，则 模型求解解得：,(3),模型分析,但,必须修改模型。,模型2,传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（SIS模型）,模型假设,1)、2)条与模型1相同，增加的条件为,3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为,，,称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。,模型建立,(4),(5),模型,求解,(5)的解为,（6）,模型分析,定义 ，是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。易知，当 时，,（7）,模型3,传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出者（SIR模型）。,模型假设：,1）人数N不变，健康人、病人和移出者比例分别为,2）,模型建立：,和,病人的日接触率为,，日治愈率为,，传染期接触,数为,（8）,（9）,方程（9）无法求出,和,的解析解，在相平面,上研究解的性质。,相轨线的定义域为,在方程（9）中消去,dt,并注意到 的定义，可得,（10）,（11）,容易求得（11）的解为,（12）即为相轨线。,模型分析,在D内作相轨线 的图形，,（12）,相轨线及其分析,故 是阈值。,从而得预防传染病蔓延的手段,：,习题：,在SIR模型中，证明：,若 ，则 先增加，在 处达到最大，然后减小并趋于,0,；单调减少至,.,若 ，则,单调减少并趋于,0,，,单调减少至,.,