数学中的公理化方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 数学中的公理化方法与结构方法,公理化方法,在近代数学的发展中起着基本的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统形成有着深刻的影响，而,数学结构方法,则是全面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革运动，即“新数学”运动。,两种方法均是用来构建数学理论体系的，一个是局部，一个是整体。,本章将概括介绍这两种思想方法，从中领略数学理论构建的一般思想方法。,4.1公理化方法的历史概述,公理化方法的基本思想,数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。,4.1公理化方法的历史概述,因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做,公理化方法,。,4.1公理化方法的历史概述,公理化方法的历史考察,众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。,亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作几何原本。,4.1公理化方法的历史概述,欧几里德几何原本是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的典范。几何原本,在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了初等几何体系。,当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原始的,，其公理体系还是不完备的,。所以,，,称,这一阶段,为,公理化方法的初期阶段,。,4.1公理化方法的历史概述,欧几里德几何原本孕育了一种理性精神，成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。,欧几里德的,原本所表述的数学观是：,几何理论是封闭的演绎体系。原本成功地将零散的数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论的整体结构。从逻辑结构来看，原本是一个最早形成的演绎体系，除所用的逻辑规则外，具备了其理论推导的所有前提，从理论发展形势来看是一个封闭的理论演绎体系。,4.1公理化方法的历史概述,抽象化的内容。原本中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会具体生活的关系，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些显示原型。如在原本中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但不研究任何一个具体的矩形的实物大小；原本中研究了自然数的若干性质，但却一点也不涉及具体的自然数的计算及应用。,4.1公理化方法的历史概述,公理化方法。原本的基本结构是由少数不定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中的所有其他概念，推演出所有其他的命题（定理）。原本就是用这种公理化方法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其后所有数学的范本。,在公理化方法的初期阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。,4.1公理化方法的历史概述,特别是,原本中,第五公设的陈述从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。,对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设。,4.1公理化方法的历史概述,通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明而失败的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于1733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。,4.1公理化方法的历史概述,萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他在一本名叫欧几里得无懈可击（1733年）的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明平行公设。,萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中 且为直角。,萨克利指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为：,1、直角假设： 和 是直角；,3、锐角假设： 和 是锐角；,2、钝角假设： 和 是钝角；,可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立。这样就证明了第五公设。,萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。,4.1公理化方法的历史概述,数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于180）尚未导致矛盾，因而它与其他公理可能是协调的。,虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的反证法及其所得的结果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。,4.1公理化方法的历史概述,一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形内角和小于180）的罗巴切夫斯基几何系统就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何,。,4.1公理化方法的历史概述,在1854年又发现了钝角假设（三角形内角和大于180）也成立的黎曼几何系统，后来人们称这两种几何为非欧几何。,非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进一步解决,。,从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看，非欧几何的客观原型是什么？,人们还不清楚。也就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没有得到具体的解释。,4.1公理化方法的历史概述,到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条件。,意大利的贝特拉米于1869年,在其论文非欧几何的实际解释中,提出了用欧氏球面作为黎曼几何的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成黎曼几何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。,4.1公理化方法的历史概述,德国数学家克莱因于1870年在欧氏平面上用不包括圆周的圆内部构造了一个罗氏几何模型，人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一个解释，即把欧氏几何的直线解释成罗氏平面上的直线，欧氏几何的点解释成罗氏平面上的点。,由于非欧几何在欧氏几何中找到了它的模型，因此非欧几何的无矛盾性就转化为欧氏几何的无矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧几何也无矛盾,。,4.1公理化方法的历史概述,随后不仅人们找到了非欧几何在天文学与相对论中的解释和应用，而且相继发现欧氏几何的每条公理在罗氏空间的极限球上得以全部成立。于是，反过来欧氏几何的相容性可借助非欧几何协调性给以保证。从而就证明了两种几何是互相协调的，第五公设的独立性问题得到解决。,非欧几何的确立促进了公理化方法及几何基础研究的进展。,4.1公理化方法的历史概述,在创立非欧几何的过程中，公理化方法得到了如下发展：,非欧几何诞生的第一步就在于认识到：平行公设不能在其他九条公设和公理的基础上证明。它是独立的命题，所以可以采用一个与之相反的公理并发展成为全新的几何。这就是说，在一个公理系统中，我们可以把一个具有独立性的公理换成另外的公理而得到一个全新的公理系统，这种方法是现代的一个重要的公理化方法。,非欧几何的创立深刻地启示人们，可以证明“在一个给定的公理系统中某些命题不可能证明”。,4.1公理化方法的历史概述,非欧几何系统已经不是像原本那样依赖于感性直观的实质性公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式公理化方法的过渡，这表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。,非欧几何的创立，为公理化方法可以推广和建立新的理论提供了依据，大大提高了公理化方法。,非欧几何的创立，还产生了如下重大影响：,非欧几何的诞生标志着欧氏几何统治的终结，欧氏几何统治的终结则标志着所有绝对真理的终结。,4.1公理化方法的历史概述,非欧几何的创立，使人们开始认识到数学空间与物理空间之间有着本质的区别。数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。,非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理系统，只要这种研究具有一定的意义。,非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧摒弃感觉经验的范例。,4.1公理化方法的历史概述,当然，非欧几何并非毫无实用性。例如，,1916,年爱因斯坦发现的广义相对论的研究中，必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何便是黎曼几何。又如，由,1947年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基非欧几何来描述。这些事实说明：数学对人类文明发展的作用是何等重大。,非欧几何的创立，标志着公理化方法进入到其,完善阶段。,4.1公理化方法的历史概述,在非欧几何创立之后，以希尔伯特为代表的数学家掀起了对几何基础的研究，同时也促进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家对数学分析基础的实数理论的研究。从而导致了“分析算术化”方向的出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观的几何说明。由于对实数理论的研究，又推动了代数的重大变化，即由代数方程的求解导致了群论的产生，从而使代数的研究对象发生了质的变化，逐渐变成一门研究各种代数运算系统形式结构的科学。,4.1公理化方法的历史概述,由于形式公理化方法在分析、代数领域中取得了成功，反过来又将几何公理化方法的研究推向一个新的阶段，即,形式公理化阶段,。,希尔伯特在1899年出版的名著几何基础就是这个时期研究成果的突出代表。,所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它的涵义、特征和范围不是先于公理而确定，而是由公理组隐含确定。,4.1公理化方法的历史概述,希尔伯特在他的几何基础中，放弃了欧几里德几何原本中公理的直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以拼弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理，,第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化公理系统。,从此公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已被其他学科领域所采用。所以人们称它为公理化方法发展史上的一个里程碑。,4.1公理化方法的历史概述,虽然希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一个形式化的公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几何所研究的内容范围。为了使形式公理系统更形式化，涵盖的模型更多，就必须使形式化公理系统来自具体模型而又要摆脱具体模型过多的条条框框的束缚，于是人们需要研究更复杂的逻辑结构，从而就导致了现代数理逻辑的形成和发展。现代数理逻辑出现后，至少在下列两个方面发挥了巨大作用。,4.1公理化方法的历史概述,其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表的数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础的高潮，又因数学基础进一步发展的需要，反过来又促使现代数理逻辑的发展，从而也就导致了证明论（或元数学）、模型论、递归函数论的出现。特别是英国大哲学家、数学家、和逻辑学家罗素于1902年发现集合论的悖论，震动了整个数学界，从而更促进了公理化集合论的形成和发展。集合论的公理化系统的出现及现代数理逻辑出现，将形式公理化方法推向一个更高的阶段,纯形式公理化阶段,。,希尔伯特建立的元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义、也包括对形式系统性质的研究。简言之，元数学是以整个理论而不是以它的某一部分作为数学研究的对象。元数学等的创立把形式公理化方法向前推进了一大步。,4.1公理化方法的历史概述,纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。,公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为几何原本、几何基础和ZFC公理系统。,4.1公理化方法的历史概述,其二，为数学应用于现代科学技术开辟了前景。电子计算机的出现就是突出的一例，这是因为电子计算机的设计需要研究如何用基本的逻辑运算去表示和构造复杂的逻辑结构和运算，这正是现代数理逻辑研究的一个基本课题。由于电子计算机的出现导致了机器证明及数学机械化方向的产生，从而使现代纯形式公理化方法又获得了一个新的用场。,公理化方法本身及其在数学理论和实践应用中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向前发展。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,一、公理化方法的逻辑特征,公理化方法的作用在于从一组公理出发，以逻辑推理为工具，把某一范围系统内的真命题推演出来，从而使系统成为演绎体系.,对于所选公理，我们一方面要求能从公理组推出该系统内的全部真命题，另一方面又要求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所选公理个数最少.,这三个方面构成了公理化方法的逻辑要求，此也是判别一个公理系统是否科学合理的准则。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,（1）无矛盾性（相容性或协调性）,无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题,A,与其否定命题 ，显然，这是对公理系统的最基本的要求。,如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,为此，人们创造了一种特殊方法即解释法或作模型法。,其,基本思想如下：,将公理系的每一不定义的概念与对象的某一集合相对应，而且要求对应于不同概念的集合没有公共元素，然后，使公理系,T,的每一关系对应着对应集合元素间的某一确定的关系。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,这样所得的集合与关系的全体叫做解释域，公理系T的每一命题 可以用自然的方法对应于解释域中相应的命题 。如果所得的命题 为真，那么就称公理系T的命题 在这个解释下是真的，如果 假，则 在这个解释下是假的，如果公理系T的全部公理在这个解释下均为真，那么这个解释称为所给公理系的模型。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,解释域及其性质常常是另一数学理论 的研究对象， 本身同样可以是公理化的，所以说，用解释法能证明公理系 的相对相容性，即能作出“如果 相容，即么 也相容”的判断。,解释法实质上是将一个公理系系统的无矛盾性证明化归为另一个公理系统的无矛盾性的证明，是一种间接证明。,克莱因就是采用这种方法将罗氏几何的无矛盾性化归为欧氏几何的无矛盾性的。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,正是由于罗氏几何的相容性要由欧氏几何的相容性来得证，本来并无疑问的欧氏几何相容性问题也引起了人们的怀疑，迫使人们再去寻找欧氏几何相容性的证明，由于解析几何可以看成是实数系统中欧氏几何的一个解释模型，于是欧氏几何相容性证明转化为实数系统的无矛盾性的证明，而实数系统可建立在ZFC公理化集合论的基础上，因此，实数系统的无矛盾性又化归为集合论的无矛盾性证明，而后者经过几代数学家们的努力，至今尚未得到彻底解决。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,（2）独立性,独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。,独立性其实要求的是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，所以，独立性要求公理组中公理数目最少。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,利用解释法同样可以证明所给公理系的独立性问题，所谓公理系T中公理A的独立性无非是指A由其他公理既不能证实，也不能否定。,建立一个新的公理系，就是将公理 换成它的否定 ，而其他公理保持不变，只要能证明新的公理系是相容的，就可断言 在公理系T中独立，从而将独立性问题化归为相容性证明问题，而新公理系相容性证明可用解释法。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,（3）完备性,完备性要求在一个公理系统中，公理组的选取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，这是关于完备性的古典定义。,现代数学常借助模型的同构给公理系的完备性下定义，即如果公理系,T,的所有模型或解释都彼此同构，就称这个公理系是完备的。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,所谓模型的同构是指这个公理系的两个模型,（X，R）,与,（Y，S）,（这是为简便计，假设给定的公理系中只有一个不定义的概念和一个不定义的关系。,X,与,Y,是某两个集合，,R,与,S,分别是这两个集合中的关系）间存在一个双射,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,在上述公理化方法的三个特征中，无矛盾性是最重要而又是非有不可的。,独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一块。但是,，,独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。,至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从研究完备的公理系确定的对象转向研究其公理系不完备的对象”被认为是现代数学的特征之一。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,二、公理化方法的意义和作用,对于公理化方法的作用和意义，希尔伯特曾评论道：“不管在哪个领域，对于任何严肃的研究精神来说，公理化方法都是并且始终是一个合适的不可缺少的手段；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是富有成果的；因此，它保证了研究的完全自由。在这个意义上，用公理化方法进行研究就等于用已掌握了的东西进行思考。早年没有公理化方法的时候，人们只能朴素地把某些关系作为信条来遵守，公理化的研究方法则可以去掉这种朴素性而使信仰得到利益”。“能够成为数学的思考对象的任何事物，在一个理论的建立一旦成熟时，就开始服从于公理化方法，从而进入了数学。通过突进到公理的更深层次,我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，并弄清我们的知识的统一性。特别是，得力于公理化方法，数学似乎就被请来在一切学问中起领导的作用,”。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,公理化方法对数学的发展起到了巨大作用，如在对公理化方法逻辑特征的研究中，产生了许多新的数学分支理论，非欧几何是由研究欧氏几何公理系统的独立性产生的，元数学理论或证明论是由研究公理系统相容性产生的，等等。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,具体地说，公理化方法的意义和作用可以概括为以下几点：,表述和总结科学理论,公理化方法使有关的理论系统化，把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质。它是应用演绎推理的基本方法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一种理性证明的手段，它是表述科学理论一种比较完善的方法，它为各门科学提供了一种思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促进理论的完善和严格化。它赋与数学内在的统一性，有助于人们了解数学各分支、各部门之间的本质联系。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,完善和创新理论,公理化方法的应用要求一门科学的充分成熟：积累了一定数量的基础知识，进行了一定的系统分析和研究，对该门学科知识结构有了较深入的理解。因此，实现公理化的过程也是深入研究理论体系的过程。采用公理化方法还可以发现和补充理论系统中的缺陷和漏洞。从而有利于完善已有理论，创建新的理论。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,培养和熏陶人们的逻辑思维能力,数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一。逻辑思维能力是一种重要的数学能力。而公理化方法使逻辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学教育的成效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏陶学生的逻辑思维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有利于人们学习和掌握。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,中学数学中的几何体系就是按照公理化方法的思想编排的，这使中学几何成为大家公认为最有利于培养逻辑思维能力的科目。但正如苏联数学教育家斯托利亚尔所言：,“,在学校中普通能够实现的，只是有实际内容的公理体系,”。,现行几何教材正是这样做的：通过采用扩大公理系统的方法，而其他概念、性质和定理则采用推理和直观相结合的方法演泽出来，即在学生可接受的情况下，充分体现公理化方法思想。,中学几何课本中的公理系统是一个扩大的公理系统，只满足相容性，不满足独立性和完备性。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,平面几何公理七条：, 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。, 在所有连接两点的直线中，线段最短。, 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和该直线平行。, 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么，这两条直线平行。, 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。, 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。, 矩形的面积等于它的长与宽的积。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,立体几何公理六条：, 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。, 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。, 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。, 平行于同一条直线的两条直线互相平行。, 长方体的体积等于其长、宽、高的积。, 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,三、初等函数的公理化定义,1、幂函数的公理化定义,对于x和y的一切正实数值满足方程,的唯一不恒等于零的连续函数,2,、指数函数的公理化定义,对于x和y的一切正实数值满足方程,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,的唯一不等于零的连续函数,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,3、对数函数的公理化定义,对于x和y的一切正实数值满足方程,的唯一不等于零的连续函数,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,4、正弦函数、余弦函数的公理化定义,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,下面我们仅证明其中的定理3与定理4。,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,（1）结合律成立，即对,G中任意元素,a，b，c,都有,（2）,G中有元素,e,，叫做G的左单位元，它对G中每一个元素,a,都有,下面我们再来看看群的公理化定义,令G是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,则称,G对代数运算 作成一个群。,（3）,对G中每个元素,a,，在G中都有元素 ，叫做,a,的左逆元，使,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,四、公理化方法的局限性,1、每一个数学分支都要按公理化方法的三条标准去实现它的公理化是不可能的。,我们知道，在公理化方法及现代数理逻辑取得重大成就的基础上，为了避免数学中产生悖论，使整个数学建立在一个严格化的基础上，以,希尔伯特,为代表的数学家试图将所有数学分支都按公理化方法三条标准实现它的公理化，哥德尔不完全定理表明,希尔伯特,等人的计划要全部实现是不可能的。,1931年，奥地利数学家哥德尔发表了题为,论数学原理及有关系统中的形式不可判定命题,的论文，其中证明了一条定理：,任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A使A的否定在该系统皆不可证。,这一定理被称为哥德尔第一不完全性定理。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,第一不完全性定理表明：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某些问题从形式系统的公理出发不能解答。在第一不完全性定理的基础上，哥德尔进一步证明了：,在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾性）这一论断本身。也就是说，如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。,这就是所谓哥德尔第二不完全性定理。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,第一不完全性定理和第二不完全性定理合称“哥德尔不完全性定理”,哥德尔不完全性定理是属于某种否定性的结果，但这项否定性结果却带来了数学基础研究的划时代变革。其对数学基础产生的巨大影响而在20世纪数学史上写下了浓重的一笔。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,首先，哥德尔不完全性定理破天荒地第一次分清了数学中的“真”与“可证”是两个不同的概念，可证明的命题固然是真的，但真的命题不一定是可证明的。对于形式系统来说，“可证”是可以机械地实现的，“真”则需要进一步的思想能动性以及超穷工具。这一切突破了人们对数学真理的传统理解，将对数学真理的认识推向了崭新的层次。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,其次，哥德尔不完全性定理的证明中提出的“原始递归函数”概念，成为算法理论或可计算理论的起点，特别是它引导图灵提出了理想计算机概念，为电子计算机的研制提供了理论基础。,另外，虽然哥德尔不完全性定理指出了形式化数学的局限性，但这并不意味着公理化方法的消亡，相反，哥德尔的结果极大地促进了数学方法论的发展，解决了一批证明论问题，使数理逻辑在新的起点上获得了新的发展。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,哥德尔定理的意义在于，不仅是数学的全部，甚至任何一个有意义的科学体系也不能用一个合理系统概括起来，因为这样的合理系统是不可能完备的。还须指出的是，哥德尔的理论改变了数学发展的进程，触动了人类思维的深层结构，它又渗透到音乐、艺术、生物、计算机和人工智能等领域。,4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,2、公理化方法一般地讲只能运用于一个数学分支发展到一定的成熟阶段，否则就有可能对数学的发展起束缚作用。,我们知道公理化方法的优点之一是可以使它的内容系统化、条理化、逻辑化。但是，我们还要指出一般来说只有在一个数学分支发展到一定的阶段才有可能运用公理化方法揭示它的内在规律，从而使它系统化。如果一个新的数学分支刚刚诞生就要强调它的逻辑严密性、系统性，不但没有好处，反而对它的发展可能起到束缚作用。例如，微积分的产生、发展直至完善所经历的道路就是一个突出的例证。,4.2公理化,方法,的逻辑特征、意义和作用,3、由于公理化方法主要突出了逻辑思维，而且它主要用于“回顾”性的“总结”，对“探索”性的“展望”作用较少。公理化方法若不与实验方法相结合，则不会更好地解决问题；若不与其它的科学方法相结合，也不会更好地发现问题。,所以对公理化方法的作用和意义估价要恰当。否则不论是从认识论还是从方法论来讲都有束缚作用。,4.3几个典型公理系统简介,一、希尔伯特几何基础的公理系统,4.3几个典型公理系统简介,一、希尔伯特几何基础的公理系统,基本对象,几何基础公理系统,基本关系,基本公理,点、线、面,结合关系、顺序关系,合同关系、连续关系,平行关系,结合公理、顺序公理,合同公理、连续公理,平行公理,4.3几个典型公理系统简介,希尔伯特公理,体,系,中的基本概念共有八个（其中基本对象三个、基本关系五个），对基本概念的唯一要求是适合五组公理。公理组共有18条公理（其中结合公理6条、顺序公理4条、合同公理5条、平行公理1条、连续公理2条）。这里要指出的是，,希尔伯特公理,体,系,对欧几里德,公理,体,系,的最重要的补充是顺序公理中的点与线的顺序公理及连续公理。,这部分的详细内容可参见傅秀章先生著几何基础（北师大出版社）。,4.3几个典型公理系统简介,希尔伯特,的这个,公理,体,系,已被世界上一些数学家看作经典作品。,希尔伯特在,几何基础中所采用的是形式公理化方法，即对象的直观背景完全被舍弃了他所从事的已不再是某种特定的对象的研究，而只是由给定的公理（更准确地说是假设）出发去进行演绎。因为几何学所研究的只是由什么样的前提出发能推出什么样的结论，而对所讨论的对象是什么事不关心的。,4.3几个典型公理系统简介,简言之，,原本是实质性公理系统，即“对象公理演绎”系统；几何基础是形式化公理系统，即“假设演绎”。,这里我们要特别指出的是，若将,希尔伯特公理,体,系,中的平行公理换成相反的公理，我们就得到罗氏几何的公理体系。这也是希尔伯特,公理,体,系,的一个美妙的特点。在这里，我们又一次看见了公理化方法的巨大力量。,4.3几个典型公理系统简介,二、集合论公理系统ZFC公理系统,1、ZFC公理系统形成简介,自从集合论中的罗素悖论出现后，很多逻辑学家和数学家致力于集合论的改进工作，特别突出的是著名德国数学家策梅罗，,他于1908年首先提出他的改进方案，即策,梅,罗集合论公理系统。后经费兰克尔、斯克朗等人的改进，于1921-1923年间逐渐形成了一个严格的形式化集合论公理系统，这就是著名的ZF公理系统。在ZF公理系统中加上选择公理，便是今天的ZFC公理系统。,4.3几个典型公理系统简介,二、集合论公理系统ZFC公理系统,1、ZFC公理系统形成简介,策梅罗(德, 1871-1953),费兰,克尔(德 , 1891-1965) 斯克朗(挪, 1887-1963),4.3几个典型公理系统简介,2、ZFC公理系统结构框图,集合论公理系统,基本公理,基本关系,基本对象,“集”及其“元素”,“集”及它的“元素”的隶属关系“ ”,外延公理,、,空集公理对偶公理,、,并集公理子集公理,、,幂集公理无穷公理,、,正则公理代换公理,、,选择公理,4.3几个典型公理系统简介,3、ZFC公理系统的特点、意义和作用,首先，ZFC公理系统是一个完全形式化的抽象公理系统，也就是说它的结构表达形式完全已符号化。,例如，外延公理：,其次，,ZFC,十条公理可概括为三类：即外延原则，它的主要作用是保证集合的唯一性；,概括原则,，,它的主要作用是解决的构造集合的问题；,选择原则,，,它的主要作用是解决选择集合的问题。,即,:,如果两个集合A与B包含有完全相同的元素，则它们必相等.,4.3几个典型公理系统简介,最后，,ZFC公理系统,为分析学奠定了严格地理论基础。例如在无穷公理和并集公理的基础上可以严格的建立自然数、自然数集合及自然数理论；在幂集公理基础上可以引出实数系；在子集公理基础上可以讨论实数的任何子集及其性质等。由此可见，,只要ZFC公理系统无矛盾，那么实数理论也就无矛盾。,然而，尽管至今ZFC公理系统尚未发现矛盾，但这种无矛盾性还没有得到严格的理论证明。而且根据哥德尔不完全性定理，ZFC公理系统本身不可能证明自己是无矛盾的，即它的无矛盾性只有借助外系统来证明。,4.3几个典型公理系统简介,三、自然数公理系统,1、自然数公理化的提出,数学顾名思义是一门研究数的科学，人们皆知自然数来自实践，而且是数学的起步点。然而，由自然数的产生直到十九世纪末，在这个漫长的历史时期却很少有人对自然数的理论奠基工作进行过专门的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及数学中悖论的出现，才迫使人们反过头来进一步研究数学的起点，即自然数的理论奠基工作，寻求建立自然数的公理化方法。,4.3几个典型公理系统简介,自然数公理化方法的建立有几种类型，其中最著名的是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表的算术原理：新的论述方法中所提出的公理化方法。,皮亚诺(意, 1858-1932),4.3几个典型公理系统简介,自然数公理化方法的建立有几种类型，其中最著名的是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表的算术原理：新的论述方法中所提出的公理化方法。,2、皮亚诺自然数公理,系统,（1）原始（或基本）概念。,（i） 原始对象：自然数1、自然数集。,（ii）原始关系：后继数（例如3是2的后继数）,或后继函数。,4.3几个典型公理系统简介,（2）公理组,（i）每个自然数x都有直接后继它的数,。即,这条公理表明，自然数具有离散性，此性质是自然数的一个重要特征。,（ii）1不是任何自然数的后继数,。即,这条公理保证了自然数集有首元素，即自,然数集,是一个良序集。,4.3几个典型公理系统简介,（iii）每一个自然数不存在多于一个直接后继它的自然数,。即,（iv）每一个自然数都不直接后继多于一个自然数，即,4.3几个典型公理系统简介,此公理称为归纳公理，它是数学归纳法的基础和,根据。建立在自然数归纳公理基础上的数学归纳法的,主要逻辑特征是，将一个无穷归纳过程转化为一个有,限步骤的演绎过程.,（v）,任何一个自然数集 ，若具有性质：,a） ；,b）如果 ，那么 则自然数集 包含了所有的自然数。也就是说自然数集 与自然数集 相等。,4.3几个典型公理系统简介,3、对皮亚诺公理系统逻辑特征的补充说明,前面我们曾提到过哥德尔不完备性定理，从理论上证明了皮亚诺公理系统是一个不完备的公理系统，最近英国青年数学家巴黎斯等人，在组合论中发现了皮亚诺公理系统中既不能肯定又不能否定的一个纯粹组合问题，从而也就为哥德尔不完全备定理找到了一个具体实例。,哥德尔不完全定理还告诉我们，皮亚诺算术公理系统的相容性在本系统内通过有限步骤是无法证明的。但是，数理逻辑学家甘岑在放宽条件下，即在皮亚诺公理系统外，依据超穷归纳法用超穷步骤证明了皮亚诺公理系统的相容性。,4.4 数学结构方法,一、结构方法简述,19世纪至20世纪初，数学得到了前所未有的高速发展，研究领域越来越广，数学这棵生长树越长越茂密，树岔越分越细，从而数学显得越来越庞杂无序，使得即便是造诣高深的数学家也无法全局把握、透视，面对这种发展趋势，于是数学界一个有意义的课题就应运而生，那就是，用统一的观点去处理这“庞杂”的内容，使之“有序”。,4.4 数学结构方法,对于数学的局部内容，这个想法,是,可以实现,的,，如希尔伯特,的几何基础、范德瓦尔登的近世代数的出版；,ZFC的集合论公理系统的问世；,德国数学家克莱茵利用“群论”观点统一处理了各种几何学（此即爱尔朗根纲领），美国数学家伯克霍夫用“格”的概念统一处理了代数系统的理论,。,那么，对于整个数学而言，能否采用某种统一观点将其重新整理呢？,4.4 数学结构方法,20世纪初，法国一批杰出的年轻数学家在爱尔朗根计划的启示下，于1933年成立了以尼古拉布尔巴基为名的数学家集体，其行动目标就是,从整个数学全局出发，以集合论为基础，运用形式公理化方法，重新整理各个数学分支，从内容结构上给以彻底改造,。,其基本出发点是,：,数学是研究形式结构的科学，数学各分支应能按结构性质来统一分割和归类。,4.4 数学结构方法,数学大师A.博雷尔(Armand Borel)在回顾参与布尔巴基活动的往事时说：“布尔巴基并没有实现他的所有梦想，达成全部的目标。在我看来，这已经足够了。在培植数学的整体观念、数学基础的统一性、叙述风格、符号选择等等方面，对数学发展产生了持久的影响。”“在我心中永远保留的回忆是，数学家们多年的无私合作，各不相同的个性能朝向共同的目标，在数学史上也许是绝无仅有的。”,4.4 数学结构方法,那些流淌着的青春的学术的激情，那些灵光四射的智慧的火焰，真理在“疯子们”的激辩中荡漾着七彩的光芒这种学术上的原生态状况，使布尔巴基学派在很长时间里保持着旺盛的创造力，培育了众多泰斗级的数学精英，主要成员中不断有人获得沃尔夫数学奖和菲尔兹奖其主要成员先后有让迪多内、安德列韦伊和亨利嘉当（以上两人为沃尔夫数学奖得主），克劳德谢瓦莱、劳伦特施瓦兹、亚利山大格罗申第克和让皮埃尔塞尔（后三人均曾获菲尔兹奖）等,H. 嘉当(法, 1904- ),布尔巴基学派(法, 1935- ),迪多内(法, 1906- 1992),谢瓦莱(法, 1909-1984) 德尔萨特(法, 1903-1968) 韦伊(法, 1906-1998),4.4 数学结构方法,这个集体不仅要求正式成员数学素质要好，善于创新，而且年龄不能超过50岁，他们经常组织讨论班和研究会，集思广益，协作探索，1936年正式向法国政府申请科学基金，并以布尔巴基名义发表众多成果和出版系列专著数学原理，他们著作的独特观点和风格赢得了布尔巴基学派称号，其思想即是结构主义，是用结构方法处理数学。具体说来就是，利用形式公理法化方法抽象出各种数学分支各种结构，找出各数学分支之间的结构差异，从而获得各数学分支间内在关联的清晰图象。,4.4 数学结构方法,显然，结构主义可以看作是现代形式公理方法的一种发展，因为，,形式公理化方法,是着眼于某一门数学的形式公理化或者结构化；,结构主义的思想方法,则是以现代形式,公理化方法为工具，着眼于整个数学全局去看待各个数学分支，,即不仅要在数学大范围内分析研究每一门数学的结构，而且还要分析研究各数学分支之间结构的差异及其内在联系。,4.4 数学结构方法,布尔巴基学派,在集合论的基础上,首先通过抽象分析法，建立了三种基本结构，也称母结构，即,代数结构、序结构和拓朴结构，,然后以这三个母结构为基础，按照结构之间的“不同”关系，交叉产生新结构，从而，使得数学由一个分支结构转移到另一个分支结构，有层次地一直延伸出去，形成整个数学。,4.4 数学结构方法,集合论,代数结构,序结构,拓扑结构,布尔代数结构,分析结构,序拓扑结构,结构层次框图如下,:,4.4 数学结构方法,正如他们所说：,“数学好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系，城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学分支，与此同加时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，”。,4.4 数学结构方法,二、数学结构简介,一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构。但引进了运算和变换，就形成了结构。结构中必须包含元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的。,1,、数学结构的具体实例,下面以抽象群理论来具体说明结构是怎样产生和如何确定一个结构。,4.4 数学结构方法,首先让我们考察三种运算：,（1）实数的加法：实数的和按通常的方法确定。,（2）整数“按模素数 ”的乘法 ：两数的“乘积”定义为两数通常的乘积除以 的余数。,（3）在三维欧氏空间中的位移“合成”：两个位移（按这个顺序）的“合成”（或“乘积”）定义为执行第一个位移后再执行第二个位移所得到的位移。,4.4 数学结构方法,在三种不同的运算中，用统一符号“ ”表示运算，用 表示两个元素 通过运算后确定的第三个元素，那么具体分析这三种不同运算的“运算性质”，会发现它们之间具有一种“明显的平行性”（即类似性、对应性）。从中可以选出互相独立的少数几个性质作为这三种运算的“共同性质”。如,4.4 数学结构方法,（i）对于所有的元素 有,(ii)存在一个元素 ，使得对于每一个元素 ，有,(iii) 对应于每一元素 ，存在一个元素 ，使得,4.4 数学结构方法,由此看出记号 可以用相同的方式表达它们，对这三种不同的运算，借助于统一的之间的“平行的”运算性质。这种表达的优点在于，在推理的过程中不必考虑元素的性质，唯一需要关心的是，元素的运算 具有性质“(i)、(ii)、(iii)”这个前提。这样，就可以引出相应的运算结构。,4.4 数学结构方法,群结构就是在某一集合中确定了某种运算,，且具有三个性质,(i)、(ii)、(iii)的一种结构。其中性质(i)、(ii)、(iii)叫做群结构的公理，展开这些公理的推论就构成群的理论。显然，群理论较之“实数加”、“整数模”、“位移合成”等理论概括得多，它适合于这三者中任一个。这就是研究结构意义之所在。,由上述分析看出，具体而言,结构是集合中元素间满足一定条件（公理）的某种关系,，,一个抽象的集合只不过是一组元素而已，无所谓结构，但引进了关系，就形成了结构。因此，关系是重要的，它就代表一种结构。,4.4 数学结构方法,例如，,是表为,，还是,这没有区别。但对于积集合 ，,这些元素就互相有区别了。,4.4 数学结构方法,2、三种基本数学结构简介,(1) 代数结构,所谓非空集,X,中的,n,元代数运算指 到 的一个映射,其中n叫做运算的阶。最常用的代数运算是二元代数运算，也即习惯上的代数运算。,4.4 数学结构方法,序对 在代数运算 下的象记作 ，显然， 中的二元代数运算 给出了 中的一个三元关系：,当且仅当 时，三元序组满足这个关系。,而三元序组 的集合是笛卡尔积 的子集，故二元运算可以视为一种结构。,若非空集 中的代数运算记为 ，则序对,就称为一个代数，即定义了运算的集合。,4.4 数学结构方法,代数的例子很多，如果再给代数加上一定的公理，那它就构成各种不同的代数结构。如加上群公理、环公理、域公理等就分别构成群、环、域等常见代数结构,。,再以群为例具体说明之；,4.4 数学结构方法,例、群结构,二元序对 称为群，是指它满足如下公理：,（1） 中的元素关于代数运算满足结合律，即 ，有,（2） 中存单位元 ：即 ,使 ，有,（3） 中每一个元素，都在 中存在逆元，即,可见，群也就是在其上定义了满足上述公理的二元代数运算的非空集合。,代数结构是由,离散性的对象、,运算关系,及其公理组所构成的,结构,系统,。,（2）序结构,常见的序结构有两种：半序结构和全序结构，建立了这两种序结构的集分别称为半序集和全序集（也称半序结构和全序结构）。,4.4 数学结构方法,4.4 数学结构方法,半序集：如果的元素之间定义了一个关系“”，它满足如下公理：,（i）自反性，对中的一切元素,有,(ii),反对称性，若 则,（iii）传递性，若 则,则称为半序集，这个关系为半序关系。,4.4 数学结构方法,例如 自然数集中的整除关系是半序关系，因为n能被自身整除；若n能整除m,m能整除n,则m=n;若n能整除m,m能整除r,则n也能整除r,故自然数集是一种半序结构。,全序集：满足下列可比性条件（iv）的半序集称为全序集；,(iv)中的任意两个元素 或,至少有一个成立。,4.4 数学结构方法,例如 一幂集中的包含关系不具有可比性，故不是全序集。,又如 不难验证，数集 ，关于整除关系构成一全序结构。但自然数集关于整除关系不构成全序结构。,又如 自然数集关于“”关系构成一全序结构。,可见，序结构是由对象集、次序关系及其公理组所构成的结构系统。,4.4 数学结构方法,（）拓扑结构,为了在一般意义下引进拓扑概念，一种比较直观而较简单的办法是引进邻域和邻域结构，即邻域公理系统。,的一些子集组成的集族 称为邻域族，若此集族满足如下邻域公理，此时，就称 为,X,的一个拓扑结构；,4.4 数学结构方法,（i）中的任一元素 在中有一个 ，使 。,（ii）中的任一元素 ，若在中有 、 使,且 ，则 。,（iv）中的元素 ，对 中任一含 的 ，若有 ，,则必存在 ，使 ，且 。,即,X,中每一点至少有一邻域。,即,X,中一个点的两个邻域的交仍为其邻域。,(iii)若 是 的一个子集，而中元素,则 也是 的一个邻域。,4.4 数学结构方法,根据上述四条公理,特别是公理 (ii)与公理(iv)能保证在数学分析的论域内任一点 ,能选取一连串越来越小的邻域，使之点 为极限。由此可见,邻域公理系统可以导致极限概念。也正是因为邻域公理系统能描述极限和连续，而拓扑变换是研究一种比较广泛的，即仅保持连续性不变的那种变换，所以，,拓朴结构常被说成是能够描述极限的那种数学结构。,注,公理,(iv),保证了,X,中的每个点至少有一个这样的邻域，在该邻域内所有的点都有邻域。显然，实数域的开区间都具有这个性质。,从三种基本结