平面向量的正交分解及坐标表示及坐标运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量的正交分解及坐标表示,复习,平面向量基本定理,如果,e,1,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,使,a=,1,e,1,+,2,e,2,a=,1,e,1,+,2,e,2,复习,(1),我们把不共线向量,e,1,、,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；,(2),基底不唯一，关键是不共线；,(3),由定理可将任一向量,a,在给出基底,e,1,、,e,2,的条件下进行分解；,(4),基底给定时，分解形式唯一,. ,1,2,是被,a,e,1,、,e,2,唯一确定的数量。,G,=,F,1,+,F,2,F,1,F,2,G,G,=,F,1,+,F,2,叫做重力,G,的分解,新课引入,G,与,F,1,F,2,有什么关系,?,类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量,a,，均可以分解为不共线的两个向量,1,a,1,和,2,a,2,使,a,=,1,a,1,+,2,a,2,把一个向量分解为两个互相,垂直,的向量,叫做把向量,正交分解,若两个不共线向量互相垂直时,a,1,a,1,2,a,2,F,1,F,2,G,正交分解,思考：,我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。,y,O,x,j,i,向量的坐标表示,分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,、,j,作为基底,.,任作一个向量,a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数,x,、,y,使得,a,=,x,i,+,y,j,把,(,x,y,),叫做向量,a,的坐标，记作,a,= (,x,y,),其中,x,叫做,a,在,x,轴上的坐标，,y,叫做,a,在,y,轴上的坐标,a,x,i,y,j,向量的坐标表示,i,=,j,=,0,=,( 1, 0 ),( 0, 1 ),( 0, 0 ),a,y,O,x,x,i,y,j,j,i,a,= (,x,y,),（一）,y,O,x,a,j,i,x,i,y,j,相等的向量坐标相同,向量,a,、,b,有什么关系,?,a,b,能说出向量,b,的坐标吗,?,b,=,(,x,y,),b,x,i,y,j,y,x,A,a,如图，在直角坐标平面内，以原,点,O,为起点作,OA,=,a,，则点,A,的位,置由,a,唯一确定。,y,x,O,j,i,a,(,x,y,),因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。,反过来，点,A,的坐标（,x,y,),也就是向量,OA,的坐标。,设,OA=,x,i,+y,j,，则向量,OA,的坐标,（,x,y,),就是点,A,的坐标；,向量的坐标与点的坐标关系,向量,P,（,x,，,y,）,一 一 对 应,例,1,：如图，用基底,i,，,j,分别表示向量,a,、,b,、,c,、,d,并求出它们的坐标,.,A,A,1,A,2,a,b,c,d,解：,同理，,b,=-2,i,+3,j,=(-2,3),c,=-2,i-,3,j,=(-2,-3),d,=2,i,-3,j,=(2,-3),y,x,O,1 2 3 4,-4 -3 -2 -1,5,4,3,2,1,-1,-2,-3,-4,-5,j,i,1 2 3 4,a,=,(2,3),由图可知,a,=,AA,1,+,AA,2,=2,i,+3,j,已知 ，求 的坐标,.,O,x,y,B(x,2,y,2,),A(x,1,y,1,),结论,1,:,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。,总结,:,对向量坐标表示的理解,:,(1),任一平面向量都有唯一的坐标,;,(2),向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；,当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标,.,(3),相等的向量有相等的坐标,.,练习,:,在同一直角坐标系内画出下列向量,.,解：,（二）平面向量的坐标运算：,结论,2,：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差,.,结论,3,：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标,.,例,3,、（,2008,辽宁）已知四边形,ABCD,的三个顶点,A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 ，则顶点,D,的坐标为（ ）,A.,（,2,， ）,B.,（,2,， ）,C.,（,3,，,2,）,D.,（,1,，,3,）,A,解析：,设,D,（,x, y,），,得,x=2,y= ,故选,A,例,5,：已知平行四边形,ABCD,的三个顶点,A,、,B,、,C,的坐标分别为（,-2,，,1,）、（,-1,，,3,）、（,3,，,4,），求顶点,D,的坐标。,x,y,O,A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),D(x,y),O,y,x,A,B,C,D,例,5,：已知平行四边形,ABCD,的三个顶点的坐标分别是（,- 2,，,1,）、（,- 1,，,3,）、（,3,，,4,），求顶点,D,的坐标,.,变,式：,已知平面上三点的坐标分别为,A(,2, 1), B(,1, 3), C(3, 4),，,求点,D,的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。,O,y,x,A,B,C,解：,当平行四边形为,ADCB,时，,由,得,D,1,=(2, 2),当平行四边形为,ACDB,时，,得,D,2,=(4, 6),D,1,D,2,当平行四边形为,DACB,时，,得,D,3,=(,6, 0),D,3,课堂小结,:,1.,向量的坐标的概念,:,2.,对向量坐标表示的理解,:,3.,平面向量的坐标运算,:,(1),任一平面向量都有唯一的坐标,;,(2),向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；,(3),相等的向量有相等的坐标,.,4.,能初步运用向量解决平面几何问题,:,“,向量,”,的思想,2.,若将向量 围绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 ，则 的坐标为（ ）,.,1.,若向量,=,（,1,，,-2,）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是,（,-1,，,2,）,课堂练习一,4.,已知,A,、,B,的坐标分别为 ，与 平行的向量的坐标可以是,_.,（填写正确的序号）,3.,已知点,A(8,2),，点,B(3,5),，将 沿,x,轴向左平移,5,个单位得到向量 ，则,；,；,；,5.,如图，在直角坐标系中，,已知,A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).,设 ，填空：,（,1,）,（,2,）若用 来表示 ，则：,1,1,5,3,5,4,7,（,3,）向量 能否由 表示出来？可以的话，如何表示？,随堂,练习二,坐标是,A,、,(3,2) B,、,(2,3) C,、,(-3,-2) D,、,(-2,-3),B,A,、,x=1,y=3 B,、,x=3,y=1,C,、,x=1,y=-3 D,、,x=5,y=-1,B,标,坐标为,A,、,(x-2,y+1) B,、,(x+2,y-1),C,、,(-2-x,1-y) D,、,(x+2,y+1),C,B,B,标,的坐标为,(i,j),则点,A,的坐标为,A,、,(m-i,n-j) B,、,(i-m,j-n),C,、,(m+i,n+j) D,、,(m+n,i+j),A,小结,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示,