线性代数详解PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,1.1 行列式的定义,我们用 表示代数和,a,11,a,22,a,12,a,21, 并称它,a,11,a,21,a,12,a,22,为,二阶行列式,对角线法则,我们用符号 表示代数和,a,11,a,21,a,31,a,12,a,22,a,32,a,13,a,23,a,33,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,并称它为,三,阶行列式,对角线法则,a,11,a,22,a,33,a,12,a,23,a,31,a,13,a,21,a,32,a,11,a,23,a,32,a,12,a,21,a,33,a,13,a,22,a,31,定义,由,n,2,个数,a,ij,(,i,j,1,2,n,)排成,n,行,n,列，,称,为,n,阶行列式,.,-,),1,(,(,j,1,j,2,j,n,),j,1,j,2,j,n,=,其中表示对所有排列,j,1,j,2,j,n,取和,D,=,D,T,.,若行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式的,的值为零.,若行列式中两行（列）的对应元素成比例，则行列,列式的值为零.,把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到,另一列(行)对应的元素上去,行列式不变,若行列式有两行(列)相同,则此行列式的值为零,1.2 行列式的性质,互换行列式的两行,(,列,),，行列式变号.,行列式的某一行,(,列,),中所有的元素都乘以,同一数,k,，,等于用数,k,乘此行列式.,行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数,余子式乘积的和,即,D = a,i,1,A,i,1,a,i,2,A,i,2,a,in,A,in,(,i,=1,2,n,),或,D = a,1,j,A,1,j,a,2,j,A,2,j,a,nj,A,nj,(,j,=1,2,n,),定理1.3.1(行列式按行(列)展开法则),例,计算行列式,解,(法一),例,计算行列式,解(法二),=,1,(-1),2+3,=,-24 .,例 计算行列式,例 计算行列式,克拉默法则,如果线性方程组(,1-19,)的系数行列式,D,不等于零,则方程组有唯一解,其中,(1-19),(j),设,A,=,(,a,i,j,)是一个,m,s,矩阵,B,=,(,b,i,j,)是一个,s,n,矩阵,那么矩阵,A,与矩阵,B,的乘积记为,A,B,规定为,m,n,矩阵,C,=,(,c,ij,),其中,c,i,j,=,a,i,1,b,1,j,a,i,2,b,2,j,a,i,s,b,s,j,(,i,=,1,2, ,m,；,j,=,1,2,n,),矩阵的乘法,方阵的行列式的运算规律,(1) |,A,T,|,=,|,A,|,(2) |,AB,|,=,|,A,|,B,|= |,B,|,A,|,=,|,BA,|,(3) |,A,|,=,n,|,A,|,A,为,n,阶方阵；,例：,已知三阶方阵A，有,|,A,|,=2，则,(1) |,A,T,|,=,(2) |4,A,|,=,(3) |2,A,T,A,|,=,2,128,32,定义,1,矩阵的初等行(列)变换指的是下面三种变换,矩阵的初等变换,的初等变换.,(1) 交换矩阵的某两行(列),（第一种初等变换）,(2) 用非零数,k,乘某一行(列)中的所有元素,（第二种初等变换）,(3) 把某一行(列)加上另一行(列)的,k,倍,（第三种初等变换）,这三种变换都是,可逆,的,且其逆变换是同一类型,定义,对单位矩阵,E,施行,一次,初等变换后得到的矩阵,称为初等矩阵,初等矩阵,练习：,乘以初等矩阵相当于进行初等变换；,左行右列。,例：设 ，则,对于,n,阶方阵,A, 如果存在一个,n,阶方阵,B, 使得,A,B,=,B,A,=,E,则称矩阵,A,是可逆矩阵,并称,B,为,A,的逆矩阵,如果矩阵,A,是可逆的,那么,A,的逆矩阵是唯一的,A,的逆矩阵记为,A,1,即若,AB,=,BA,=,E,则,B,=,A,1,例如, 设,有,A,B,=,B,A,=,E, 故,B,是,A,的逆矩阵,可逆矩阵,2. 性质,(1),若,A,可逆,则,A,1,也可逆,且(,A,1,),1,=,A,(2),若,A,可逆,数,0,则,A,可逆,且(,A,),1,1,A,1,(3),若,A,、,B,为同阶可逆矩阵,则,AB,可逆,且,(,AB,),1,=,B,1,A,1,(4),若,A,可逆,则,A,T,也可逆,且(,A,T,),1,=,(,A,1,),T,;,(5),若,A,可逆,则 |,A,1,|,=,|,A,|,1,.,（方法一：公式法）,方阵,A,可逆的充要条件是 |,A,|,0 , 并且,.,矩阵可逆的条件和求法,（方法二：初等变换法）,例,设, 求,A,-,1,.,解,例,求解矩阵方程,AX,=,A,X,其中,解,X,=,的数,k,1,k,2,k,s,使,则称向量组,A,线性相关,;,给定向量组,A,:,如果存在不全为零,(3.3),如果(3.3)当且仅当,k,1,=,k,2,= ,=,k,s,=0 时成立,则称向量组,A,线性无关,.,向量组的线性相关与线性无关,总结,判断向量组的线性相关性的方法：,(1),利用定义判断.,这是判定向量组的线性相关性的基本方法.,(2),利用定理2判断.,(3),利用行列式(,推论1,)判断.,此法仅适用于向量的个数与向量的维数相等的情形.,这是常用方法.,例,已知向量组,线性无关,b,1,=,a,1,a,2,b,2,=,a,2,a,3,b,3,=,a,3,a,1,试证向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关,证,设有,k,1,k,2,k,3,使得,k,1,b,1,k,2,b,2,k,3,b,3,=,0, 则,(,k,1,k,2,) a,1,(,k,2,k,3,) a,2,(,k,1,k,3,) a,3,=,0,即,k,1,(,a,1,a,2,),k,2,(,a,2,a,3,),k,3,(,a,3,a,1,),=,0,因为a,1,a,2,a,3,线性无关,故有,此方程组只有零解,k,1,=,k,2,=,k,3,=,0,所以向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关.,例,讨论向量组,的线性相关性.,向量组的秩,定义,向量组 的极大无关组所含向,量的个数称为该向量组的秩, 记为 .,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它,的行向量组的秩,例,设向量组,A,：,求列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关,组的列向量用极大无关组线性表示.,解,对向量组为列的矩阵,A,作初等变换化为行最简,形 ：,知,a,1,a,2,为列向量组的一个极大无关组,且,增广矩阵 经过初等行变换化为,那么以,定理,若线性方程组,为增广矩阵的线性方程组与,(4.1),同解.,(4.1),解线性方程组,定理,设线性方程组,(4.1),相容,则,(1),当且仅当,时, 方程组有唯一解;,(2),当且仅当,时, 方程组有无穷多解.,例,设, 问 取何值时,方程组无解？有解？在有解的情况下求出通解。,解,令 为增广矩阵, 则,当,时，方程组无解；,时，方程组有解,。,当,当a=5时，,解为：,特征值、特征向量,定义5.1.1,设,A,是,n,阶方阵,如果存在数,l,和,n,维非零,向量,a, 使关系式,成立,. 那么, 这样的数,l,称为,方阵,A,的,特征值, 非零向,量,a,称为,A,的属于特征值,l,的,特征向量,.,(5.1),求,A,的特征值和特征向量的步骤：,(1),计算,A,的特征多项式,A,-l,E,(或,l,E,-,A,);,(2),求出方程,A,-l,E,=0的全部根, 即为,A,的特征值；,(3),对于,A,的每一个特征根,l,i, 求出方程组,的基础解系,量,而其线性组合,就是,A,对应于,l,i,的全部特征向量.,不全为零., 就是,A,对应于,l,i,的特征向,例,求,的特征值和特征向量.,解,A,的特征多项式为, 得,A,的特征值为,解方程,.,当,l,= -1时, 解方程组 (,A,+,E,),X,=0, 由,得,为基础解系, 则,A,的属于,l,=1 的所有特征,向量：,.,当,l,= 2时, 解方程组 (,A,-2,E,),X,=0, 由,得,为基础解系, 则,A,的属于,l,=2 的,所有特征向量：,.,相似矩阵,定义,设,A,B,都是,n,阶矩阵,若有可逆矩阵,P,使,P,1,AP,B,则称,A,与,B,相似,记作 .,对,A,进行运算,P,1,AP,称为对,A,进行,相似变换,可逆矩阵,P,称为把,A,变成,B,的相似变换矩阵,矩阵的对角化,对,n,阶方阵,A,寻求一个相似变换矩阵,P,使得,PAP,1,为对角矩阵,该过程称为把,方阵,A,对角化,.,定理,一个,n,阶方阵,A,与对角矩阵相似的充分必要,条件是它有,n,个线性无关的特征向量.,推论,若,n,阶方阵,A,的,n,个特征值互不相等,则,A,可,对角化.,定理2,n,阶矩阵,A,可对角化的充要条件是对于,A,的每一个,k,i,重特征值,l,i,有,r,(,A-,l,i,E,) =,n-k,i,.,例：,矩阵,能否对角化？若能将其对角化.,答案,例,设,求正交阵,P,使,P,1,AP,=,为对角阵,解,特征值,1,= -,2,2,=,3,=,1,得基础解系,1,=,(,-,1,-,1,1),T,对应,1,=-,2,对应,2,=,3,=,1,2,=,(,1,1,0),T,3,=,(1,0,1),T,得基础解系,于是,P,=,(,p,1,p,2,p,3,) 为正交阵,P,1,AP,=,P,T,AP,=,