(精品)1.1数的概念的扩展

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,数系的扩充与复数的引入,数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实,N,Z,Q,R,知识回顾,我们可以用下面一组方程来形象的说明,数系的发展变化过程,：回答分别把数系扩充到了什么数集,（,1,）在,自然数,集中求方程,x+1,0,的解？,（,2,）在,整数集,中求方程,2x+1,0,的解？,（,3,）在,有理数集,中求方程,x,2,-2,0,的解？,知识引入,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,思考？,引入一个新数：,满足,数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范,围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，,像,x,1,这个方程在实数范围内就无解,.,现在我们就引入这样一个数,i,，并且规定：,（,1,）,i,2,1,；,（,2,）,实数可以与,i,进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律,(,包括交换律、结合律和分配律,),仍然成立。,所以实数,b,可以与,i,相乘,，,得,bi,(,因为零和任何实数相乘所得的积都是零，与此类似，我们规定,0,i=,0,),又因为,bi,可以与实数,a,相加得,a,+,bi.,因此数的范围又得到了扩充，出现了形如,a+bi,的数，其中,a,b,都是实数,.,通常复数用字母,z,表示，即,实部,虚部,其中 称为,虚数单位,。,我们就把形如,a,+,bi,(,a,b,R),的数叫做,复数,.,其中,i,是虚数单位,.,此时就有,bi=ib,a,+,bi,=bi+a,等等,.,复数集,C,和实数集,R,之间有什么关系？,讨论？,复数的分类：,0,0,b,a,，,非纯虚数,=,0,0,b,a,，,纯虚数,0,b,虚数,=,0,b,实数,虚数集,复数集,实数集,纯虚数集,全体复数所成的集合叫做,复数集,，一般用字母,C,表示,.,例,1.,说出下列数中，那些是,实数,，哪些是,虚数,，哪些是,纯虚数,，并指出复数的实部与虚部,.,（,1,）,3+4i (2)(3)-7,解：（,1,）,3+4i,的实部与虚部分别是,3,和,4,，它是虚数，但不是纯虚数；,（,2,）,的实部与虚部分别是,0,和,，它是,虚数，而且是纯虚数；,（,3,）,-7,的实部与虚部分别是,-7,和,0,，它是实数；,如果两个复数的,实部,和,虚部,分别,相等,，那么我们就说这,两个复数相等,注：,2),一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了,.,复数,a+bi,可以看成是关于,i,的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：,例,2.,已知,(,x+,2)-2,xi,=-3,y,+(,y-1,),i,，,其中,x,y,R,，,求,x,y,.,解得,x,=1,y,=-1.,解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实,部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，,复数,z,a,b,i,可以由有序数对（,a,b,）唯一确定,.,而有序数对,（,a,b,）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,y,O,x,Z,：,a,b,i,a,b,如图，点,Z,的横坐标是,a,纵坐标是,b,，,复数,z,a,b,i,可用点,Z,(,a,b,),来表示,.,复平面,z=a+bi(aR，bR),这个建立了直角坐标系来表示复数的,平面叫,复平面,，,x,轴叫做,实轴,，,y,轴叫做,虚轴,实轴上的点都表示实数；,除了原点外,，虚轴上的,点都表示纯虚数,y,O,x,Z,：,a,b,i,a,b,例3.在复平面上表示下列复数,（1）-2+3i (2)3-4i (3)-1+3i,归纳小结,1.复数的表示,2.复数相等,3.复平面,4.学过的数集的关系,课后作业,P75第1、2题,