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,真题感悟,考点整合,热点聚焦,题型突破,归纳总结,思维升华,第,2,讲数列的求和及综合应用,高考定位,1.,高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下；,2.,在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透,.,真 题 感 悟,考,点,整,合,2.,数列与函数、不等式的交汇,数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出,S,n,的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化,.,数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题、不等关系或恒成立问题,.,热点一数列的求和问题,命题角度,1,分组转化求和,探究提高,1.,在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想,.,把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,.,在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数,n,进行讨论,.,最后再验证是否可以合并为一个表达式,.,2.,分组求和的策略：,(1),根据等差、等比数列分组；,(2),根据正号、负号分组,.,探究提高,1.,裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项,.,2.,消项规律：消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项,.,命题角度,3,错位相减求和,【例,1,3,】,(2017,天津卷,),已知,a,n,为等差数列,前,n,项和为,S,n,(,n,N,*,),b,n,是首项为,2,的等比数列,且公比大于,0,b,2,b,3,12,b,3,a,4,2,a,1,S,11,11,b,4,.,(1),求,a,n,和,b,n,的通项公式；,(2),求数列,a,2,n,b,n,的前,n,项和,(,n,N,*,).,解,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,等比数列,b,n,的公比为,q,由已知,b,2,b,3,12,得,b,1,(,q,q,2,),12,而,b,1,2,所以,q,2,q,6,0,又因为,q,0,解得,q,2,所以,b,n,2,n,.,由,b,3,a,4,2,a,1,可得,3,d,a,1,8,由,S,11,11,b,4,可得,a,1,5,d,16,联立,解得,a,1,1,d,3,由此可得,a,n,3,n,2.,所以,a,n,的通项公式为,a,n,3,n,2,b,n,的通项公式为,b,n,2,n,.,探究提高,1.,一般地,如果数列,a,n,是等差数列,b,n,是等比数列,求数列,a,n,b,n,的前,n,项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列,b,n,的公比,然后作差求解,.,2.,在写,“,S,n,”,与,“,qS,n,”,的表达式时应特别注意将两式,“,错项对齐,”,以便下一步准确地写出,“,S,n,qS,n,”,的表达式,.,【训练,2,】,(2017,衡阳模拟,),已知等差数列,a,n,满足：,a,n,1,a,n,(,n,N,*,),a,1,1,该数列的前三项分别加上,1,1,3,后成等比数列,且,a,n,2log,2,b,n,1.,(1),求数列,a,n,b,n,的通项公式；,(2),求数列,a,n,b,n,的前,n,项和,T,n,.,探究提高,1.,给出,S,n,与,a,n,的递推关系求,a,n,常用思路是：一是利用,S,n,S,n,1,a,n,(,n,2),转化为,a,n,的递推关系,再求其通项公式；二是转化为,S,n,的递推关系,先求出,S,n,与,n,之间的关系,再求,a,n,.,2.,形如,a,n,1,pa,n,q,(,p,1,q,0),可构造一个新的等比数列,.,热点三数列与函数、不等式的综合问题,【例,3,】,(2017,惠州三调,),在数列,a,n,中,点,(,a,n,a,n,1,),在直线,y,x,2,上,且首项,a,1,1.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,等比数列,b,n,中,b,1,a,1,b,2,a,2,数列,b,n,的前,n,项和为,T,n,请写出适合条件,T,n,S,n,的所有,n,的值,.,解,(1),点,(,a,n,a,n,1,),在直线,y,x,2,上,且,a,1,1.,a,n,1,a,n,2,则,a,n,1,a,n,2,因此数列,a,n,是公差为,2,首项为,1,的等差数列,.,a,n,1,2(,n,1),2,n,1.,探究提高,1.,求解数列与函数交汇问题注意两点：,(1),数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,(,或它的有限子集,),在求数列最值或不等关系时要特别重视；,(2),解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件,.,2.,数列为背景的不等式恒成立、不等式证明,多与数列的求和相联系,最后利用数列或数列对应函数的单调性处理,.,1.,错位相减法的关注点,(1),适用题型：等差数列,a,n,乘以等比数列,b,n,对应项得到的数列,a,n,b,n,求和,.,(2),步骤：,求和时先乘以数列,b,n,的公比,.,把两个和的形式错位相减,.,整理结果形式,.,2.,裂项求和的常见方法技巧,3.,数列与不等式综合问题,(1),如果是证明不等式,常转化为数列和的最值问题,同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；,(2),如果是解不等式,注意因式分解的应用,.,
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