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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,第十二章 能量法,第一节 引 言,主要目的：,计算结构位移,能量法：,能量守恒原理,卡式定理,互等定理,单位载荷法,图乘法,一、外力功的计算,第二节 外力功与应变能的计算,1.,常力的功,2.,变力的功,若,F,与,呈线性关系，则有,二、弹性体的应变能,完全弹性体因变形而储存的能量称为应变能，记作,V,三、弹性结构的能量守恒原理,在外力作用下，弹性结构的应变能等于在其变形过程中外力所作,的功，即,四、应变能的计算,1.,轴向拉（压）杆,若,，则有,四、应变能的计算,2.,扭转圆轴,3.,梁和刚架,只考虑弯曲变形能,4.,组合变形杆,例,1,试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为,EI,，杆的抗拉刚度为,EA,。,解,：,2,）由截面法，得梁的弯矩方程为,梁的应变能,CB,杆的应变能,所以，整个结构的应变能,1,）,CB,杆的轴力,例,2,在图示三角支架中，若两杆的抗拉（压）刚度均为,EA,，试计算结点,B,的竖直位移,B,V,。,解：,2,）计算应变能,由截面法，得,AB,、,CB,两杆的轴力分别为,三角支架上外力的功为,三角支架的应变能,3,）计算,B,V,根据能量守恒原理,得结点,B,的竖直位移,1,）计算外力功,一、卡氏定理,第三节 卡氏定理,在线弹性范围内，结构的应变能对某一外力,F,i,的一阶偏导数等于,F,i,的作用点在,F,i,的方向上的位移,i,，即,说明：,F,i,为广义力，,i,为与之对应的广义位移（类型对应、位,置对应、方向对应），,F,i,与,i,的乘积应具有功的量纲。,二、卡式定理的实用算式,1.,梁和刚架,2.,桁架,例,3,试用卡氏定理计算图示三角支架结点,B,的竖直位移,B,V,。,解：,求两杆轴力及其对,F,的一阶偏导数,由,卡氏定理,得,由于待求位移,B,V,就是外力,F,的作,用点沿作用方向的位移，因此，可直接,运用卡氏定理计算。,例,4,图示悬臂梁，试求自由端,B,截面的转角,B,。,解,：,为此，首先在,B,截面处添加一个与,转,角,B,对应的外力偶,M,e,再令,M,e,=0,，即得,转角,由卡氏定理，得在载荷,q,和,M,e,的共同作用下，梁,B,截面的转角,求弯矩及其对,M,e,的一阶偏导数,由于在,B,截面处没有与,转角,B,对,应的外力偶作用，因此不能直接利用,卡氏定理。,例,5,图示平面刚架，若各段杆的抗弯刚度均为,EI,，试求其自由端,C,截面的竖直位移,C,V,与水平位移,C,H,。,解：,在替换力的符号后，,BC,段、,AB,段的弯矩,方程及其偏导数分别为,在这种情况下，可分别记竖直方向,的力,F,为,F,1,、水平方向的力,F,为,F,2,，在,符号上将两者区分开来。,由卡氏定理，得,C,截面的竖直位移,C,V,C,截面的,水平位移,C,H,令,F,1,=,F,2,=,F,，最终即得,C,截面的竖直位移,C,截面的水平位移,例,6,如图，一小曲率圆弧形曲梁承受力偶矩,M,e,的作用，若其抗弯刚度矩,EI,为常量，试求自由端,B,截面的水平位移,B,H,。,由于在曲梁上没有与,B,H,相对应的载荷，故首先需要在,B,截面添加一个水平力,F,解：,由截面法得曲梁的弯矩方程,弯矩方程对,F,的一阶偏导数,令,F,=0,，代入公式积分，即得,B,截面的水平位移,一、功的互等定理,第四节 互等定理,对于线弹性结构，第一组外力在第二组外力所引起的位移上所作,的功等于第二组外力在第一组外力所引起的位移上所作的功，即,二、位移互等定理,对于线弹性结构，当,F,1,与,F,2,的数值相等时，,F,2,引起的,F,1,的作用,点沿,F,1,作用方向的位移就等于,F,1,引起的,F,2,的作用点沿,F,2,作用方,向的位移，即,解：,例,7,如图，简支梁的抗弯刚度为,EI,，当在跨中,C,处作用有集,有矩为,M,e,的力偶时，截面,C,的挠度。,。试计算在截面,B,处作用,中力,F,时，横截面,B,的转角,以集中力,F,作为第一组,外力，以矩为,M,e,的力偶作,等定理有,为第二组外力，根据功的互,故得截面,C,的挠度,例,8,如图，,超静定梁,AB,受矩为,M,e,的力偶作用，试利用功的互等定理求出活动铰支座,B,的约束力，已知梁的抗弯刚度为,EI,。,将活动铰支座,B,视为多余约,解：,束，解除之，以相应的多余约束,力,F,B,代之作用，得到原超静定梁,的相当系统，其中，截面,B,的挠,度,B,1,=0,。,为了利用功的互等定理，设想在,悬臂梁,AB,的,自由端,B,作用一集,中力,F,。,在集中力,F,作用下，,B,截面的挠,度、转角分别为,以,F,B,与,M,e,作为第一组外力、,F,作,为第二组外力，根据功的互等,定理有,解得活动铰支座,B,的约束力,
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