定积分及其计算方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、与定积分概念有关的问题的解法,1.用定积分概念与性质求极限,2.用定积分性质估值,3.与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1),思考例1下列做法对吗?,利用积分中值定理,原式,不对!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2),此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.,如,P265,题4,解：,将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用,夹逼准则,可知,(考研98),例2.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,提示:,由上题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,练习:,1.,求极限,解：,原式,2.,求极限,提示,：,原式,左边,=右边,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,估计下列积分值,解:,因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4,.,证明,证:,令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明,：,显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,例6.,解：,且由方程,确定,y,是,x,的函数,求,方程两端对,x,求导,得,令,x,=1,得,再对,y,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例7.,求可微函数,f,(,x,)使满足,解:,等式两边对,x,求导,得,不妨设,f,(,x,)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,f,(0)=0,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,求多项式,f,(,x,),使它满足方程,解:,令,则,代入,原方程得,两边求导:,可见,f,(,x,)应为二次多项式,设,代入,式比较同次幂系数,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2.注意特殊形式定积分的计算,3.利用各种积分技巧计算定积分,4.有关定积分命题的证明方法,思考:,下列作法是否正确?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.,选择一个常数,c,使,解:,令,则,因为被积函数为奇函数,故选择,c,使,即,可使原式为 0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13,.,若,解:,令,试证:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.,证明恒等式,证:,令,则,因此,又,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明:,令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知,存在一点,思考:,本题能否用柯西中值定理证明?,如果能,怎样设辅助函数?,要证:,提示:,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例16.,设函数,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,且,(1)在(,a,b,)内,f,(,x,)0;,(2)在(,a,b,)内存在点,使,(3)在(,a,b,)内存在与,相异的点,使,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,(1),由,f,(,x,)在,a,b,上连续,知,f,(,a,)=0.,所以,f,(,x,),在(,a,b,)内单调增,因此,(2),设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(3),因,在,a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.,设,证:,设,且,试证:,则,故,F,(,x,)单调不减,即,成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求抛物线,在(0,1)内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与,x,y,轴的交点分别为,所指面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且为最小点.,故所求切线为,得 0,1 上的唯一驻点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1)求函数,(2),a,为何值时,所围图形绕,x,轴一周所得旋转体,解:,(1),由方程得,面积为 2,体积最小?,即,故得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,(2)旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时,V,取最小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,证明曲边扇形,绕极轴,证:,先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求旋转体体积为,例4.,求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解:,曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,半径为,R,密度为,的球沉入深为,H,(,H,2,R,),的水池底,水的密度,多少功?,解:,建立坐标系如图.,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出,需做,微元体积,所受重力,上升高度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此微功元素为,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设有半径为,R,的半球形容器如图.,(1)以每秒,a,升的速度向空容器中注水,求水深为,为,h,(0,h,R,)时水面上升的速度.,(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最,少应为多少?,解:,过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过,t,秒容器内水深为,h,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)求,由题设,经过,t,秒后容器内的水量为,而高为,h,的球缺的体积为,半球可看作半圆,绕,y,轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对,t,求导,得,at,(升),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积:,微元的重力:,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,