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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五节数列的综合应用,考纲点击,能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题,.,热点提示,1.,以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前,n,项和公式,.,2.,等差、等比交汇，考查数列的基本计算,.,3.,数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用,.,4.,以考查数列知识为主，同时考查,“,等价转化,”,、,“,变量代换,”,思想,.,1,解答数列应用题的步骤,(1),审题,仔细阅读材料，认真理解题意,(2),建模,将已知条件翻译成数学,(,数列,),语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么,(3),求解,求出该问题的数学解,(4),还原,将所求结果还原到原实际问题中,2,数列应用题常见模型,(1),等差模型：如果增加,(,或减少,),的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加,(,或减少,),的量就是公差,(2),等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比,银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？,提示：单利公式,设本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,n,，则本利和,a,n,=a,（,1+rn,），属于等差模型,.,复利公式,设本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,n,，则本利和,a,n,=a,（,1+r,）,n,，属于等比模型,.,(3),递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是,a,n,与,a,n,1,的递推关系，还是前,n,项和,S,n,与,S,n,1,之间的递推关系,1,有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为,2,个，现在有一个这样的细菌和,100,个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要,(,),A,6,秒钟,B,7,秒钟,C,8,秒钟,D,9,秒钟,【,解析,】,依题意,1,2,1,2,2,2,n,1,100,，,100,，,2,n,101,，,n,7,，,则所求为,7,秒钟,【,答案,】,B,2,已知函数,f(x),，其对称中心是 ，若,a,n,(nN,*,),，记数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，则使,S,n,0,的,n,的最小值为,(,),A,10 B,11,C,12 D,13,【,解析,】,由题意可知,是其对称中心，,a,1,a,10,0,，,a,2,a,9,0,，,即,a,1,a,2,a,10,0,，即,S,10,0,，,而,a,11,f(11)0,，,S,11,0.,【,答案,】,B,3,等差数列,a,n,中，,a,n,0,，,nN,*,，有,2a,3,a,7,2,2a,11,0,，数列,b,n,是等比数列，且,b,7,a,7,，则,b,6,b,8,等于,(,),A,2 B,4,C,8 D,16,【,解析,】,a,7,2,2a,3,2a,11,2(a,3,a,11,),4a,7,，,a,7,0(,舍,),或,a,7,4,，,b,7,a,7,4.,b,6,b,8,b,7,2,16.,【,答案,】,D,4,已知三个数,a,、,b,、,c,成等比数列，则函数,f(x),ax,2,bx,c,的图象与,x,轴公共点的个数为,_,【,解析,】,a,、,b,、,c,成等比数列，,b,2,ac,，且,b,0.,又,b,2,4ac,b,2,4b,2,3b,2,0,且,a1),，设,f(a,1,),、,f(a,2,),、,、,f(a,n,)(nN),是首项为,4,，公差为,2,的等差数列,(1),若,a,为常数，求证：,a,n,成等比数列；,(2),设,b,n,a,n,f(a,n,),，若,b,n,的前,n,项和是,S,n,，当,a,时，求,S,n,；,(3),令,C,n,a,n,lg a,n,问是否存在,a,，使得,C,n,中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出,a,的范围；若不存在，说明理由,【,解析,】,(1),证明：,f(a,n,),4,(n,1),2,2n,2,，,即,log,a,a,n,2n,2,，可得,a,n,a,2n,2,.,a,2,，为定值,a,n,为等比数列,(2)b,n,a,n,f(a,n,),a,2n,2,log,a,a,2n,2,(2n,2)a,2n,2,.,当,a,时，,b,n,(2n,2),2n,2,(n,1)2,n,2,.,S,n,22,3,32,4,42,5,(n,1)2,n,2,，,2S,n,22,4,32,5,42,6,n2,n,2,(n,1)2,n,3,.,得,S,n,22,3,2,4,2,5,2,n,2,(n,1)2,n,3,.,16,(n,1)2,n,3,16,2,n,3,2,4,n2,n,3,2,n,3,n2,n,3,.,S,n,n2,n,3,.,(3)C,n,a,n,lg a,n,a,2n,2,lg a,2n,2,(2n,2)a,2n,2,lg a.,要使,C,n,1,C,n,对一切,n,2,成立,即,nlg a1,时，即,n(n,1)a,2,，对一切,n,2,成立,当,0a(n,1)a,2,n,对一切,n,2,成立只需,2,，,0a .,故,a,的范围为,0a1.,气象学院用,3.2,万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第,n,天的维修保养费为 元,(nN,*,),，使用它直至报废最合算,(,所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少,),为止，一共使用了多少天？,【,自主探究,】,由第,n,天的维修保养费为 元,(n,N,*,),，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应,n,的值,设一共使用了,n,天，则使用,n,天的平均耗资为,当且仅当 时，取得最小值，此时,n,800.,答：一共使用了,800,天,【,方法点评,】,1.,解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力,2,解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：,从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：,2,某公司按现有能力，每月收入为,70,万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得,2009,年第一个月收入将减少,3,万元，以后逐月多减少,2,万元，如果进行改革，即投入技术改造,220,万元，且,2009,年后每月再投入,1,万元进行员工培训，则测算得自,2009,年第一个月起累计收入,T,n,与时间,n(,以月为单位,),的关系为,T,n,an,b,，且,2009,年第一个月时收入为,90,万元，第二个月时累计收入为,170,万元，问从,2009,年,1,月份开始，经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入,【,解析,】,改革后经过,n,个月累计纯收入为,(T,n,220,n),万元,不改革的累计收入为,70n,，,由题意可得,80n,10,220,n70n,3n,n(n,1),，,即,n,2,11n,2100,，得,n10,或,n0),，因此，历年所交纳的储备金数目,a,1,，,a,2,，,a,n,是一个公差为,d,的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为,r(r0),，那么，在第,n,年末，第一年所交纳的储备金就变为,a,1,(1,r),n,1,，第二年所交纳的储备金就变为,a,2,(1,r),n,2,，,，以,T,n,表示到第,n,年末所累计的储备金总额,(1),写出,T,n,与,T,n,1,(n2),的递推关系式；,(2),求证：,T,n,A,n,B,n,，其中,A,n,是一个等比数列，,B,n,是一个等差数列,【,思路点拨,】,(1),中关系式容易列出；,(2),中利用,T,n,与,T,n,1,，,T,n,1,与,T,n,2,的关系以此类推，逐步得,T,n,的表达式，再利用错位相减法求得,T,n,，即不难得出,A,n,与,B,n,.,【,自主探究,】,(1),由题意可得,T,n,T,n,1,(1,r),a,n,(n,2),(2)T,1,a,1,，对,n,2,反复使用上述关系式，得,T,n,T,n,1,(1,r),a,n,T,n,2,(1,r),2,a,n,1,(1,r),a,n,a,1,(1,r),n,1,a,2,(1,r),n,2,a,n,1,(1,r),a,n,在式两端同乘,1,r,，得,(1,r)T,n,a,1,(1,r),n,a,2,(1,r),n,1,a,n,1,(1,r),2,a,n,(1,r),，得,rT,n,a,1,(1,r),n,d(1,r),n,1,(1,r),n,2,(1,r),a,n,(1,r),n,1,r,a,1,(1,r),n,a,n,.,即,T,n,.,如果记,A,n,(1,r),n,，,B,n,n,，,则,T,n,A,n,B,n,.,其中,A,n,是以,(1,r),为首项，,以,1,r(r0),为公比的等比数列；,B,n,是以 为首项，以 为公差的等差,【,方法点评,】,1.,函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前,n,项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用,.,2,与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的,概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题这都与等比数列有关,3,某市,2008,年共有,1,万辆燃油型公交车，有关部门计划于,2009,年投入,128,辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加,50%,，试问：,(1),该市在,2015,年应该投入多少辆电力型公交车？,(2),到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？,(lg 657,2.82,，,lg 2,0.30,，,lg 3,0.48),【,解析,】,(1),该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列,a,n,，其中,a,1,128,，,q,1.5,，则在,2015,年应该投入的电力型公交车为,a,7,a,1,q,6,128,1.5,6,1 458(,辆,),所以到,2016,年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的,.,1,(2009,年湖北高考,),古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：,他们研究过图,1,中的,1,3,6,10,，,，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图,2,中的,1,4,9,16,，,这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是,(,),A,289,B,1 024,C,1 225 D,1 378,【,解析,】,观察三角形数：,1,3,6,10,，,，记该数列为,a,n,，,则：,a,1,1,，,a,2,a,1,2,，,a,3,a,2,3,，,a,n,a,n,1,n.,a,1,a,2,a,n,(a,1,a,2,a,n,1,),(1,2,3,n),a,n,1,2,3,n,，,观察正方形数：,1,4,9,16,，,，记该数列为,b,n,，则,b,n,n,2,.,把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得,n,都为正整数的只有,1 225,，故选,C.,2,(2009,年湖南高考,),将正,ABC,分割成,n,2,(n2,，,
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