123角的平分线的性质

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,角的平分线的性质,复习提问,1,、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,o,B,C,A,1,2,复习提问,2,、点到直线距离,:,从直线外一点,到这条直线的,垂线段,的,长度,，,叫做,点到直线的距离。,O,P,A,B,我的,长度,如图,是一个平分角的仪器,其中,AB=AD,BC=DC.,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线,.,你能说明它的道理吗,?,C,A,D,B,你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗,?,探究,1,：,E,角的平分线的作法,证明： 在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,（已知）,DC=BC,（已知）,CA=CA,（公共边）, ,ACD ACB,（,SSS,）,CAD=CAB,（全等三角形的,对应边相等）,AC,平分,DAB,（角平分线的定义）,尺规作角的平分线,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于,1/2,的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么,OC,是角平分线呢？,想一想：,已知：,OM=ON,，,MC=NC,。,求证：,OC,平分,AOB,。,证明,：在,OMC,和,ONC,中，,OM=ON,，,MC=NC,，,OC=OC,，, ,OMC ONC,（,SSS,）,MOC=NOC,即：,OC,平分,AOB,练习,1,：平分平角,AOB,。,归纳：,“,过直线上一点作这条直线的垂线,”,的方法。,A,B,O,C,D,作已知角的平分线,A,B,O,A,O,E,B,C,P,D,将,AOB,对折,再折出一个直角三角形,(,使第一条折痕为斜边,),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论,?,可以看一看,第一条折痕是,AOB,的平分线,OC,第二次折叠形成的两条折痕,PD,PE,是角的平分线上一点到,AOB,两边的,距离,这两个距离相等,.,折一折,探究,2,角平分线的性质,已知：如图，,OC,是,AOB,的平分线，点,P,在,OC,上，,PDOA,，,PEOB,，垂足分别是,D,，,E,。,求证：,PD=PE,证明：,PDOA,，,PEOB,（已知）,PDO=PEO=90,（垂直的定义）,在,PDO,和,PEO,中, PD=PE,（全等三角形的对应边相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO,（,AAS,）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,D,P,E,A,O,B,C,证明几何命题的一般步骤：,1,、明确命题的已知和求证,2,、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；,3,、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程,。,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,E,D,1,2, 1= 2,PD OA,，,PE OB,PD=PE,(,角,的,平分线上的点到角的两边的距离相等,),推理的理由有,三个,，必须写完全，不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,B,A,D,O,P,E,C,定理应用所具备的,条件,：,（,1,）角的平分线；,（,2,）点在该平分线上；,（,3,）垂直距离。,定理的作用：,证明线段相等。,如图，,AD,平分,BAC,（已知）,=,，,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,判断：,练习,2,如图，,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）, AD,平分,BAC, DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，（ ）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习,3,如图， ,OC,是,AOB,的平分线，,又,_,PD=PE (,),PDOA,，,PEOB,B,O,A,C,D,P,E,角的平分线上的点,到角的两边的距离相等,在,OAB,中，,OE,是它的角平分线，且,EA=EB,，,EC,、,ED,分别垂直,OA,，,OB,，垂足为,C,，,D.,求证：,AC=BD.,O,A,B,E,C,D,例题讲解,练习,4,在,ABC,中，,C=90,，,AD,为,BAC,的平分线，,DEAB,，,BC,7,，,DE,3.,求,BD,的长。,E,D,C,B,A,如图，在,ABC,中，,C=90 AD,是,BAC,的平分线，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上，,BD=DF,； 求证：,CF=EB,A,C,D,E,B,F,巩固提高,这节课我们学习了哪些知识？,小 结,1,、“作已知角的平分线”的尺规作图法；,2,、角的平分线的性质：,111,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,OC,是,AOB,的平分线,又,PD,OA,PE,OB, PD=PE (,角的平分线上的点,到,角的两边距离相等,).,E,D,O,A,B,P,C,几何语言,:,，,1,、在,RtABC,中，,BD,是角平分线，,DEAB,，垂足为,E,，,DE,与,DC,相等吗？为什么？,A,B,C,D,E,2,、如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PD OA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,知识应用,4,1 .,如图，,DEAB,，,DFBC,，垂足分别是,E,，,F,，,DE =DF,，,EDB=,60,，则,EBF=,度，,BE=,。,60,BF,2,如图，在,ABC,中，,C=90,，,DEAB,，,1=2,，且,AC=6cm,，那么线段,BE,是,ABC,的,，,AE+DE=,。,角的平分线,6cm,练习,3.,已知,ABC,中, C=90,0,AD,平分,CAB,且,BC=8,BD=5,求点,D,到,AB,的距离是多少？,A,B,C,D,E,你会吗？,证明：,过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别,垂直于,AB,、,BC,、,CA,，垂足为,D,、,E,、,F,BM,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上,PD=PE,（,在角平分线上的点到角的两边的距离相等）,同理,PE=PF.,PD=PE,=PF.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,例 已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P.,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,A,B,C,M,N,P,D,E,F,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点,求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,更上一层楼！,