概率论与数理统计(3)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计,经管,02级 2003.9.18.,今天是“九一八”,勿忘国耻。,条件概率,A,B,是两个事件,P(A)0,则记:,P(B|A)=P(AB)/P(A),称之为已知事件,A,发生的条件下事件,B,发生的,条件概率,.条件概率满足概率三公理:,P(|A)=1;,0P(B|A)1,若,事件,A,与,B,不相容,P(C)0,则,P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C),条件概率与乘法公式,由条件概率的定义:,A,B,是两个事件,P(A)0,则,P(B|A)=P(AB)/P(A), P(AB)=P(A)P(B|A),这被称为,乘法公式,.,若有,P(AB)=P(A)P(B),那该多好？,也即要是有：,P(B)=P(B|A),两个事件的积的概率就容易求了。,独立性的问题,定义:两个事件,A,B,若,P(A)0,且,P(B|A) =P(B),或即,P(AB)=P(A)P(B),称事件,A,与,B,相互独立,.,显然有:,A,与,B,独立则,B,与,A,独立;,A,与,B,独立则,A,与,B,独立;,A,与,B,独立则,A,与,B,独立;,A,与,B,独立则,A,与,B,独立,.,独立性的问题,定义:三个事件,A,B,C,若,P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),且,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称这三个事件,A、B,与,C,相互独立,.,类似可定义四个、五个事件独立。注意:,两两独立的三个事件未必相互独立。,A,与,B,独立与否，常依据问题来判断,.,全,概率与逆概率公式,定义:,n,个事件,A,1,A,2,A,n,若,它们两两不相容，且它们之并为样本空间,则称它们是,的一种,剖分,，或是一个,完备事件组,。,定理1.5(全概率公式):,A,1,A,2,A,n,是样本空间,的一个剖分，则对任意事件,B,有：,全,概率公式的证明,定理1.5(全概率公式):,A,1,A,2,A,n,是样本空间,的一个剖分，则对任意事件,B,有：,逆概率公式,定理:,n,个事件,A,1,A,2,A,n,是,的剖分，对任意事件,B,若,P(B)0,则： (,P.23)(,贝叶斯公式或逆概率公式),评一种肝癌的诊断法,“血清甲胎蛋白法”是一种肝癌的诊断法：,A：,化验异常，,B：,肝癌。(,P.60),B,与其逆构成一个剖分。,伯努利,(,Bernoulli),概型,定义:伯努利试验序列(,P.27)。,伯努利定理(,P.27):,一次试验中事件,A,发生的概率为,p(0p1),独立重复试验,n,次当中,A,发生,k,次的概率(,q=1-p)：,第二章随机变量的分布与数字特征,随机变量的概念,离散型随机变量,概率分布,分布函数,连续型随机变量,概率密度函数,随机变量的数字特征,数学期望,方差,无穷递缩等比数列之和,(|,q|1),e,x,的级数展开式,(-,x+),数学预备知识,几个重要的级数之和,Newton,二项式公式,：,随机变量的概念,随机现象的量化(实),引入随机变量的意义,随机变量的记法：,X,Y,随机变量的分类：,离散型,随机变量的分布,连续型,随机变量的分布,随机变量的例子,掷两枚骰子得的点数,某超市日顾客数,看世界杯实况节目的人数,等候乘上公交车(每十分钟一班)的候车时间,某茶山的茶叶产量,随机变量的例子,掷四枚骰子得点数和,南区食堂就餐人数,电影英雄票房收入,台湾一年地震次数,张三电脑打字速度,TCL,牌电视机寿命。,离散型随机变量,离散型随机变量概念,离散型,r.v.,的分布列,P(,X,=,x,i,)=p(,x,i,) (i=1,2,),概率分布的性质,分布列的描述(表.式.图),离散型,r.v.,的概念,离散型随机变量:只取有限个或可列个值的,r.v.,其分布列(概率函数),P(,X,=,x,i,)=p(,x,i,) (i=1,2,),要求:,p(,x,i,),0 ,p(,x,i,),=1,离散型变量的例1,某险种，收保费500元/年，理赔额20000元/年/次，索赔概率0.005,每份保单获利额,X,是随机变量，可画两行表格如下,；,离散型变量的例2,醉汉开门:手中有“1/5”把钥匙。试到第,X,把打开,X,是随机变量,不重试可得公式如下,；,P(X=k)=0.2,(k=1,2,3,4,5),会重试可得公式如下,；,P(X=k)=0.8,k-1,0.2,(k=1,2,),离散型随机变量分布列的描述法,两行表格,p.35,上、中,；,P(,X,=,x,i,)=p(,x,k,),的表达式如,p.35 ；,“,钉图” 。,重要的离散型,r.v.,两点分布,XB(1,p)p.51,二项分布,XB(n,p)p.52,几何分布,XG(p)p.53,超几何分布,XH(N,N,1,n),泊松分布,XP()p.54,二项分布,XB(n,p),次品率为,p,的产品中抽,n,件，其中次品数,XB(n,p) , q = 1-p .,P(X=k)=,几何分布,XG(p),射中气球的概率为,p，,独立重复射击，直到首次命中为止，射击的次数,XG(p) (q=1-p),P(X=k)=pq,k-1,(k=1,2,),泊松分布,XP(),某品种的鸡，每千只鸡的日下蛋量,XP(),P(X=k)=,重要的离散型,r.v.,随机变量的分布函数,定义：,F(x)=P(,Xx,) -,x+,有:(1)有界:0,F(x),1,-,x+,(2),单调非减:,x,1,x,2,F(x,1,),F(x,2,),(3),有极限：,(4)处处,右,连续:,F(x,+0,) = F(x) 。,1,q,0,1,随机变量的,分布函数,两点分布,XB(1,p),的,d.f.,1,x,y,y=F(x),连续型,r.v.,的定义,如果随机变量,X,的,d.f.,为,F(x),存在一个在(-,+,)上非负的可积函数,p(x),使得：,则称,X,是一个连续型随机变量,p(x) =F(x),为,X,的概率密度函数。,连续型随机变量,公交车每5分钟一班，随机去候车，等车的时间为,X,分钟：,X,且,这种分布叫均匀分布，记作：,XU0，5,r.v.,的,d.f.,概率密度函数,均匀分布,XU0,5,的,d.f.,1,5,0,x,y,y=F(x),0,x5,1/5,0,x,5,p(x)=,0,其它,连续型,r.v.,的性质,离散型随机变量,X,的分布列,P(,X,=x,k,)=p,k,(k=1,2,),p,k,0,且,p,k,=1,连续型随机变量,X,的概率密度函数：,p(x),0,且,作业,习题二(,P.66-67),2,4,6,8,